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高二数学上学期期末试卷


高二第一学期期末考试数学试卷

高二上学期数学期末考试试卷 一、选择题(60 分) 1. 在等差数列 { a n } 中, a 1 =3, a 3 ? 9 A . 15 B.6
? 2

则 a 5 的值为 C. 81 D. 9

2.在 ? ABC 中, B ? 6 0 , b A.直角三角形

r />? a c ,则 ? ABC 一定是

B.等边三角形 A.

C.锐角三角形
2 2

D.钝角三角形

3.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为

B.

3 4

C.

3 2

D.

2 3

4.若不等式 ax

2

1 1? ? ? x ? ? ,则 a-b 的值是 A.-10 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? 2 3? ?
4

B.-14

C. 10

D. 14

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程 A. x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

6.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

A. 3

B.

7 5

C.

8 5

D.

4 3

7.若 f ? x ? ?

1 x

,则 f

'

?2 ? ?

A.4

B.

1 4

C. ? 4

D. ?

1 4

8.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定 A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 D.存在一个奇数,不能被 5 整除

9.双曲线

x

2

?

y

2

m

n

有一个焦点与抛物线 y ? 1 ? m n ? 0 ? 离心率为 2,

2

? 4 x 的焦点重合, mn 的值为 则

A.

3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3

x ?1 ? ? y ?1 10.已知变量 x , y 满足, ? 目标函数是 z ? 2 x ? y ,则有 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

A. z m ax ? 5 , z m in ? 3
2

B. z m ax ? 5 , z 无最小值 C. z min ? 3 , z 无最大值
2 2

D. z 既无最大值,也无最小值

11.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 的解集是 B, 不等式 x +ax+b<0 的解集是 A?B, 那么 a+b 等于 A.-3 B.1
2

C.-1

D. 3

12.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为

A. 2 x ? y ? 2 ? 0

B. 3 x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

二.填空题:本大题共 4 个小题.每小题 4 分;共 16 分.将答案填在题中横线上.

第 1 页共 6 页

高二第一学期期末考试数学试卷

13.抛物线 y

2

? ? 8 x 的焦点坐标为

. 1 4 、 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 a n ? n ( n ? 1), 则 S n 为 数 列 { a }的 前 n 项
n

1

的 和 ,则 Sn = _________ .

15.在 ? ABC 中,三个角 A 、 B 、 C 成等差数列, AB ? 1, BC ? 4 ,则 BC 边上的中线 AD 的长为

.

16.已知

2 x

?

3 y

? 2 , ( x ? 0 , y ? 0 ) ,则 x y 的最小值是_________.

17.(本小题满分 8 分) 已知 p : ? 2 ? x ? 10 ; q : x ? 2 x ? 1 ? m
2 2

? 0 ( m ? 0 ) ,若

?p



?q

的必要非充分条件,求实数 m 的

取值范围. 18.(本小题满分 8 分已知在锐角Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, sin A ?
2 3 2

.a=2, S ? ABC ?

2 .

求 b 的值. 19. (本小题满分 8 分。 某投资人打算投资甲、 乙两个项目, 根据预测, 甲、 乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问 投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 20.(本小题满分 10 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, a n ? 1 ? (1)求数列{an}的通项公式; (2)a2+ a4+ a6+?+ a2n 的值. 21. 设椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点 ? 2 , 0 ? ,离心率为
3 2

1 3

S n , n ? 1, n ? N

?

.

.(1)求椭圆的方程;

(2 若椭圆左焦点为 F 1 ,右焦点 F 2 ,过 F 1 且斜率为 1 的直线交椭圆于 B ,求 ? ABF

2

的面积.

22.(本小题满分 12 分)

设 x1、x2(x1≠x2)是函数 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? a 2 x ( a ? 0 ) 的两个极值点. (1)若 x1=-1,x2=2,求函数 f(x)的解析式; (2)若 | x 1 | ? | x 2 | ? 2 2 ,求 b 的最大值.

参考答案及评分标准

第 2 页共 6 页

高二第一学期期末考试数学试卷 一.选择题:. 1.A 2.B 3.C 二.填空题: 13. ? ? 2 , 0 ? 三.解答题: ⒘ 解: 解:由 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ( m ? 0 ) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m ??????1 分 ? ? q : A =? x | x ? 1 ? m或 x ? 1 ? m? ??????2 分
2 2

4.A

5.B

6. D

7.D 8.C 9.A

10.A

11.A

12.D

14.

n n ?1

15.

3

16. 6

? ? p : B ? ?x | x ? ? 2 或 x ? 10 ? ? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,且 m ? 0 , ?

????????????4 分 A? B

?m ? 0 ? ? ? ?1 ? m ? ? 2 ? ?1 ? m ? 1 0 ?

(1) (2) (3)

????????????6 分

即 m ? 9 , 注意到当 m ? 9 时,(3)中等号成立,而(2)中等号不成立 ? m 的取值范围是 m ? 9 ????????????8 分
2 3 2

⒙解:因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, s in A ?

,所以 cosA=

1 3

,???2 分

因为 S ? ABC ?

2 又 S ? ABC ?
1 3 3 b
3

1 2

bc sin A ?

1 2
2

bc ?

2 3

2

?

2 ,则 bc=3

???5 分

将 a=2,cosA=

,c=

代入余弦定理: a = b + c - 2 b c c o s A 中得

2

2

b - 6 b + 9 = 0 解得 b=

4

2

解得 b=

3

????????????8 分
y 万元投资甲、乙两个项目,

⒚解:设投资人分别用 x 万元、

? x ? y ? 10 , ? ? 0 .3 x ? 0 .1 y ? 1 .5 , 由题意知 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

目标函数 z ? x ? 0 . 5 y

??????4 分

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)是可行域 作直线 l 0 : x ? 0 . 5 y ? 0 , 关作平行于直线 过 可 行 域 上 的 M 点

l 0 的一组直线 ? 0 . 5 y ? z , z ? R , 与可行域相交, 其中有一条直线经


























M





线

x ? y ? 10 和 0 . 3 ? 0 . 1 y ? 1 . 8 的

????????????5 分

第 3 页共 6 页

高二第一学期期末考试数学试卷

解方程组

? x ? y ? 10 , ? ? 0 .3 x ? 0 .1 y ? 1 .8

x ? 4, y ? 6

????????????6 分

此时 z ? 4 ? 0 . 5 ? 6 ? 7 (万元)
? 当 x ? 4 , y ? 6 时 z 取得最大值.

????????????7 分

答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保 可能的亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大 20. 解:(1)由 a1=1, a n ? 1 ? ?????8 分

1 3 1 3

S n ,n=1,2,3,??,得 1 3 1 3 a n (n≥2),
, ????????????2 分

a2 ?

1 3

S1 ?

a1 ? 1 3

由 a n ?1 ? a n ? 得 a n ?1 ? 又 a2=

( S n ? S n ?1 ) ?

4 3

a n (n≥2), 1 4 n?2 (n≥2) ( ) 3 3
??????6 分

1 3

,所以 an=

n ? 1, ?1 , ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an= ? 1 4 n ? 2 , ? ( ) n ? 2 ?3 3

??????7 分

(2)由(1)可知 a2,a4,?,a2n 是首项为

1 3

,公比为 (
2n

4 3

) ,且项数为 n 的等比数列,

2

所以 a2+a4+ a6+?+a2n=

1 3

1? ( ? 1? (

4 3 4 3

)

? )
2

3 7

[(

4 3

)

2n

? 1]

??????10 分

21.(1)设椭圆的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? ,

????????????1 分

由题意, a ? 2 ,

c a

?

3 2

,? c ?

3 ,b

2

? a

2

? c

2

?1

????????????3 分

∴椭圆的方程为

x

2

? y

2

?1

?????????????????????4 分

4

(2) F 1 ?

?

3 ,0 , F 2

?

?

3 , 0 ,设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,

?

A F1 y O F2 x

则直线 AB 的方程为 y ? x ?

3.

?????5 分

B 第 22 题图

第 4 页共 6 页

高二第一学期期末考试数学试卷

? y ? x ? 3 ? 2 由? x 2 ,消 x 得 5 y ? 2 2 ? y ?1 ? ? 4
2 5 4 5 2 3 1 5

3 y ? 1 ? 0 ???6 分

∴ y1 ? y 2 ?

, y1 y 2 ? ?

, y1 ? y 2

2

?

? y1

? y2

?

2

? 4 y1 y 2 ?

32 25

?????7 分

∴ y1 ? y 2 ?

????????????????????8 分

∴ S ? ABF

1

? S ? AF

1F2

? S ? BF

1F

2

?

1 2

? F1 F 2 ? y 1 ?

1 2

? F1 F 2 ? y 2 ?

1 2

F1 F 2 ? y 1 ? y 2

=

1 2

? 2

3 ?

4 5

2

?

4 5

6

????????????????????10 分

22.解: f ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? a ( a ? 0 ).
2

???????????????1 分

(1)? x 1 ? ? 1, x 2 ? 2 是函数 f(x)的两个极值点,

? f ?? 1? ? 0 ? 3a ? 2b ? a ? 0 即? ? ' 2 ? f ?2 ? ? 0 ?12 a ? 4 b ? a ? 0
' 2

????????3 分

解得 a ? 6 , b ? ? 9

? f (x) ? 6 x

3

? 9x

2

? 36 x .

????????????5 分

(2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点,? f ? ( x 1 ) ? f ? ( x 2 ) ? 0 .

∴x1、x2 是方程 3 ax ∵△= 4b2 + 12a3,
2b 3a

2

? 2 bx ? a

2

? 0 的两个实根.

?????????????6 分

∴△>0 对一切 a > 0, b ? R 恒成立.
a 3

x1 ? x 2 ? ? ? a ? 0,

, x1 ? x 2 ? ?

,

? x1 ? x 2 ? 0

?| x 1 | ? | x 2 |? | x 1 ? x 2 |? 2

2. 得

4b 9a

2 2

?

4 3

a ? 2

2 ,? b

2

? 3a

2

?6 ? a ?

???8 分

? b

2

? 0,

? 3a (6 ? a ) ? 0,
2

0 ? a ? 6.

第 5 页共 6 页

高二第一学期期末考试数学试卷

令 h ( a ) ? 3 a ( 6 ? a ), 则 h ? ( a ) ? ? 9 a
2

2

? 36 a .

0 ? a ? 4时 , h ?( a ) ? 0

? h ( a ) 在(0,4)内是增函数

4 ? a ? 6时 , h ?( a ) ? 0

∴h(a)在(4,6)内是减函数.

??????10 分

∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96,? h ( a ) 在 ? 0 , 6 ? 上的最大值是 96 ?????11 分

∴b 的最大值是 4

6

???????????????12 分

第 6 页共 6 页


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