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仁慧九章MO试题2014.12.7


中国仁慧书院·九章学塾

数学奥林匹克(Mathematical Olympiad)
2014 年 12 月 7 日,星期日

第 1 题.

已知 ?ABC 满足 AB ? AC , P 为 ?ABC 的外接圆弧 BC (不含点 A )内的一个动点, Q 为射线 AP 上的点,过 Q 作 BC 的平行线,与<

br />
直线 AB, AC 分别交于点 D, E ,直线 PD, PE 与直线 BC 分别交于点 F , G ,若 QF // AB, QG // AC , 求点 Q 的轨迹。

(李建泉

供题)

第 2 题.

已 知 n 是 正 整 数 , 考 虑 n?n的 正 方 形 的 所 有 格 线 , 用 红 水 笔 沿 着 格 线 画 正 方 形 , 若 画 m 个 正 方 形 , 能 使 所 有 格 线 均

为红色, 求 m的最小值。

(李建泉

供题)

第 3 题.

设 n ≥ 16 为 正 整 数 , 考 虑 坐 标 平 面 上 的 如 下 的 整 点 集 合

G = {( x , y )| x , y = 1,2,… , n } , 设 A ? G ,| A | ≥ 4 n n ,
证明:以 A 中 4 点为顶点的凸四边形中,至少有 n 个四边形的对角线相交于同一点。
2

(苏 淳

供题)

Language: Chinese(Simplified)

时间:4 小时 30 分 每题 21 分

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