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2012-2013高二数学文统考试题(解析版)


河南省商丘市高二文科数学期末统一考试试题
一选择题 (1)已知双曲线方程为,

(9)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 , 则

1 1 1 ? ? ?????? ? ? a1a2 a2 a3 a10 a11
(D)

x y ? ? 1 则此双曲线的右焦点坐标为

4 3
(C ) 5, 0) ( ( D ) 7, 0) (

2

2

( A)

10 9

( B)

9 10

(C )

10 21

11 21

(10)椭圆的焦点为 F , F2 ,过点 F1 作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段 MN 长为 1 为 20 ,则椭圆的离心率为

32 , ?MF2 N 的周长 5

( A) 1, 0) (

( B ) ( 7, 0)

3 (2)命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是

( A)

2 2 5

( B)

3 5

(C )

4 5

(D)

17 5

( A) ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 (C ) ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0
(3)如果 -

( B ) 不存在 x ?R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ( D ) ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0

(11)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则

a 的值为 b

( A)

?
2

?b?a?

?
2

,则 b ? a 的取值范围是

2 3

( B ) ?2

(C ) ?2 或 ?

2 3

(D) ?

2 3 7 2

(12)已知点 P 是抛物线 y2 ? 2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影为 M ,设 A( , 4) ,则 PA ? PM 的最小值是

( A) -? ? b-a ? 0

( B ) -? ? b-a ? ?

(C ) -

?
2

? b-a ? 0

(D) -

?
2

? b-a ?

?
2
( A)

?y ? x ? (4)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
( A) ?3 ( B)

7 2

( B) 4

(C )

9 2

(D) 5

二填空题 (13)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a=2csinA,角 C=________. (14)等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a5 ? a8 ? a11 ? 33 的值为 (15)函数 y ? (3 ? x2 )ex 的单调递减区是

3 2

(C ) 2

(D) 3

1 ? 4? (5)曲线 y ? x3 ? x 在点 ? 1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 ? 3?
( A)

(16) 已知动点 P 与双曲线 点 P 的轨迹方程 三.解答题

x2 y2 1 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、F2 的距离之和为定值, cos ?F1 PF2 的最小值为 ? . 且 动 2 3 9

1 3

( B)

1 9

(C )

2 9

(D)

2 3

(6)已知数列 {an } ,满足 an?1 ?

1 1 ,若 a1 ? ,则 a2013 = 1 ? an 2
(C ) ? 1 (D) 1

2 2 4 (17)已知命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实数根;命题 q : 方程 4 x ? (m-2)x ? 1 ? 0 无实数根.

( A)

1 2

( B) 2

若“ p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题,求 m 的取值范围.? “

2 (7)命题“存在 x? R ,使 x ? ax ? 4a <0,为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的

( A) 充要条件

( B ) 必要不充分条件

(C ) 充分不必要条件

( D ) .既不充分也不必要条件

(8)已知 ?ABC 的面积为

3 ? , AC ? 3, ?ABC ? ,则 ?ABC 的周长等于 2 3
(C ) 2 ? 3 (D)

( A) 3 ? 3

( B) 3 3

3 3 2

1

(18) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b cos C ? c cos( A ? C ) ? 3a cos B . (I)求 cos B 的值; (II)若 BA? BC ? 2 ,且 a ?

(21)设函数 f ( x) ? c ln x ?

1 2 x ? bx (b, c ? R, c ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. 2

(Ⅰ)若 b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间;

6 ,求 b 的值
(Ⅱ)若 f ( x ) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

(19) (本小题满分 12 分) 在数列 {a n } 中, a1 ?
2 , 3an?1 ? an ?1 ? 0 3
1 2

(22)已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M (2,1) ,离心率为

3 .如图,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 2

(Ⅰ)求证:数列 {a n ? } 为等比数列; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式和前 n 项和公式 S n .

C 于不同的两点 A, B . (Ⅰ)当直线 l 经过椭圆 C 的左焦点时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)证明:直线 MA 与 MB 的斜率之和为定值.

(20) 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用 20 年, 每厘米厚的隔热层建 造成本是 6 万元,天宫一号每年的能源消耗费用 C(万元)与隔热层厚度 x (厘米)满足关系式:

C ?x ? ?

k f 为隔热层建造费用与使用 20 年的 ?0 ? x ? 10? ,若无隔热层,则每年能源消耗费用为 8 万元.设 (x) 3x ? 5

能源消耗费用之和.

f (I)求 C ( x ) 和 (x) 的表达式; f (II)当隔热层修建多少厘米厚时,总费用 (x) 最小,并求出最小值.

2

2012-2013 河南省商丘市高二文科数学期末统一考试试题
一.选择题 BDADB;CAACB;DC

Sn ?

1 1 1 1 n 3n ? 1 n ( ? 2 ? ?+ n ) ? ? ? ?????????????????????????12 分 2 3 3 2 4 ? 3n 2 3

(20)解: (I)当 x ? 0 时,C=8,所以 k =40,故 C ?x ? ?
2 2

x y π ? ?1 二.填空题(13) ;(14)15;(15)(-∞,-3)和(1,+∞);(16) 3 9 4
三.解答题 (17)解:由 p 得: ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 则 , m ? 2 ??????????????????????3 分 ?m ? 0

20 ? 40 800 ? 6x ? ? 0 ? x ? 10? . ?????????6 分 3x ? 5 3x ? 5 800 800 f (II) (x)? 6 x ? ? 2 ? 3x ? 5 ? ? ?10 ? 2 1600 ?10 ? 70, ??9 分 3x ? 5 3x ? 5 800 当且仅当 6 x ? 10 ? ,即x ? 5 时取得最小值.????????????11 分 3x ? 5
(x)? 6 x ? f
即隔热层修建 5 厘米厚时,总费用达到最小值,最小值为 70 万元.?????12 分 (21)解: f ?( x) ?

40 ?????3 分 3x ? 5

由 q 知: ? ? = 16(m ? 2)2 ?16 ? 16(m2 ? 4m ? 3) ? 0 ,则 1 ? m ? 3 ???????????? 6 分 ∵“ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假, “ ∴ p 为真, q 为假,或 p 为假, q 为真.??????????????????????? 7 分 则?

c x 2 ? bx ? c ? x?b ? ,?????????????????? 1 分 x x

?m ? 2 ?m ? 2 或? , ?????????????????????? 9 分 ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

又 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,? f ?(1) ? 0, b ? c ? 1 ? 0 ??????????????????2 分

解得 m ? 3, 或 1 ? m ? 2 . ?????????????????????? 10 分 (18) (I)解:由正弦定理可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin Acos B ?????????2 分 即 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B ,?????????????????? 4 分 可得 sin A ? 3sin Acos B ,又 sin A ? 0 ,?????????????????? 5 分

f ?( x) ?

x 2 ? bx ? c x 2 ? (c ? 1) x ? c ( x ? 1)( x ? c) c ? 1 ? ? 且 , x x x

(I)?b ? c ?1 ? 0 , b ? ?3,? c ? 2 ,?????????????????? 3 分

? f ?( x) ?

1 ????6 分 3 ??? ??? ? ? (II)解:由 BA? BC ? 2,可得ac cos B ? 2 ,?????????????????? 8 分
故 cos B ? 即 ac ? 6 ,又 a ? 6 ,可得 c ? 6 ,?????????????????? 9 分
2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,?????????????????? 10 分

x 2 ? bx ? c ( x ? 1)( x ? 2) ? x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , (2, ?? ) ;递减区间为 (1, 2) .????5 分 (II)①若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ?? ) 上递增,

可得 b ? 2 2 ????????????????????? ?12 分 (19)解: (Ⅰ) 3an?1 ? an ?1 ? 0 , 即 3an?1 ? an ?1 ①?????????????????????1 分
1 a n ?1 ? 3 1 1 1 2 ? 1 ,???????????5 分 所以 3a n ?1 ? ? a n ? ? 3(a n ?1 ? ) ? a n ? ? 1 2 2 2 2 3 an ? 2
1? 1 ? 即数列 ?a n ? ? 为一等比数列,公比 q ? .???????????????????6 分 2? 3 ?

1 1 f ( x ) ? 0 恰有两解,则 f (1) ? 0 ,即 ? b ? 0 ,所以 ? ? c ? 0 ;??????????? 7 分 2 2 1 2 1 ②若 0 ? c ? 1,则 f极大 ( x) ? f (c) ? c ln c ? c ? bc , f极小 ( x) ? f (1) ? ? b , 2 2
因为 b ? ?1 ? c ,则 f极大 ( x) ? c ln c ?

1 2 1 c2 c ? bc ? c ln c ? c 2 ? (?1 ? c)c ? c ln c ? c ? ? 0 2 2 2

1 f极小 ( x) ? ? ? c ,从而 f ( x ) ? 0 只有一解;?????????????????? 9 分 2
1 2 c ( 1 ? ③ 若 c ? 1 , 则 f极小 ( x ) ? c l n ? c ? ? ? c c ) c 2
解. ?????????????????? 11 分 综上,使 f ( x ) ? 0 恰有两解的 c 的范围为 -

(Ⅱ)由(1)得 ?a n ? ? 为一公比为 q ? ,a1 ? ? ? ? 的等比数列,??????????8 分
1 1 1 则 a n ? ? ? ( )n ?1 2 6 3 1 1 1 ∴ a n ? ? ( )n ? ,????????????????????????10 分 2 3 2
3

? ?

1? 2?

c2 cn c? ? l? 2

0 , f极大 ( x) ? ?

1 ? c , 则 f ( x) ? 0 只 有 一 2

1 3

1 2

2 3

1 2

1 6

1 ? c ? 0 .????12 分 2

(22)解: (Ⅰ)根据 e ?

x2 y2 c 3 ,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , ? 4b b a 2

将 M (2,1) 代入可得 b2 ? 2 ,????????? 1 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????????2 分 8 2

因此左焦点为 (? 6,0) , 斜率 kl ? kOM ?

1 ??????????3 分 2
1 1 6 ( x ? 6) ,即 y ? x ? ???????? 4 分 2 2 2

所以直线 l 的方程为 y ?

(Ⅱ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 k1 ? 设l : y ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

1 x?m, 2

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) (*)??????????????? 7 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 ,得 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 ? x ? y ?1 ?8 2 ?
所以, x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 4 ?????????????????????? 10 分 代入(*)式,得 k1 ? k2 ?

2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?0
直线 MA 与 MB 的斜率之和为定值 0 .??????????????? 12 分

4


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