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简单分式不等式的解法


简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应 当注意分母不为零. 3.含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax ? b 的形式.

b ; a b [2]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ; a a ? 0 0 ? x ? b [3]当 时,不等式化为: ; ① 若 b ?

0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
[1]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? 【例题选讲】

例1

解下列不等式:(1) x 2 ? x ? 6 ? 0

(2)

( x ?1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1)
⑴解法一:原不等式可以化为: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,于是: ?

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 或? ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

? x ? ?3 ? x ? ?3 ? x ? ?3或x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 . ?? 或? ?x ? 2 ?x ? 2
2 解法二:解相应的方程 x ? x ? 6 ? 0 得: x1 ? ?3, x2 ? 2 ,所以原不等式的解是

x ? ?3或x ? 2 .
2 2 (2) 解法一:原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x ? 4x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是:

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? x ? 0或x ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . ? ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
2 2 ? x2 ? 4 x ? 0 , 解法二: 原不等式可化为: 即 x ? 4x ? 0 , 解相应方程 x ? 4 x ? 0 ,

得 x1 ? 0 , x2 ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . 说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的 图象判断出不等式的解. 例2
2 解下列不等式:(1) x ? 2 x ? 8 ? 0 2 (2) x ? 4 x ? 4 ? 0

(3)

x2 ? x ? 2 ? 0

例3

已知对于任意实数 x , kx 2 ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.

例4

解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

1 ?3 x?2

例5

求关于 x 的不等式 m2 x ? 2 ? 2mx ? m 的解. 解:原不等式可化为: m(m ? 2) x ? m ? 2 (1) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 ,不等式的解为 x ? (2) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 . ① 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 x ? ② m ? 0 时,不等式的解为 x ?

1 ; m

1 ; m

1 ; m

③ m ? 0 时,不等式的解为全体实数. (3) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时,不等式无解. 综上所述:当 m ? 0 或 m ? 2 时,不等式的解为 x ?

1 ;当 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 m

x?

1 ;当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数;当 m ? 2 时,不等式无解. m

【巩固练习】 1.解下列不等式:
2 (1) 2 x ? x ? 0 2 (2) x ? 3x ? 18 ? 0

(3) ? x 2 ? x ? 3x ? 1

(4) x( x ? 9) ? 3( x ? 3)

2.解下列不等式:

x ?1 ?0 (1) x ?1

3x ? 1 ?2 (2) 2x ?1

2 ? ?1 (3) x

2x2 ? x ? 1 ?0 (4) 2x ?1

3.解下列不等式:
2 2 (1) x ? 2 x ? 2 x ? 2

(2)

1 2 1 1 x ? x? ?0 2 3 5

4.解关于 x 的不等式 (m ? 2) x ? 1 ? m .

2 5.已知关于 x 的不等式 mx ? x ? m ? 0 的解是一切实数,求 m 的取值范围.

6.若不等式

x?2 x ?3 ? 1 ? 2 的解是 x ? 3 ,求 k 的值. k k

7. a 取何值时,代数式 (a ? 1)2 ? 2(a ? 2) ? 2 的值不小于 0?


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