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2015年高三数学(理)一轮复习讲义:7.4直线、平面平行的判定与性质(人教A版)


第4讲 [最新考纲]

直线、平面平行的判定与性质

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有 关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单 命题.

知 识 梳 理

1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a∥α

, a?β, α∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 α∩β=? α∥β a?β,b?β,a∩b=P, α∥β, α∩γ=a, β∩γ a∥α,b∥α α∥β =b a∥b α∥β,a?β a∥α 定理 性质

学生用书 第 114 页

辨 析 感 悟 1.对直线与平面平行的判定与性质的理解

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(×) (2) 若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直 线.(×) (3)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α.(×) (4)若直线 a∥α,P∈α,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条.(×) 2.对平面与平面平行的判定与性质的理解 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(×) (6)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√) (7)(教材练习改编)设 l 为直线, α, β 是两个不同的平面, 若 l∥α, l∥β, 则 α∥β.(×) [感悟· 提升] 三个防范 一是推证线面平行时,一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平 面内,如(1)、(3). 二是推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面, 如(5). 三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时, 必须说明经过已知 直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行,如(2)、(4).

考点一

有关线面、面面平行的命题真假判断

【例 1】 (1)(2013· 广东卷)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是( ).

A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β, ,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β (2)设 m,n 表示不同直线,α,β 表示不同平面,则下列结论中正确的是( A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m?α,n?β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n?β,则 n∥β ).

解析 (1)A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中 m 与 n 可平行、可异面; C 中,若 α∥β,仍然满足 m⊥n,m?α,n?β,故 C 错误;故 D 正确. (2)A 错误,n 有可能在平面 α 内;B 错误,平面 α 有可能与平面 β 相交;C 错误, n 也有可能在平面 β 内;D 正确,易知 m∥β 或 m?β,若 m?β,又 n∥m,n?β, ∴n∥β,若 m∥β,过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l,则 m∥l,又 n∥m,∴n∥l, 又 n?β,l?β,∴n∥β. 答案 (1)D (2)D 规律方法 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形 结合,画图或结合正方体等有关模型来解题. 【训练 1】 (1)(2014· 长沙模拟)若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( ).

A.b?α

B.b∥α

C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α (2)给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α,β,γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 B.2 C.1 ). D.0

解析 (1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当 b 与 α 相交或 b?α 或 b ∥α 时,均满足直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α 的情况,故选 D. (2)①中,当 α 与 β 相交时,也能存在符合题意的 l,m;②中,l 与 m 也可能异 面;③中,l∥γ,l?β,β∩γ=m?l∥m,同理 l∥n,则 m∥n,正确. 答案 (1)D (2)C 考点二 线面平行的判定与性质

【例 2】 如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA′ =1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′;

(2)求三棱锥 A′-MNC 的体积.

(1)证明

法一

连接 AB′,AC′,如图,由已知∠BAC=90° ,AB=AC,三棱

柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱, 所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′.

法二 取 A′B′的中点 P,连接 MP,NP,AB′,如图,而 M,N 分别为 AB′ 与 B′C′的中点, 所以 MP∥AA′,PN∥A′C′, 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′. 又 MP∩NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN?平面 MPN,因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)解 法一 连接 BN,如图,由题意 A′N⊥B′C′,平面 A′B′C′∩平面

B′BCC′=B′C′, 1 所以 A′N⊥平面 NBC.又 A′N=2B′C′=1,

规律方法 判断或证明线面平行的常用方法:

(1)利用线面平行的定义,一般用反证法; (2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α),其关键是在平面内找(或 作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述; (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 【训练 2】 如图,在四面体 A-BCD 中,F,E,H 分别是棱 AB,BD,AC 的中 点,G 为 DE 的中点.证明:直线 HG∥平面 CEF.

证明 法一

如图 1,连接 BH,BH 与 CF 交于 K,连接 EK.

∵F,H 分别是 AB,AC 的中点, ∴K 是△ABC 的重心, BK 2 ∴BH=3. BE 2 又据题设条件知,BG=3, BK BE ∴BH=BG,∴EK∥GH. ∵EK?平面 CEF,GH?平面 CEF, ∴直线 HG∥平面 CEF.

图1

图2

法二 如图 2,取 CD 的中点 N,连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点,∴GN∥CE. ∵CE?平面 CEF,GN?平面 CEF, ∴GN∥平面 CEF.连接 FH,EN ∵F,E,H 分别是棱 AB,BD,AC 的中点, 1 1 ∴FH 綉2BC,EN 綉2BC,∴FH 綉 EN, ∴四边形 FHNE 为平行四边形,∴HN∥EF. ∵EF?平面 CEF,HN?平面 CEF, ∴HN∥平面 CEF.HN∩GN=N, ∴平面 GHN∥平面 CEF. ∵GH?平面 GHN,∴直线 HG∥平面 CEF. 考点三 面面平行的判定与性质

【例 3】 (2013· 陕西卷)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

审题路线 (1)判定四边形 BB1D1D 是平行四边形?BD∥B1D1?BD∥平面 CD1B1 ?同理推出 A1B∥平面 CD1B1?面 A1BD∥面 CD1B1. (2)断定 A1O 为三棱柱 ABD-A1B1D1 的高?用勾股定理求 A1O?求 S△ABD?求 . (1)证明 由题设知, BB1 綉 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴BD∥B1D1.

又 BD?平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綉 B1C1 綉 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,

∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD,

∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO=2AC=1,AA1= 2,
2 ∴A1O= AA2 1-OA =1.

1 又∵S△ABD=2× 2× 2=1,

规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明; ②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; ④借助“传递性”来完成. (2)面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又可转化为线线平行,需要注 意转化思想的应用. 【训练 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点,求证:平面 PMN∥平面 A1BD.

证明 法一

如图,连接 B1D1,B1C.

∵P,N 分别是 D1C1,B1C1 的中点, ∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?平面 A1BD,

∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD.

法二 如图,连接 AC1,AC, 且 AC∩BD=O, ∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BD,CC1⊥平面 ABCD, ∴CC1⊥BD,又 AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面 AC1C, ∴AC1⊥BD.同理可证 AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD.同理可证 AC1⊥平面 PMN, ∴平面 PMN∥平面 A1BD.

1.平行关系的转化方向如图所示:

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化, 即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时, 其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可 过于“模式化”.

学生用书 第 116 页

答题模板 8——如何作答平行关系证明题 【典例】 (12 分)(2012· 山东卷,文)如图 1,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

图1

图2

[规范解答] (1)如图 2,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD, 又 EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC?平面 EOC,所以 BD⊥平面 EOC, 因此 BD⊥EO, 又 O 为 BD 的中点, 所以 BE=DE.

图3

(2)法一

如图 3,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN,

因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC,∴MN∥平面 BEC.(7 分) 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN=30° , 又 CB=CD,∠BCD=120° , 因此∠CBD=30° ,所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC, 又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.

图4

法二 如图 4,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120° , 所以∠CBD=30° . 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° , 因此∠AFB=30° , 1 所以 AB=2AF. 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,因此 DM∥EF.(11 分) 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC. [反思感悟] 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求,每步推理

要有理有据,不可跨度太大,以免漏掉得分点.本题易忽视 DM?平面 EBC,造 成步骤不完整而失分. 答题模板 证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行; 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行; 第四步:反思回顾.检查关键点及答题规范. 证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面; 第二步: 利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平 面平行; 第三步:证明所作平面与所证平面平行; 第四步:转化为线面平行; 第五步:反思回顾.检查答题规范.

【自主体验】 (2013· 福建卷改编)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥DC, AB=6,DC=3,若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC.

证明 法一 在△PAB 中,

取 PB 中点 N,连接 MN,CN.

∵M 是 PA 的中点, ∴MN∥AB, 1 且 MN=2AB=3, 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN 綉 CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形, ∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC.

法二 取 AB 的中点 E, 连接 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BE∥CD, 且 BE=CD, ∴四边形 BCDE 为平行四边形, ∴DE∥BC,又 DE?平面 PBC, BC?平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中,ME∥PB, ME?平面 PBC, PB?平面 PBC, ∴ME∥平面 PBC, 又 DE∩ME=E, ∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM?平面 DME, ∴DM∥平面 PBC.

对应学生用书 P313 基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.已知直线 a,b,c 及平面 α,β,下列条件中,能使 a∥b 成立的是( ).

A.a∥α,b?α

B.a∥α,b∥α

C.a∥c,b∥c D.a∥α,α∩β=b 解析 由平行公理知 C 正确,A 中 a 与 b 可能异面.B 中 a,b 可能相交或异面, D 中 a,b 可能异面. 答案 C 2.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是( A.平行 B.平行和异面 C.平行和相交 D.异面和相交 ).

解析 ∵AB∥CD,AB?α,CD?α?CD∥α, ∴CD 和平面 α 内的直线没有公共点. 答案 B 3. (2014· 陕西五校一模)已知直线 a 和平面 α, 那么 a∥α 的一个充分条件是( A.存在一条直线 b,a∥b 且 b?α B.存在一条直线 b,a⊥b 且 b⊥α C.存在一个平面 β,a?β 且 α∥β D.存在一个平面 β,a∥β 且 α∥β 解析 在 A,B,D 中,均有可能 a?α,错误;在 C 中,两平面平行,则其中一 个平面内的任一条直线都平行于另一平面,故 C 正确. 答案 C 4.(2014· 汕头质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面, ).

则下列命题中正确的是(

).

A.若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线 B.若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线 C.已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β D.若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行 解析 A 中,m,n 可为相交直线;B 正确;C 中,n 可以平行 β,也可以在 β 内; D 中,m,n 也可能异面. 答案 B 5.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶ FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形 ).

解析 如图,由题意知 EF∥BD, 1 且 EF=5BD. 1 HG∥BD,且 HG=2BD. ∴EF∥HG,且 EF≠HG. ∴四边形 EFGH 是梯形. 又 EF∥平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平行.故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2014· 南京一模)下列四个命题: ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行;

④如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线必在第一个平面内. 其中所有真命题的序号是________. 解析 根据空间点、线、面间的位置关系,过平面外一点有且只有一条直线与该 平面垂直,故①正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故②不正确; 根据平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所 得的两条交线平行,故③正确;根据两个平面垂直的性质:如果两个平面互相垂 直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内, 故④正确.从而正确的命题有①③④. 答案 ①③④ 7.(2014· 衡阳质检)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与 平面 ACE 的位置关系为______. 解析 如图.

连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OE∥BD1,而 OE?平面 ACE,BD1? 平面 ACE,所以 BD1∥平面 ACE. 答案 平行 8.(2014· 金丽衢十二校联考)设 α,β,γ 是三个平面,a,b 是两条不同直线,有 下列三个条件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β =a,b?γ,且________,则 a ∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是 ________(把所有正确的题号填上). 解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 b∥β,a?γ 时,a 和 b 在同一 平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③. 答案 ①或③ 三、解答题

9.(2014· 青岛一模)四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,N 是 PB 中 点,过 A,N,D 三点的平面交 PC 于 M. (1)求证:PD∥平面 ANC; (2)求证:M 是 PC 中点. 证明 (1)连接 BD,AC,设 BD∩AC=O,连接 NO,

∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 中点,在△PBD 中, 又 N 是 PB 中点,∴PD∥NO, 又 NO?平面 ANC,PD?平面 ANC, ∴PD∥平面 ANC. (2)∵底面 ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC, 又∵BC?平面 ADMN,AD?平面 ADMN, ∴BC∥平面 ADMN,因平面 PBC∩平面 ADMN=MN, ∴BC∥MN,又 N 是 PB 中点, ∴M 是 PC 中点. 10.

如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点.

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 证明 (1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2, ∴BG 綉 A1E,∴A1G 綉 BE. 又同理,C1F 綉 B1G, ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形, ∴FG 綉 C1B1 綉 D1A1, ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綉 D1F,∴D1F 綉 EB, 故 E、B、F、D1 四点共面. 3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H=2. B1G 2 FC 2 又 B1G=1,∴B H=3.又BC=3,
1

且∠FCB=∠GB1H=90° , ∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG, ∴HG∥FB. 又由(1)知 A1G∥BE,且 HG∩A1G=G, FB∩BE=B,∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 蚌埠模拟)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两 条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是( ).

A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2

解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1 ∥m 可得 l1∥α,同理可得 l2∥α,又 l1 与 l2 相交,故可得 α∥β,充分性成立,而

由 α∥β 不一定能得到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于 选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符合题意. 答案 B 2.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ).

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析 对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平面 MNP,对于图形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP,图形②,③都不可以, 故选 C. 答案 C 二、填空题 3.(2014· 陕西师大附中模拟)

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D, DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足 条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析 如图,连接 FH,HN,FN, 由题意知 HN∥面 B1BDD1, FH∥面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H, ∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN∥面 B1BDD1. 答案 M∈线段 HF 三、解答题 4.(2014· 长沙模拟) 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M,N 分别是 AF,BC 的中点).

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积. π 解 由三视图可知:AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2,∠CBF=2. (1) 证明:取 BF 的中点 G,连接 MG,NG,由 M,N 分别为 AF,BC 的中点可得, NG∥CF,MG∥EF,且 NG∩MG=G,CF∩EF=F, ∴平面 MNG∥平面 CDEF,又 MN?平面 MNG,∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H. ∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 平面 ADE∩平面 CDEF=DE.∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在△ADE 中,

AH= 2. S 矩形 CDEF=DE· EF=4 2, 1 1 8 ∴棱锥 A-CDEF 的体积为 V=3· S 矩形 CDEF· AH=3×4 2× 2=3.


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