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《1.3.2函数的奇偶性(2)》同步练习

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《1.3.2函数的奇偶性(2) 》同步练习
课时目标 1.巩固函数奇偶性概念.2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题.

知识梳理: 1.定义在R上的奇函数,必有f(0)=____. 2.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是____函 数,且有__________. 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0,+∞)上是______________. 作业: 一、选择题 1.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(- 3)的大小关系是( )

A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 2.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)<f(1), 则下列不等式中一定成立的是( A.f(-1)<f(-3) C.f(-3)<f(5) ) B.f(2)<f(3) D.f(0)>f(1) )

3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则( A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定 4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式 的解集为( ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

f?x?-f?-x? <0 x

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

5.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( A.0.5 C.1.5 ) B.-0.5 D.-1.5

6.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于( A.{x|x>3,或-3<x<0} B.{x|0<x<3,或x<-3} C.{x|x>3,或x<-3} D.{x|0<x<3,或-3<x<0} 题 号 答 案 二、填空题 1 2 3 4 5 6

)

7.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)=___ _________. 8.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递增区间是____________. 9.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17,则f(5)=____________. 三、解答题 10.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0, 求实数m的取值范围.

11.设函数f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a +3),求a的取值范围.

能力提升 12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则 下列说法一定正确的是( A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 13.若函数y=f(x)对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)指出y=f(x)的奇偶性,并给予证明; (2)如果x>0时,f(x)<0,判断f(x)的单调性; (3)在(2)的条件下,若对任意实数x,恒有f(kx )+f(-x +x-2)>0成立,求k的取值范 围.
2 2

)

反思感悟: 1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映,也体现了在关于原点对称的定义域 的两个区间上函数值及其性质的相互转化,这是对称思想的应用. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定 有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分 类讨论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点: (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性.

(2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.

第2课时奇偶性的应用
知识梳理 1.0 2.增 最小值-M 3.增函数 作业设计 1.A [∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f (2),f(-3)=f(3), 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(2)<f(3)<f(π), 即f(π)>f(-3)>f(-2).] 2.D [∵f(-3)=f(3),

∴f(3)<f(1). ∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数. ∴f(0)>f(1),故选D.] 3.A [f(x)是R上的偶函数, ∴f(-x1)=f(x1). 又f(x)在(0,+∞)上是减函数,x2>-x1>0, ∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).] 4.C [∵f(x)为奇函数,∴

f?x?-f?-x? f?x? <0,即 x <0,当x∈(0,+∞),∵f x

(x)在(0,+∞)上为减函数且f(1)=0,∴当x>1时,f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称,所 0)上f(x)为减函数且f(-1)=0, f(x)>0.综上使 以在(-∞, 即x<-1时, ∞,-1)∪(1,+∞).] 5.B [由f(x+2)=-f(x),则f(7.5)=f(5.5+2) =-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5) =-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.] 6.D [依题意,得x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,f(x)<0;

f?x? x <0的解集为(-

x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0. 由x·f(x)<0,知x与f(x)异号, 从而找到满足条件的不等式的解集.] 7.-x2+x+1
2 2 解析 由题意,当x>0时,f(x)=x +|x|-1=x +x-1, 2 2 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x) +(-x)-1=x -x-1,

又∵f(-x)=-f(x),

2 2 ∴-f(x)=x -x-1,即f(x)=-x +x+1.

8.(-∞,0] 解析 因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1.
2 ∴f(x)=-x +3,即f(x)的图象是开口向下的抛物线.

∴f(x)的递增区间为(-∞,0]. 9.-13
7 7 解析 (整体思想)f(-5)=a(-5) -b(-5)+2=17? (a·5 -5b)=-15,

∴f(5)=a·5 -b·5+2=-15+2=-13. 10.解 由f(m)+f(m-1)>0, 得f(m)>-f(m-1),即f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数. -2≤1-m≤2 ? ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m 1 解得-1≤m<2. 11.解 由f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增, 可知f(x)在(0,+∞)上递减. 1 7 2 2 ∵2a +a+1=2(a+4) +8>0, 1 5 2a2-2a+3=2(a-2)2+2>0,
2 2 且f(2a +a+1)<f(2a -2a+3), 2 2 ∴2a +a+1>2a -2a+3,

7

-1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 ,即? 1 ? m < ? 2



2 即3a-2>0,解得a>3. 12.C [令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1,

解得f(0)=-1. 令x2=-x1=x,得f(0)=f(-x)+f(x)+1, 即f(-x)+1=-f(x)-1, 令g(x)=f(x)+1,g(-x)=f(-x)+1,-g(x)=-f(x)-1, 即g(-x)=-g(x).
[来源:学科网ZXXK]

所以函数f(x)+1为奇函数.]

13.解 (1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=0, 即f(x)=-f(-x),所以y=f(x)是奇函数. (2)令x+y=x1,x=x2,则y=x1-x2, 得f(x1)=f(x2)+f(x1-x2). 设x1>x2,∵x>0时f(x)<0,∴f(x1-x2)<0, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以y=f(x)为R上的减函数.
2 2 (3)由f(kx )+f(-x +x-2)>0, 2 2 得f(kx )>-f(-x +x-2), 2 2 ∵f(x)是奇函数,有f(kx )>f(x -x+2),

又∵f(x)是R上的减函数,
2 2 ∴kx <x -x+2, 2 即(k-1)x +x-2<0对于x∈R恒成立,

? ?k-1<0 即? ?Δ =1+8?k-1?<0 ?

7 ,故k<8.


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