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北京市房山区周口店中学2015高三上学期期中考试数学(理)试题


北京市房山区周口店中学 2015 高三上学期期中考试 数学(理)试题
一、选择题 本题共 8 小题,每个小题 5 分,共 40 分。 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A

B ?(


)

C.{0, 2} D.{0,1, 2} 2.

下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

A.{0}

B.{0,1}

A. y ? x ? 1

B. y ? ( x ? 1)2
2 2

C. y ? 2? x

D. y ? log0.5 ( x ? 1)


3..命题 p :?x ? R , x ? ax ? a ? 0 ; 命题 q :?x ? R ,sin x ? cos x ? 2 , 则下列命题中为真命题的是 ( A. p ? q 4.将函数 B. p ? q C. (?p ) ? q D. (?p ) ? (?q )

的图像上所有的点向右平行移动 ) B.

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵

坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 ( A.

C.

D.

5.已知一元二次不等式

的解集为

,则

的解集为





A. C. 6.函数 f ( x) ? 1 ? e 的图象大致是()
| x|

B. D.

?x ? y ? 2 ≥ 0 ? 7. 已知不等式组 ? x ? 2 ≤ 0 表示的平面区域的面积等于 3 ,则 的值为( ?ax ? y ? 2 ≥ 0 ?
A.-1 8. 已 知 函 数 B. 满足 有两个不同的实根,则实数 A. B. C.2 D.



1 2
,当 时, ,若在区间 上方程

的取值范围是( ) C. D.

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 已知 a ? log 2 5, 2b ? 3, c ? log 3 2 ,则 a , b, c 的大小关系为___________. 10. 在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 4

; sin A ?

.

11. 已知﹛ Sn= 12.函数 y ?

﹜等差数列

为其前 n 项和.若

=

, =





=



x ? 1 ? x 的最大值是______________

13.如图,已知点 A(0, ) ,点 P ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x

1 4

2

上,若阴影部分面积与△ OAP 面积相等时,则

x0 ?



14、定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? ax ? b ( a, b 为常数) ,使得 f ( x) ≥ g ( x) 对一切实数 x 都 成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.给出如下命题: ①函数 g ( x) ? ?2 是函数 f ( x) ? ? 的一个承托函数; ②函数 g ( x) ? x ? 1 是函数 f ( x) ? x ? sin x 的一个承托函数; ③若函数 g ( x) ? ax 是函数 f ( x) ? e 的一个承托函数,则 a 的取值范围是 [0, e] ;
x

?ln x, x ? 0, x≤0 ?1,

④值 域 是 R 的 函 数 f ( x) 不 存 在 承 托 函 数 ; 其中,所有正确命题的序号是 . 三、解答题,本大题共 6 小题共 80 分,解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 12 分)

已知 0 ? ? ?

?
2

, cos ? ?

3 1 . tan ? ? 求下列式子的值 5 3

(1) tan ? ;

(2) cos(? ? ? ) ? sin(? ?

?
2

)

(3)

16. (本小题满分 13 分)

已知函数 (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值. 17. (本小题满分 13 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 x 在 x ? ?1 处取得极值。

.

? ? 4 2

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。 18.(本小题满分 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 19.(本小题满分 14 分) 某民营企业生产甲、乙两种产品,根据市场调查与预测,甲产品的利润与投资成正比,其关系如图①;乙产品的 利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.

ax ? 2a , g ( x) ? a ln x ? x ? a . x ?1
2

(1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使公司获得 最大利润?其最大利润为多少万元?

20. (本小题满分 14 分)已知函数 y=f(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 y=f(x)的一个不动点, 设二次函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2 (Ⅰ)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的不动点; (Ⅱ)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且直线 y=kx+

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

高三期中数学参考答案及评分标准 (理科)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15(本小题满分 12 分) (1)∵ cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 , 0 ? ? ? ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ∴ tan ? ?

?
2

,

4 5
?????4 分

4 3

(2) cos(? ? ? ) ? sin(? ?

?
2

) = ? cos ? ? cos ? ? ?

6 5

?????8 分

1 2 tan ? 1 3 ?3 (3)∵ tan ? ? ∴ tan 2 ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 4 3 3 4 3 ? tan ? ? tan 2 ? 3 4 ? 7 tan( ? ? 2 ? ) ? ? ∴ 4 3 24 1 ? tan ? tan 2 ? 1? ? 3 4 2?
16(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z),

?????10 分

????????12 分

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由

2π ? π .???????7 分 2

????..9 分

当 2x ? 当 2x ?

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2

? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 分 6 2 3

17(本小题满分 13 分) (1)解: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即
2

?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
解得 a ? 1, b ? 0 。 (注:若只求 a, b 要检验零点左右的单调性) ∴ f ( x) ? x ? 3 x, f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) 。
3 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 。 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故

f ( x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ? ?) 上也是增函数。
若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故

f ( x) 在 (?1, 1) 上是减函数。
所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值。 (比较简单,不必列表) (2) (注:函数对应曲线的切线,必有切点!区别“在”与“过” ) 解:曲线方程为 y ? x ? 3 x ,点 A(0, 16) 不在曲线上。
3
3 设切点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3x0 。 2 2 因 f ?( x 0 ) ? 3( x 0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y 0 ? 3( x0 ? 1)( x ? x0 )

注意到点 A(0,16)在切线上,有

3 2 16 ? ( x0 ? 3 x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 3 化简得 x 0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 。

所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 。

(18) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ?

a (1 ? x 2 ) a (1 ? x)(1 ? x) ? , ( x2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2


因为 a ? 0 ,所以,当 x ? ?1 ,或 x ? 1 时, 当 ?1 ? x ? 1 时, .

所以, f ( x) 的单调递增区间为 (?1, 1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) .……6 分 (Ⅱ)因为 f ( x) 在区间 (0, 1) 上单调递增,在区间 (1, e) 上单调递减, 又 f (0) ? 2a , f (e) ?

ea ? 2a ? 2a , e ?1
2

所以,当 x ? (0, e) 时, f ( x) ? 2a . 由 g ( x) ? a ln x ? x ? a ,可得 g '( x) ?

a a?x . ?1 ? x x

所以当 a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, e) 上是增函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (e) ? 2a ? e ? 2a . 所以,当 x ? (0, e) 时, 对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 当 0 ? a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, a ) 上是增函数,在区间 (a, e) 上是减函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (a ) ? a ln a ? 2a . 所以,当 x ? (0, e) 时, 对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 综上,对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . ……………14 分 (19) (本小题满分 14 分)

(1)据题意, A 产品的利润函数可设为 f ( x) ? k1 x ,


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