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湖北省松滋一中11-12学年高一数学 单元训练(33)第一章解三角形(提高训练C组) 必修5


数学必修 5 第一章:解三角形

一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 ,2) C. (?1, 2 ] B. (? 2 , 2 ) D. [? 2 , 2 ] )

2.在△ABC 中,若 C ? 900 , 则三边的比

A? B 2 A? B

C. 2 sin 2
A. 2 cos

A? B 2 A? B D. 2 sin 2
B. 2 cos

a?b 等于( c



3.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于(



A. 12

B.

21 2

C. 28

D. 6 3

4.在△ABC 中, ?C ? 90 , 0 ? A ? 45 ,则下列各式中正确的是(
0

0

0



A. sin A ? cos A C. sin A ? cos B

B. sin B ? cos A D. sin B ? cos B


5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( A. 90
0

B. 60
0

0

C. 120

D. 150

0

6.在△ABC 中,若

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2



A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。 3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2b ,则 cos A ? cos C ? cos A cos C ?

1 sin A sin C ? ______。 3

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_______________。 6.在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos2B 的值是_________。
2

三、解答题
1.在△ABC 中,若 (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ,请判断三角形的形状。

1. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin A ? sin C) ? ( 2a ? b) sin B,
2 2

求△ABC 的面积的最大值。

2. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

4.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的高 为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

一、选择题
1.C

sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ), 4

?

而0 ? A ??, 2.B

?
4

? A?

?
4

?

5? 2 ? ?? ? sin( A ? ) ? 1 4 2 4

3.D 4.D

a ? b sin A ? sin B ? ? sin A ? sin B c sin C A? B A? B A B ? ?2 sin cos ? 2 cos 2 2 2 1 1 cos A ? , A ? 600 , S? ABC ? bc sin A ? 6 3 2 2

A s A ? B ? 900 则 s i n ? c oB

, s ?n B i

A o s ? A ? 450 , c , 00

s i n ? c o s, 450 ? B ? 900 ,sin B ? cos B A A
5.C
2 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b c b ? c ? a ? ? c o s , 2 , bc

1 A ?, ? 2

A 20 1 0 ?

6.B

sin A c oB s ? ? cos A s iB n
s i n A? 2

2 2

s iA n , s iB n

cos B ? cos A

As i n , s iA n Bs i n

c A s? o

Bi n B o s s c

s i n 2 A,?2 或 2 A 2 B 2 B B ? ? ?

二、填空题
1. 对

si n ?si n ,则 A B

a b ? ?a?b? A? B 2R 2R

2. 直角三角形

1 ( 1? c o s 2? ?1 c B s 2 2 A o?s ( ? A o ? ) c B 2 1 (cos 2 A ? cos 2 B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0, 2

)

1,

cos( A ? B)cos( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 0
cos A cos B cos C ? 0
3. x ? y ? z

A? B ?

?
2

,A?

?
2

? B , s iA ? n

cB s B s i n A yc? z o , ? os

,

c ? a ? b s i n C? s i n ? , A
4. 1

s iB x , y ? n ? x,

? y

z
C cos

s i n ? s iC ? A n

A? C A? C A C ? A ? , 2 sin c o?s 4 sin 2 2 2 2 A?C A?C A C A C cos ? 2 cos , cos cos ? 3sin sin 2 2 2 2 2 2 1 A 2C 2 sin 则 sin A sin C ? 4sin 3 2 2 1 cos A ? cos C ? cos A cos C ? sin A sin C 3 2 sin B

A 2C sin 2 2 A C A 2C ? ?2sin 2 ? 2sin 2 ? 4sin 2 sin ?1 ? 1 2 2 2 2 ? ? tan A ? tan C 2 5. [ , ) tan B ? tan A tan C , tan B ? ? tan( A ? C ) ? 3 2 tan A tan C ? 1 tan ? tan A C t a n ? ? t aA ? C ? ) 2 B n( t a nB? 1 ? ?(1 ? cos A)(1 ? cos C ) ? 1 ? 4sin 2

tan3 B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B
tan 3 B ? 3 tan B, tan B ? 0 ? tan B ? 3 ? B ?

?
3

6. 1

( s s b2 ? ac,sin 2 B ? sin A sin C, c o sA ? C ) ? c o B ? c o 2B ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2sin 2 B
? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1

? cos( A ? C ) ? cos B ? 1 ? 1

三、解答题
1. 解:

a 2 ? b2 sin( A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A ? , ? ? a 2 ? b2 sin( A ? B) b2 cos A sin B sin 2 B
s i n 2 ?, 2B或2A ? B ? ? 2 B A 2

cos B sin A ? , s i nA ? 2 cos A sin B
∴等腰或直角三角形

2. 解: 2R sin A ? sin A ? 2R sin C ? sin C ? ( 2a ? b)sin B,

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a2 ? c2 ? 2ab ? b2 ,
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab, cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 2 ? , C ? 450 2ab 2

c ? 2 R, c ? 2 R sin C ? 2 R, a 2 ? b 2 ? 2 R 2 ? 2ab, sin C

2 R 2 ? 2ab ? a 2 ? b2 ? 2ab, ab ?

2R2 2? 2

1 2 2 2R2 S ? ab sin C ? ab ? ? , S max ? 2 4 4 2? 2

2 ?1 2 R 2

另法: S ?

1 2 2 ab sin C ? ab ? ? 2R sin A ? 2R sin B 2 4 4

?

2 ? 2 R sin A ? 2R sin B ? 2 R 2 sin A sin B 4

1 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

1 2 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? ] 2 2 2R2 2 ? ? (1 ? ) 2 2

? Smax ?

2 ?1 2 R 此时 A ? B 取得等号 2
A?C A?C A?C A?C cos ? 4sin cos 2 2 2 2

3. 解: sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin

sin

B 1 A?C 2 B 14 B B 7 ? cos ? , cos ? ,sin B ? 2sin cos ? 2 2 2 4 2 4 2 2 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?

3? B ? B ? ,C ? ? 4 2 4 2

sin A ? sin(

3? 3? 3? 7 ?1 ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

sin C ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4

?

?

?

7 ?1 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? (7 ? 7 ) : 7 : (7 ? 7 )
4. 解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a ? c ? b ? ac, cos B ?
2 2 2

1 , B ? 600 2

t a nA ? C ?) (

tan ? tan A C ?3 3 ? , ?3 , 1? t a n t C n A a ? 1 At a nC t a n
3

t a n t a n? ? 2 ,联合 t a n ? t a n? ? 3 A C 3 A C
得?

? A ? 750 ? A ? 450 ? tan A ? 2 ? 3 ? tan A ? 1 ? ? ? ? 或? 或? ,即 ? 0 0 ? tan C ? 1 ? tan C ? 2 ? 3 ?C ? 45 ?C ? 75 ? ? ? ?
0 0

当 A ? 75 , C ? 45 时, b ?

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 450 , C ? 750 时, b ?

4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

∴当 A ? 750 , B ? 600 , C ? 450 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ?1), 当 A ? 450 , B ? 600 , C ? 750 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1) 。


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