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浙江省2016届高三下学期六校联考考试数学(文)试题(PDF版)


2016 届浙江省六校联考试卷

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为 120 分钟。 参考公式:
柱体的体积公式 V ? Sh 锥体的体积公式 V ? 1 Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

3

台体的

体积公式 V ? 1 h( S ? S S ? S ) 1 1 2 2 3 球的表面积公式 S 球的体积公式 V ?

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径, h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

? 4? R2
4 ? R3 3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.已知集合 A=

?x x

2

? 4x ? 3 ? 0 , B ? ?x 2 ? x ? 4? ,则 A ? B ?
B.( 2 , 3 ) C.( 1 , 4 ) D.( 2 , 4 )

?

A.( 1 , 3 )

2.已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 ,则“ l1 // l2 ”是“ m ? ?7 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知空间两条不同的直线 m , n 和平面 ? ,则下列命题中正确的是 A.若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n 4.已知 S n 为数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

1 1 , a n ?1 ? 1 ? ,则 S10 ? 2 an
C.5 D.6

A.4 5.将函数 y ? sin(4 x ?

B.

9 2

π π ) 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 个 6 3
π ,0 ) 9 π ,0 ) 4 π ,0 ) 2

单位,得到的函数的图像的一个对称中心为 A. (

π ,0 ) 16

B. (

C. (

D. (

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

6.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ?x ? 1? ? 2 f ?x? ,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) = x 2 ? x , 则 f ?? A. ?

? 3? ?? ? 2?
1 2
B. ?

1 4

C. ?

1 8

D. ?

1 16

7.已知 O 为坐标原点,双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,以 OF 为直径作 a 2 b2

圆交双曲线的渐近线于两点 A , B (异于原点) ,若 ? AO ? AF ?· OF ? 0 ,则双曲线的离 心率 e 为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 2

→ → →

8.设 m 为不小于 2 的正整数,对任意 n ? Z ,若 n ? qm ? r (其中 q , r ? Z ,且 0 ≤ r ? m ) , 则记 f m (n) ? r ,如 f2 (3) ? 1 , f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 f m : Z ? Z 的命题中,不正确 的是 ... A.若 a , b ? Z ,则 fm (a ? b) ? fm (a) ? fm (b) B.若 a , b , k ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) ,则 fm (ka) ? fm (kb) C.若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 fm (a ? c) ? f m (b ? d ) D.若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 fm (ac) ? fm (bd )

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.设 ? 是第二象限角, P( x,4) 为其终边上一点,且 cos ? ? 则x? ▲ , tan? ? ▲ .

1 x, 5

2
2

10.某几何体的三视图如右图, 则该几何体的体积为 ▲ , 表面积为 ▲ . 11.设函数 f ( x) ? ?

1 1 正视图

1

1 1 1 侧视图

? 2 x , x ? [?1,2] ,则 f (log2 3) = ▲ , ?8 ? 2 x, x ? (2,4]

俯视图

若 f ?t ? ?[ 0 , 1 ],则实数 t 的取值范围是 ▲ .

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

12.动直线 l : (3? ? 1) x ? (1 ? ?) y ? 6 ? 6? ? 0 过定点 P ,则点 P 的坐标为 ▲ ,若

? x?0 ? 直线 l 与不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域有公共点,则实数 ? 的取值范围是 ▲ . ?2 x ? y ? 2 ? 1 1 k ? 0 恒成立,则实数 k 的最小值为 ▲ . 13.设 a ? 0, b ? 0 ,且不等式 ? ? a b a?b → 2 14.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? BC ,点 E 是线段 AD 上的一个动点(不含端点) , 3
若 BE ? ?AB ? ?AC ,则







? ?1 = ▲ . ?

15.如右图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 为正方形边上的动点, 现将△ ADE 所在平面沿 AE 折起,使点 D 在平面 ABC 上的射影

H 落在直线 AE 上.当 E 从点 D 运动到点 C ,再从点 C 运动到点 B ,
则点 H 所形成轨迹的长度为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如右图,在四边形 ABCD 中, ?D = 2?B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求 ?ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3
A D

B

C

17.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 16, S6 ? 36 . (Ⅰ) 求 an ; (Ⅱ) 设 {bn } 满足 bn ? q
an

?q ? 0? , Tn ?

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 ,求 Tn . bnbn ?1

数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

18.如右图所示的几何体是由以正 ?ABC 为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) 被平面 DEF 所截而得, AB ? 2 , BD ? 1 , AF ? 2 , CE ? 3 , O 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 OA //平面 DEF ; (Ⅱ)求直线 FC 与平面 DEF 所成的角的正弦值.
F E

D A C

O

B

19.如右图,点 F (0,2) 是抛物线 x 2 ? 2 py 的焦点. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)若点 P 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上一动点,直线 l 是圆 O 在点 P 处的切线,直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点( A, B 在 y 轴的两侧) ,求四边形 OAFB 的面积的最小值.

y F A P B

x
O

20.已知函数 f ( x) ?

3 2 ax (a ? 0, b ? 1) ,满足: f (1) ? 1 ,且 f ( x) 在 R 上有最大值 . 4 x ?b
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 1 , 2 ]时,不等式 f ( x) ?

3m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 2) x ? m
2

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

2016 届浙江省六校联考

数学(文科)答案
一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.A

二、填空题(第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分)

9.-3, ?

4 3

10.

?
3

, 2?

1? 5 ? 2 ? 7? ?1, 3 ? ? ?

11. 3

, ?? 1,0? ? ? ,4? 2 14.

?7 ? ? ?
1 2

12.

(0, ?6) ,

13.-4

15. ?

三、解答题 16. 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? 因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?
2

1 3

……………………… 2 分

2 2 , 3

………………………… 4 分

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 . 2

……………… 7 分

(Ⅱ)解法一:在△ACD 中, AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 . …………………………… 9 分 …………… 12 分

在△ABC 中, AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12

把已知条件代入并化简得: AB 2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ……14 分 解法二:在△ACD 中, AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 . ………………………………………………………… 9 分

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

因为 BC ? 2 3 , 得 AB ? 4 .

2 3 AB AC AB ? ? ,所以 ,……… 12 分 sin B sin ? ? ? 2 B ? sin B sin ?ACB
…………………………………………………………14 分

17. 解:解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 S 4 ? 16, S 6 ? 36 ,

4?3 ? 4a1 ? d ? 16 ? ? 2 , ? ?6a ? 6 ? 5 d ? 36 ? 1 ? 2 ?a1 ? 1 解得 ? , ?d ? 2


…………2 分

…………………4

? an ? 2n ? 1
分 (Ⅱ) bn ? q
an

…………………7

? q 2 n ?1 , {

1 1 1 } 是首项为 4 ,公比为 4 的等比数列, bnbn ?1 q q

………9 分

? q ? 1 时,

Tn ?

1 1 1 ? ?? ? b1b2 b2b3 bn bn ?1

=

1 1 (1 ? 4 n ) 4 1 1 q q ? 4 (1 ? 4 n ) 1 q ?1 q 1? 4 q

…12 分

? q ? 1 时,? Tn

?n

……………14 分

?? 1 1 (1 ? 4 n ) ( q ? 1) ?? 4 ? Tn ? ? ? q ? 1 q ?n ( q ? 1) ?


………………15

18. (1)证:取 DE 的中点 G,连结 GF.由三棱柱得,AF//BD//CE, ∵OG 为梯形 CBDE 的中位线 ∴OG//CE,且 OG=2 而 CE//AF,且 AF=2 ∴OG // AF ∴GF//OA ……………………7

∴四边形 OAFG 为平行四边形

又 OA ? 平面 DEF,GF ? 平面 DEF ∴ OA//平面 DEF 分

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

(2)∵ AO ? 面BCED , FG // OA ,∴ FG ? 面BCED 又 FG ? 面DEF ,∴ 面DEF ? 面BCDE 在面 BCED 中,过 C 作 CH ? DE ,连 CH,则 CH ? 面DEF ∴ ?CFH 为直线 FC 和面 DEF 所成角。 分 …………………….11

CH 3 3 2 ? , , sin ?CFH ? CF 4 2 3 ∴直线 FC 和面 DEF 所成角的正弦值为 。 …………………….15 分 4
在 ΔCFH 中, CF ? 2 2 , CH ? 注:解法 2 可用等积法;解法 3 可用空间直角坐标系

19.解: (Ⅰ) x 2 ? 8 y (Ⅱ)解法一:设点 P ( x0 , y0 ) ,则直线 l : x 0 x ? y 0 y ? 1 联立直线 l 与抛物线方程可得 y 0 x 2 ? 8 x 0 x ? 8 ? 0 ,
2 ? 32 y 0 ? 0 且 x 1 x 2 ? ? 由题意可得 ? ? 64 x 0

…………….5 分 …………….6 分

8 ? 0 ,故 0 ? y 0 ? 1 , y0

……………..8 分 ……………..10 分

而 x1 ? x 2 ? ?

8x 0 8 2 2 , x1 x 2 ? ? ,且 x 0 ? y0 ? 1, y y0 0
2 64 x 0 2 y0

∴ | x1 ? x 2 |2 ? ( x 1 ? x 2 )2 ? 4x1 x 2 ?

?

2 32 64 x 0 ? 32 y 0 ? 2 y0 y0

?

2 ? 1 1 64(1 ? y0 ) ? 32 y0 17 ? ? 32? 2( ? ) 2 ? ? ? 32 , 2 8? y0 ? y0 4

……………….13 分

当且仅当 y 0 ? 1 时取“=” , ∴S ?

∴ | x 1 ? x 2 |? 4 2 , ………………..15 分

1 | OF | ? | x 1 ? x 2 |? 4 2 , 2

即四边形 OAFB 面积的最小值为 4 2 . 解法二:设直线 AB : y ? kx ? b

b
2 由直线与圆相切得: 1 ? k

?1
,即 b ? 1 ? k ( b ? 1 )①
2 2 2

…………….7 分

? y ? kx ? b 化简整理得: x 2 ? 8kx ? 8b ? 0 ? 2 x ? 8 y ?
数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

设 A? x1 , y1 ?, B ? x 2 , y 2 ? 则 x1 ? x 2 ? 8k , x1 ? x 2 ? ?8b

…………….9 分

?

A, B 在 y 轴两侧,? x1 ? x 2 ? 0 即 b ? 0 ②

由①②得 b ? 1

S OAFB ?


1 1 ? OF ? x1 ? ? OF ? x 2 2 2

…………….11

? x1 ? x 2
?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
…………….13

? 64k 2 ? 32b ? 4 4b 2 ? 2b ? 4 (b ? 1)


S 当 b ? 1 时, OAFB 的最小值为 4 2


…………….15

20. 解: (1)因为 f (1) ? 1 ,得: a ? b ? 1 ,

…………………2 分

又因为 f ( x) max ?

a 2 b

?

3 2, 4

…………………4 分

?a ? 3 解得: ? ?b ? 2 或
即: f ( x ) ? (2)解法一:因为

3 ? a? ? ? 2 ? ?b ? 1 (舍) ? ? 2
…………………6 分

3x x ?2
2

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? m ? ( ??,1) ? (2, ??) …8 分 ( x ? 2) x ? m
2

则问题为

3x 3m m 即x? 对 x ? [1, 2] 恒成立, ? 2 x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

即 x x ? m ? m ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立 令 g ? x ? ? x x ? m ? m , g ? x ? ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立,

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

由?

? g ?1? ? 1 ? m ? m ? 0 ? ? ? g ? 2? ? 2 2 ? m ? m ? 0



4 ?m?4 3

…………10 分

? x 2 ? mx ? m, ( x ? m) 整理得 g ( x) ? ? 2 ?? x ? mx ? m, ( x ? m)
问题转化为:求 g ( x ) 在 [1,2] 上的最大值 g ( x) max ? 0 ① 当

4 ? m ? 2 时, g ( x) max ? max?g (1), g (2)? 3

g (1) ? ?1, g (2) ? 4 ? 3m

4 5 ? m ? 时, g (2) ? g (1) 3 3 5 4 ? m ? 2 时, g (1) ? g (2) ,? ? m ? 2 成立 3 3
② 当 2 ? m ? 4 时, g ( x) max
2 ?m? m ? g? ? ? ?m?0 4 ?2?

…………12 分

?2 ? m ? 4
又 m ? ( ??,1) ? (2, ?? ) 综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4 解法二: 因为

…………14 分

………………15 分

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? ( x ? 2) x ? m
2

m ?(??,1) ? (2, ??) ……8 分

问题即为

3x 3m m 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, ? 2 x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

x?m ?


m m m ? ? x?m? x x x x ? 1 显然成立

…………………10 分

当 x ? 1 时, m ?

x2 x ?1

m?4



对于 m ?

x2 x2 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( )max , x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1) 2 1 x2 4 4 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, ? ( )max ? , 即 m ? , 3 x ?1 t t x ?1 3
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综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4

…………………15 分

数学(文科)试题卷·第 6 页(共 4 页)


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