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球的表面积和体积习题课


球的体积和表面积习题课
第一章 空间几何体 习题课

基本计算问题
1.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积 扩大为原来的_______倍. (2)把球的表面积扩大为原来的2倍,那么体 积扩大为原来的_______倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的 体积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27

,则它们的表 面积之比为________.

截面问题
? 用一个平面去截一个球O,截面是圆面 ? 球的截面的性质: 1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d,球的半径 为R,则

r ? R ?d
2 2

2

R
?

O

r

d

截面问题
1.一球的球面面积为256πcm2,过此球的一 条半径的中点,作垂直于这条半径的截面, 求截面圆的面积. 变式:在球内有相距9cm的两个平行截面, 截面面积分别为49πcm2和400πcm2,求球 的表面积. 两种情况 2. 过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距 离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3, 求球的体积. 变式:在半径为13cm的球面上有A、B、C三点, AB=6cm,BC=8cm,CA=10cm,求经过 A、B、C三点的截面与球心O之间的距离.

球与正方体的“切”“接”问题

“接”与“切”:
? 两个几何体相(内)切:一个几何体的 各个面与另一个几何体的各面相切 ? 两个几何体相接:一个几何体的所有顶 点都在另一个几何体的表面上 ? 解决“接切”问题的关键是画出正确 的截面,把空间“接切”转化为平面 “接切”问题

若正方体的棱长为a,则
⑴正方体的内切球直径= ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

球与正方体的“接切”问题
例:有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比.

a

a r1 ? 2

a

2 r2 ? a 2

a

3 r3 ? a 2

a

2a

2a

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面 ?找准数量关系

球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上,它的棱长 是 4cm,求这个球队体积 . 2.钢球直径5cm,把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中,至少要用 多少纸? 3.半球内有一内接正方体 ,正方体的一个面 在半球的底面圆上,若 正方体的一边长为 6,求半球的半径. 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3, 5,15,求它的外接球表面积 .

长方体对角线 l 2 ? a 2 ? b2 ? c 2

球与正四面体的切与接

四面体与球的“接切”问题
典型:正四面体ABCD的棱长为a, 求其内切球半径r与外接球半径 R. 思考:若正四面体变成正三棱锥, 方法是否有变化?
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不 重合 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法

四面体与球的“接切”问题
1.正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为 2a (1)求它的外接球的体积; ( 2)求它的内切球的表面积. 2.在半径为 15的球内有一个底面边长为12 3 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积. 3.在三棱锥S ? ABC 中,SA ? AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90?, SA ? 面ABC ,求三棱锥的内切 球的半径.
此页不讲,留给以后专题课

1.已知半径为5的一个球体,用一个与球 心距离为4的平面截球 ,则所得截面的

面积为________ 9?

2.半球的半径为R,一正方体 的四个顶点在半球的底面上, 另四个顶点在球面上,求正方 体的棱长.

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