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数学人教版选修2-2第一章 导数及其应用基本易考易忽略知识点、考点、及其例题

时间:2017-10-20


高中数学选修 2----2 知识点 第一章 导数及其应用 一. 导数的概念 1. 一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x 处的瞬时变化率是 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim , 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x 处 ?x ?0 ?x
0 0

的导数,记作 f ?( x0 ) 或

/>y? |x ? x0



2. 导数的几何意义:曲线的切线. 3. 导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数, 我们称它为 f ( x) 的导函数. 二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ;
? ?1 ? 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x ;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ;
x 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a

x

x x 6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e

7 若 f ( x) ? log

x a ,则

f ?( x) ?

1 x ln a

1 ? f ( x ) ? f ( x ) ? ln x 8 若 ,则 x

2)导数的运算法则 1.

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)
f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ? [ ] ? 3. g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导
y ? f (u ) 和 u ? g ( x) , 称则

y 可以表示成为 x 的函数 ,

即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数
y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)

考点:导数的求导及运算
2 1、已知 f ? x ? ? x ? 2x ? sin ? ,则 f

'

? 0? ? ?

x ' f x ? e sin x f ? ? 2、若 ,则 ? x ? ? ?

3. f ( x) =ax3+3x2+2 , f ?(?1) ? 4 ,则 a=? 4.过抛物线 y=x2 上的点 M ( 1 , 1 ) 的切线的倾斜角是?
2 4

9 2 y ? x ?3 与 5. 如 果 曲 线 2
三.导数在研究函数中的应用 知识点: 1.函数的单调性与导数:

y ? 2 ? x3



x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 =?

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区 间 ( a, b) 内 , 如 果 f ?( x ) ? 0,那么 函数

y ? f ( x) 在这个区间单调递增;
2.函数的极值与导数 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: 如果在

x0 附近的左侧

f ?( x) ? 0 , 右侧 f ?( x ) ? 0 , 那么

f ( x0 ) 是极大值;
3.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) (2) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值

f (a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,
最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决 实际问题 考点: 1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用

4、导数在恒成立问题中的应用

题目归纳
一、切线方程中的运用
3 y ? x 1.曲线 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P

点为(

) B.(-1,-1)或(1,1)
1 D.(- 2 1 ,- 8 )

A.(-2,-8) C.(2,8) 2.曲线 y ? 1 x
3
3

? x 2 ? 5 ,过其上横坐标为

1 的点作曲线的

切线,则切线的倾斜角为(
? A. 6 ? B. 4


3 ? D. 4

? C. 3

二、单调性中的运用
3 2 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 是减函数的区间 1.(05 广东卷)函数

为( A. (2, ??)

) B. (??, 2) C. (??, 0) D. (0, 2)

3 2 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确 2.关于函数

的是(

) B.在区间

A.在区间( ? ? ,0)内, f ( x) 为增函数 (0,2)内, f ( x) 为减函数 C. 在区间 (2,? ? ) 内,f ( x) 为增函数

D. 在区间 ( ??,

0) ? (2,??) 内, f ( x) 为增函数 4、 (2010 年山东 21) (本小题满分 12 分) 1? a f ( x ) ? 1 nx ? ax ? ? 1(a ? R). 已知函数 x (Ⅰ)当 a ? ?1时,求曲线y ? f ( x)在点(2, f (2))处的切线方程; (Ⅱ)当 a≤ 2 时,讨论 三、最值、极值中的运用:
3 2 f ( x ) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 1.(05 全国卷Ⅰ)函数

1

f ( x) 的单调性.

f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =(

) C. 4 D.5

A.2 2. 函数 y ? 2x 别是(
3

B. 3

? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分

) B.5 , 4 C.- 4 , - 15

A.5 , - 15 D.5 , - 16 3.已知函数

f ( x) ? ax 3 ? cx ? d (a ? 0)

是 R 上的

奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值-2. (1)试求 a、c、d 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间和极 大值;
2 x ?1 3 2 f ( x ) ? x e ? ax ? bx 4. 设 函 数 ,已知

x ? ?2和x ? 1 为 f ( x) 的极值点。

(1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性;