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2015届高考文科数学三角函数专题训练及答案


江川二中 2015 届文科数学三角函数专题训练及答案
一、选择题 1 . (2013 年高考大纲卷(文) )已知 a 是第二象限角, sin a ?

8 ( .2013 年高考课标Ⅱ卷 (文) ) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC

12 A. ? 13


5 B. ? 13

5 C. 13

5 , 则cosa ? 13 12 D. 13
( )

的面积为( A.2 +2

) B. +1 C .2 -2 D. -1

9. (2013 年高考山东卷(文) ) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,

2 . (2013 年高考江西卷 若 sin

?
2
1 3

?

3 ,则 cos ? ? 3
C.

若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? ( A. 2 3 B .2

) C. 2 D.1 )

A. ?

2 3

B. ?

1 3
2

D.

2 3


π? 10.要得到函数 y=sin? ?2x+3?的图象,只要把函数 f(x)=sin2x 的图象(

3. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α = ,则 cos (α + )=(

π π π π A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 3 6 6
11. (2013 年高考大纲卷(文) )若函数 y ? sin

??x ? ? ??? ? 0?的部分图像如下图(左),则?=
C. 3 D. 2

A.

B.

C.

D.

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( 4. (2013 年高考广东卷(文) )已知 sin( ) 2 5 2 1 1 2 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 1 5. (2013 年高考北京卷(文) )在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ? ,则 sin B ? ( 3
A.

( ) A. 5

B. 4



1 5

B.

5 9

C.

5 3

D.1
12 ( .2013 年高考四川卷 (文) ) 函数 f ( x) ? 2sin( ? x ? ?)( ? ? 0, ?

6. ( 2013 年 高 考 陕 西 卷 ( 文 ) ) 设 △ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 若

?

b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (

A.直角三角形

B.锐角三角形

) C.钝角三角形

所示,则 ? , ? 的值分别是 ( D.不确定 A. 2, ?

? ? ? ) 的部分图象如上图(右) 2 2
D. 4,

?



?
3

7 . (2013 年高考辽宁卷(文) )在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

?
3

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? ( ) 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3

13. (2013 年高考安徽(文) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若

b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C =(
A.

) C.

?
3

B.

2? 3

3? 4

D.

5? 6

14. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为
1

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ? (
A. 10 B. 9 C. 8

) D. 5

? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

15. (2013 年浙江卷(文) )函数 f(x)=sin xcos x+

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2
D.2π ,2



A.π ,1
二、填空题

B.π ,2

C.2π ,1

1. (2013 年高考四川卷(文) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是________.

2. (2013 年上海高考数学试题(文科) )已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若

a2 ? ab ? b2 ? c2 ? 0 ,则角 C 的大小是________
3. (2013 年上海高考数学试题(文科) )若 cos x cos y ? sin x sin y ? 4. ( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 ) )设当

3 . ( 2013

年 高 考 大 纲 卷 ( 文 )) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

1 ,则 cos ? 2x ? 2 y ? ? ________. 3

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

x ? ? 时 , 函 数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取 得 最 大 值 , 则

cos ? ? ______.
三、解答题 1. (2013 年高考辽宁卷(文) )设向量 a ?

3 ?1 ,求 C . 4

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a ? b, 求f ? x ?的最大值.

4( .2013 年高考天津卷 (文) ) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B ,

a = 3, cos B ? .
(Ⅰ) 求 b 的值;

2 3

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?
.
b. 2. (2013 年高考陕西卷(文) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

5. (2013 年高考浙江卷(文) )在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.
2

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

8 .( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 文 )) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 6. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)

sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1) 求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C=

在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

2? 3

,求

a 的值. b

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

7. (2013 年高考四川卷(文) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

9. (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? C ) ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin A 的值;
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
3

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

cos tan 2. 正弦、余弦、正切函数的定义 3. 同角三角函数基本关系 (1)平方关系 (2)商数关系 4.和差角公式、二倍角公式、诱导公式、辅助角公式
⑴ cos ⑶ sin

?? ? ? ? ?

;⑵ cos

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

; ;

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?


;⑷ sin

⑸ tan

⑹ tan

1 f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? cos 4 x . 10. (2013年高考北京卷(文) )已知函数 ( 2
2

5、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2?

f x) (I)求 ( 的最小正周期及最大值;

? cos 2 ? ? ⑵ (3) tan 2? ?

2 (II)若 ? ? ( , ? ) ,且 ( ,求 ? 的值. f ?) ? 2 2

?

6. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
(1)周期 (2)最值 (3)单调区间 (4)取得最值时 X 的集合

解三角形:
1、正弦定理: 2、正弦定理的变形公式; 3、三角形面积公式: . 4、余弦定理: 5、推论:

三家函数及解三角形部分复习要点 1. 熟记特殊角三家函数 角度 函数 角 a 的弧度 sin
4

江川二中 2014 届文科数学回归基础练习 3(3 月 20、21 日周四、五)
90 π /2 120 2π /3 135 3π /4 150 5π /6 180 π 270 3π /2 360 2π

0 0

30 π /6

45 π /4

60 π /3

答案 一、选择题 ACACB
二、填空题

AABBD

BABDA

1. 【答案】 三、解答题

3

2.【答案】

2? 3

3. 【答案】 ?

7 9

4. 【答案】 ?

2 5 ; 5

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

1. (2013 年高考辽宁卷(文) )设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

(I)若 a ? b .求x的值;
【答案】

(II)设函数 f ? x ? ? a ? b, 求f ? x ?的最大值.

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . ? 2? 2
3 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 )) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

【答案】(Ⅰ)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,

所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

由余弦定理得, cos B ?
b. 2. (2013 年高考陕西卷(文) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

1 2

因此, B ? 120 .
0

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
b = cos x ? 【答案】(Ⅰ) f ( x) ? a·

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? C ? 60 ,所以
0

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C
? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C

1 3 1 ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

? cos( A ? C) ? 2sin A sin C

最小正周期 T ?

2? ?? . 2
5

?

1 3 ?1 ? 2? 2 4

?

3 , 2
0 0

? ? ? 3 ,且 A ? (0, ) ? A ? ; B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? 2 3 2 2
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此, C ? 15 或 C ? 45 .
0
0

1 ,由已知得到: 2

4( .2013 年高考天津卷 (文) ) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B ,

1 28 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? , 2 3
所以 S ABC

a = 3, cos B ? .
(Ⅰ) 求 b 的值;

2 3

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3
2 2 2

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?
【答案】

11. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)

在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

.
5. (2013 年高考浙江卷(文) )在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 12. (2013 年高考四川卷(文) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【 答 案 】



:(Ⅰ)











:

2sin Asin B ? 3sin B

,



3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? C ) ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin A 的值;
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

6

【答案】解:(Ⅰ)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A ? c) ? ?

3 得 5

3 cos( A ? B) cos B ? sin(A ? B) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B) ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 4 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 5 b sin A 2 a b ? (Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以 sin B ? , ? a 2 sin A sin B
由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6
3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

?
4

.

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6
2

根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 (负值舍去),

3 5

f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? 15. (2013年高考北京卷(文) )已知函数 (

1 cos 4 x . 2

f x) (I)求 ( 的最小正周期及最大值;
(II)若 ? ? (

2 2 13 .( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 文 )) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? (1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C=

?
2

, ? ) ,且 ( f ?) ?

2 ,求 ? 的值. 2
2

f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? 【答案】解:(I)因为 (
=

2? 3

,求

a 的值. b
2 2

1 1 cos 4 x = cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 2

【答案】解:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin B

1 ? 2 ? 2 (sin 4 x ? cos 4 x) = . sin(4 x ? ) ,所以 f ( x) 的最小正周期为 ,最大值为 2 2 2 4 2

因为 sinB 不为 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列
2 2 2 (2)由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ac cos C 得 (2b ? a ) ? a ? b ? 2ac cos
2 2 2

14. (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

2? a 3 化简得 ? 3 b 5

(II)因为 ( f ?) ? 所以 4? ?

? 2 ,所以 sin(4? ? ) ? 1 . 4 2

因为 ? ? (

?
2

,? ) ,

).

?
4

?(

9? 17? ? 5? 9? , ) ,所以 4? ? ? ,故 ? ? . 4 4 4 2 16

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.
【答案】解:(1)

f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

7


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