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求数列通项公式常用的七种方法


求数列通项公式常用的七种方法
一、公式法:数列符合等差、等比数列定义 例 1:已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a 2 ? 1, a5 ? ?5 ,求 ?an ? 的通项公式.

变式训练 1 :已知数列 ?an ? ,若 a1 ? 1 ,an ? 2an?1,求an

三、 sn 与 an 的关系式法:形如 S n ? an

? f ?n?

应用

?

S1 ,n?1 Sn ?Sn ?1 ,n?2

例 2:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2 n ? 1 ,求通项 an .

变式训练 2:已知数列{ an }满足 S n ? n 2 ? n ? 1 ,求an

例 3:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn 满足 a n ?1 ?

1 s n ,其中 a1 ? 1 ,求 an . 3

变式训练 3:已知数列{ an }满足 S n ? 1 ? an,求an

四、累加法:形如 an?1 ? an ? f (n) 例 4:

a1 ? 0, an?1 ? an ? 2?n ?1? ,求通项 an

变式训练 4:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an . 2 n ?n

五、累乘法:形如 an?1 ? an ? f (n) 例 5: a1 ? 1, an ?

n an ?1 n ?1

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

变式训练 5:已知数列{ an }满足 a1 =1, an?1 ? 2 an ,求 an
n

六、构造法: 1、构造等比数列:形如 an?1 ? pan ? q 例 6:已知 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

变式训练 6:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

2、构造等差数列:形如 an?1 ? pan ? q n 例 7:在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2
n?1

? n ? 2? ,求 ?an ? 通项公式

变式训练 7:数列{ an }满足 an ?1 = ?2an ? (?2)n?1 , a1 ? ?2 ,求 an 的通项公式

七、取倒数法: : a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

例 8:已知 a1 ? 2, an ?

2an ?1 an ?1 ? 2

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

变式训练 8:已知数列{ an }, a1 = ?1 , an ?1 ?

an 1 ? an

n ? N ? ,求 an


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