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三角函数的图象与性质


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三角函数的图象与性质

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?3π ? ? ,-1? ?2 ?

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(π,-1)

函数 图象

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义 域

R

R

? ? x x∈R,且 x ? ? π ? ≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ?
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函数 值域 周期性 奇偶性

y=sin x [-1,1] 2π 奇函数 _______ ? π ?2kπ- ,2kπ+ 2 ? π? ?为增; 2kπ 单调性 2? π 3π? +2,2kπ+ 2 ?为减 ? 对称 ( kπ,0) ________ 中心 对称轴

y=cos x [-1,1] 2π 偶函数 _______

y=tan x R π 奇函数

[2kπ , 2kπ ? π ?kπ- ,kπ 2 + π] 为减; ? [2kπ - π , π? +2?为增 2kπ]为增 ?
? ? π ?kπ+ ,0? 2 ? ? ?kπ ? ? ,0? ?2 ?

π x=kπ+ 2 ___________
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x=kπ
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1.下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是 A.y=cos 2x C.y=tan 2x
答案:B

(

)

B.y=sin 2x
? π? D.y=sin?2x-2 ? ? ?

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2.(教材习题改编)函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性是 ( A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
? π π? ? ? π? ?π B.在?-2 ,2 ?上是增函数,在?-π,-2 ?和?2 ,π?上都是 ? ? ? ? ? ?

)

减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
?π ? ? ? π π? π? D.在?2 ,π?和?-π,-2 ?上是增函数,在?-2 ,2 ?上是减 ? ? ? ? ? ?

函数 答案:B
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3.(教材习题改编)函数

? π? y=-tan?x+6?+2 ? ?

的定义域为

________________.
? ? ? π ? ? 答案: x x≠kπ+3 ? ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

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1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调 性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量 化成 ω>0 时的情况. 3.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.

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1.函数

? ? π? π? f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( ? ? ? ?

)

A.-1 2 C. 2

2 B.- 2 D. 0

解析

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2.函数

?π ? y=cos?4 -2x?的单调减区间为____________. ? ?
?π ? ? π? y=cos?4-2x?=cos?2x-4?得 ? ? ? ?

解析:由

π 2kπ≤2x-4≤2kπ+π(k∈Z), π 5π 解得 kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z).
? π 5π? 所以函数的单调减区间为?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ? ? π 5π? 答案:?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ?

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考点一

三角函数的定义域与值域

?????????????????基础送分型考点——自主练透?

1.函数

?πx π? y=2sin? 6 - 3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ?

)

A.2- 3 C.-1

B. 0 D.-1- 3
解析

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1 2.(易错题)函数 y= 的定义域为__________________. tan x-1

tan x-1≠0, ? ? 解析:要使函数有意义,必须有? π x≠ +kx,k∈Z, ? 2 ? ? π ?x≠4 +kπ,k∈Z, 即? ?x≠π+kπ,k∈Z. 2 ?
? ? ? π ? 故函数的定义域为 x?x≠ 4 ? ? ? ? ? π +kπ且x≠ +kπ,k∈Z?. 2 ? ?

? ? π π ? ? ? ? ? 答案:?x x≠ 4+kπ且x≠2 +kπ,k∈Z? ? ? ? ?

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3.函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x2的定义域为______________.
? ?sin 2x>0, 解析:由? 2 ? ?9-x ≥0,

π ? ?kπ<x<kπ+ ,k∈Z, 2 得? ? ?-3≤x≤3.

π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2 ∴函数 y = lg(sin 2x) + 9-x
? π? ?0, ?. 2? ? ? π? ? π? 答案:?-3,-2 ?∪?0,2 ? ? ? ? ?
2

? π? 的定义域为 ?-3,-2 ? ∪ ? ?

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4.(易错题)求函数 y=cos x+sin

2

? π? x?|x|≤4 ?的最大值与最小值. ? ?

? π 2 2? ? 解:令 t=sin x,∵|x|≤ ,∴t∈?- , ? ?. 4 2 2 ? ?

∴y=-t

2

? 1 ?2 5 +t+1=-?t-2? + , 4 ? ?

1- 2 1 5 2 ∴当 t= 时,ymax= ,当 t=- 时,ymin= . 2 4 2 2 ∴函数 y=cos x+sin
2

? 1- π? 5 x?|x|≤4 ?的最大值为 ,最小值为 4 2 ? ?

2

.

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写出下列函数的单调区间: (1)f(x)=
? π? 2sin?x+4?,x∈[0,π]; ? ?

(2)f(x)=|tan x|;
? ? π π? π? (3)f(x)=cos?2x-6 ?,x∈?-2 ,2 ?. ? ? ? ?

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π π π 解:(1)由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4 又 x∈[0,π],所以
?π ? 递减区间为?4,π?. ? ? ? π? f(x)的单调递增区间为?0,4 ?, ? ?

(2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间
? π? 是?kπ,kπ+2 ?,k∈Z,减区间是 ? ? ? ? π ?kπ- ,kπ?,k∈Z. 2 ? ?

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π (3)当 2kπ-π≤2x- ≤2kπ(k∈Z), 6 5π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,函数 f(x)是增函数. 12 12 因此函数
? π π? ? 5π π? f(x)在?-2,2?上的单调递增区间是?-12,12?,递 ? ? ? ?

? π 5π? ? π π? 减区间为?-2,-12?,?12,2 ?. ? ? ? ?

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求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法: 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数 式整体当作一个角 u(或 t),利用基本三角函数的单调性列不 等式求解. (2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求 它的单调区间.

[提醒]

求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应

先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
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? π? 1.函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? ? π? 解析:由已知函数为 y=-sin?2x-3 ?,欲求函数的单调减 ? ? ? π? 区间,只需求 y=sin?2x-3 ?的单调增区间即可. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ? π 5π? 故所给函数的单调减区间为?kπ-12,kπ+12 ?(k∈Z). ? ? ? π 5π? 答案:?kπ-12,kπ+12 ?(k∈Z) ? ?
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2.若函数 f(x)=sin

? π? ωx(ω>0)在区间?0,3 ?上单调递增,在区 ? ?

?π π? 间?3,2 ?上单调递减,则 ? ?

ω=________.

解析:∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2 2ω π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2 2 2ω 2ω ? π? 由 f(x)=sin ωx(ω>0)在?0,3 ?上单调递增, ? ? ?π π? π π 3 ? ? 在 3,2 上单调递减知, = ,∴ω= . 2ω 3 2 ? ? 3 答案: 2
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考点三

三角函数的奇偶性、周期性及对称性

?????????常考常新型考点——多角探明?
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图 形.正切函数的图象只是中心对称图形,应把三角函数的对 称性与奇偶性结合,体会二者的统一. 常见的命题角度有: (1)三角函数的周期; (2)求三角函数的对称轴或对称中心; (3)三角函数对称性的应用.
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? 3π? 3π? 解析: y=1-2sin x- 4 ?=cos 2?x- 4 ?=-sin 2x, 所以 f(x) ? ? ? ?
2?

?

是最小正周期为 π 的奇函数. 答案:A
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2.(2016· 金华十校联考)若函数

? π? ? f(x)=2tan kx+3?的最小正周期 ? ?

T 满足 1<T<2,则自然数 k 的值为________.
π 解析:由题意知,1<k<2,即 k<π<2k.又 k∈N,所以 k =2 或 k=3. 答案:2 或 3

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解析

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πω π π 解析: + =kπ+ (k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z)?ωmin=2. 6 6 2

答案:B

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5.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等 腰直角三角 形, ∠ KML=90°,KL=1,则 f 为 3 A.- 4 1 C.- 2
?1? ? ?的值 ?6?

(

)

1 B.- 4 3 D. 4
解析

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