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2011年全国高中数学联赛(江苏赛区)初赛试题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数(1+i)4+(1-i)4= . .

2. 已知直线 x-my+1=0 是圆 C:x2+y2-4x+4y-5=0 的一条对称轴,则实数 m= 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长

或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示) . 1 4. 已知 cos4θ= ,则 sin4θ+cos4θ= 5 .

π 5. 已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2,<a,b>= ,则以向量 2a+b 与 3a-b 表示的有向线段为邻边 3 的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f(x)=|x2-2|.若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 . 2 * 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数, 其中 an=n , n∈N , 则 f[f(2011)]= . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2x-m 10-x-m+10=0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2+y2=1 与抛物线 y=x2+h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 12.设 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R).若|x|≥2 时,f(x)≥0,且 f(x)在区间(2,3]上的最大值为 1,求 b2+c2 的最大值和最小值. 13.如图,P 是△ABC 内一点. 1 (1)若 P 是△ABC 的内心,证明:∠BPC=90° + ∠BAC; 2 1 1 (2)若∠BPC=90° + ∠BAC 且∠APC=90° + ∠ABC,证明:P 是△ABC 的内心. 2 2 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0+α为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n+α为有理数. B P A

C

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、1.-8;2. ?

3 19 1 n 4 8 ? 48 ;7. ?0, ;3. ;4. ;5. 10 3 ;6. 2? ;8. 6; 5 2 145 7

?

?

9. 4 3;10.3,14,30; 二、11.解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程, 1 5 ? 5 ? 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? 2 4 ? 4 ? 12 .解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2, 3? 上单调递增,故有
f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 .

若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 .所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 13.

14.证明:设 n0 ? ? ?

q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?
p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ? p 2 k 2 ? 2qk ? q2 q ? pk ? ? Q . p2 p


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