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必修4 三角函数知识点归纳总结


必修 4

《三角函数》
【知识网络】
应用

弧长公式

同角三角函数 的基本关系式

诱导 公式

应用

计算与化简 证明恒等式

应用

任意角的概念

角度制与 弧度制

r />
任意角的 三角函数

三角函数的 图像和性质

应用

已 知 三角 函 数值求角 图像和性质

和角公式
应用

应用

倍角公式

差角公式
应用

一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角

360? 2、同终边的角可表示为 ? ? ? ? ? k ?
180 x 轴上角: ?? ? ? k ? ? ? ? k ? Z ?

?

??k ? Z ?

180 y 轴上角: ?? ? ? 90? ? k ? ? ? ? k ? Z ? 360? ? ? ? 90? ? k ? ? 360 3、第一象限角: ? 0 ? k ?

?

??k ? Z ? ??k ? Z ? ??k ? Z ? ??k ? Z ?

? 360? ? ? ? 180? ? k ? ? 360 第二象限角: ? 90 ? k ?

?

? 360? ? ? ? 270? ? k ? ? 360 第三象限角: ? 180 ? k ?

?

? 360? ? ? ? 360? ? k ? ? 360 第四象限角: ? 270 ? k ?

?

4、区分第一象限角、锐角以及小于 90 的角

?

360? ? ? ? 90? ? k ? ? 360 第一象限角: ? 0 ? k ?
? 锐角: ? 0 ? ? ? 90

?

??k ? Z ?
? ?

?

?

? ? 小于 90 的角: ? ? ? 90

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5、若 ? 为第二象限角,那么

?
2

? 为第几象限角? 2

? 2k? ? ? ? ? ? 2k?

k ? 0,
所以

?
4

?? ?

?
2

,

? 在第一、三象限 2

? k? 2 5? 3? k ? 1, ?? ? , 4 2 4 2 ?

?

? k? ?

?

?

6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为 1弧度的圆心角,记作 1rad . 7、角度与弧度的转化: 1? ? 8、角度与弧度对应表: 角度 弧度

?

180

? 0.01745

1?

180 ?

?
120?
2? 3

? 57.30? ? 57?18?

0?
0

30?

45?

60?

90?

135?
3? 4

150?
5? 6

180?

360?
2?

? 6

? 4

? 3

? 2

?

9、弧长与面积计算公式 弧长: l ? ? ? R ;面积: S ?

1 1 l ? R ? ? ? R 2 ,注意:这里的 ? 均为弧度制. 2 2

二、任意角的三角函数 1、正弦: sin ? ?

y x y ;余弦 cos ? ? ;正切 tan ? ? r r x
x2 ? y2 .

P (x, y)
r

其中 ? x, y ? 为角 ? 终边上任意点坐标, r ? 2、三角函数值对应表: 度

?

0?
0

30?

45?

60?

90?

120?
2? 3

135?
3? 4

150?
5? 6 1 2

180?

270 ?

360?
2?

弧度

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2

?
0

3? 2

sin ?

0

1

3 2
? 1 2

2 2
? 2 2

1

0

cos ?

1

3 2 3 3

0

?

3 2 3 3

?1

0

1

tan ?

0

1

3



? 3

?1

?

0



0

3、三角函数在各象限中的符号 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全 s t c” )
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sin ?

tan ?

cos ?

第一象限: .x ? 0, y ? 0 sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0, 第二象限: .x ? 0, y ? 0 sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0, 第三象限: .x ? 0, y ? 0 sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0, 第四象限: .x ? 0, y ? 0 sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0, 4、三角函数线 设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向 延长线交于点 T.

y
P
M

y P
A

T

o

x

o

A
M
(Ⅰ)

x

T (Ⅱ)
y

T A

y
M A

M

o
(Ⅲ)

x

o

x

P

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

y y x x ? ? y ? MP , c o s ? ? ? x ? OM ? r 1 r 1 , y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ?
5、同角三角函数基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
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tan ? ?

sin ? ? tan ? ?cot ? ? 1 cos ?

(sin? ? cos? )2 ? 1 ? 2 sin ? cos? (sin? ? cos? )2 ? 1 ? 2 sin ? cos?
( sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ,三式之间可以互相表示) 6、诱导公式

n? ?? 口诀: 奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是 2 中整数 n 的奇偶性, ? 看作锐角) 把 n n ? ? n? n? ?(?1) 2 sin ? , n为偶数 ?(?1) 2 co s ? , n为偶数 sin( ? ? ) ? ? ??) ? ? ; co s( . n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , n为奇数 ?(?1) 2 sin ? , n为奇数 ? ?
①.公式(一) ? 与 ? ? 2k? , ? k ? Z ? :

sin(? ? 2k? ) ? sin ? ; cos(? ? 2k? ) ? cos? ; tan( ? 2k? ) ? tan? ?
②.公式(二) ? 与 ?? :

sin ? ?? ? ? ? sin ? ; cos ? ?? ? ? cos ? ; tan ? ?? ? ? ? tan ?
③.公式(三) ? 与 ? ? ? :

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? ? cos? ; tan ?? ? ? ? ? tan ?
④.公式(四) ? 与 ? ? ? :

sin ?? ? ? ? ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? ? cos? ; tan ?? ? ? ? ? ? tan ?
⑤.公式(五) ? 与 :

?
2

??

?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ; cos ? ? ? ? ? ? sin ? ; ?2 ? ?2 ?
⑥.公式(六) ? 与 :

?
2

??

?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ; cos ? ? ? ? ? sin ? ; ?2 ? ?2 ?
⑦.公式(七) ? 与 :

3? ?? 2

? 3? ? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; cos ? ? ? ? ? sin ? ; ? 2 ? ? 2 ?

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⑧.公式(八) ? 与 :

3? ?? 2

? 3? ? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; cos ? ? ? ? ? ? sin ? ; ? 2 ? ? 2 ?
三、三角函数的图像与性质 1 、 将 函数 y ? sin x 的 图 象 上 所有的 点 , 向左 (右 ) 平移

? 个 单 位 长度 ,得 到 函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到
原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A 倍(横坐标不变) 得到函数 ,

y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象。
2、函数 y ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: A ;②周期: T ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? 。 T 2?

3、周期函数:一般地,对于函数 f ? x ? ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一 个 x 值, 都满足 f ? x ? T ? ? f ? x ? , 那么函数 f ? x ? 就叫做周期函数,T 叫做该函数的周期.

4、⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

,得 x ? 2 ? k? ? ? k? ? ? 对称中心: ?x ? ? ? k? ,得 x ? ,( ,0)( k ? Z ) ; ? ? k? ? ? ⑵ y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ? ;

?

k? ?

?
2

??

? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ? ? 2 2 对称中心: ?x ? ? ? k? ? ,得 x ? ,( ,0)(k ? Z ) ; 2 ? ?
⑶周期公式: ①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? ≠0). ②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ? 5、三角函数的图像与性质表格 性 函 质 数

2?

?

(A、ω 、? 为常数,且 A

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?
y ? cos x

y ? sin x
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y ? tan x
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图 像

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时,

R

?
2

? k ? Z ? 时,

最 值

ymax ? 1 ;
当 x ? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 时,

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 在 ?? 单 调 性

? k ? Z ? 时, ymin ? ?1.
2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ? 2 ?

? k ? Z ? 上是增函数;
在?

在 ? ?? ? 2k? ,2k? ? ? k ? Z ? 上是增函数; 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上是减函数.

在 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

3? ?? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? 2 ?2 ?

? k ? Z ? 上是增函数.

? k ? Z ? 上是减函数.
对称中心 对 称 性 对称中心 ? k? ,0?? k ? Z ? 对称轴 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? Z ?

对称中心 ?

? k? ? , 0??k ? Z ? ? 2 ?

无对称轴

6. 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、
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? 3? 、? 、 、 2? 来求相 2 2
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应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 7. y ? A sin(?x ? ?) 的的图像

8. 函数的变换: (1)函数的平移变换 ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) (2)函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f (x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的

1 倍( w ? 1 缩短, 0 ? w ? 1伸长) w
② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f (x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来 的 A 倍( A ? 1 伸长, 0 ? A ? 1 缩短) (3)函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f (x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f (x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称)
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③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f (x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻 折到左侧(偶函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f (x) 在 x 轴上方图像, 轴下方图像绕 x 轴翻折上 x 去(局部翻动) 四、三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: (1) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? (2) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? (3) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? (4) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

? (5) tan( ? ? ) ? ? (6) tan( ? ? ) ?

tan? ? tan ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

t a n ? t a? ? ? n

t a? ? ? ? n ??

? 1 ?a n ?? a n t t

?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

(7) a sin ? ? b cos ? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 所在的象 限决定, sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b ,该法也叫合一变形). a

(8)

1 ? tan ? ? ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 4

1 ? tan ? ? ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 4

2. 二倍角公式 (1) sin 2a ? 2 sin a cos a (2) cos2a ? cos a ? sin a ? 1 ? 2 sin a ? 2 cos a ? 1
2 2 2 2

tan 2a ?
(3)

2 tan a 1 ? tan 2 a

3. 降幂公式:

cos 2 a ?
(1) 4. 升幂公式
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1 ? cos 2a 2
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(2) sin a ?
2

1 ? cos 2a 2
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(1) 1 ? cos ? ? 2 cos (3) 1 ? sin ? ? (sin (5) sin ? ? 2 sin

2

?
2

(2) 1 ? cos ? ? 2 sin

2

?
2

?
2

? cos

?
2

)2

(4) 1 ? sin ? ? cos ?
2 2

?
2

cos

?
2

5. 半角公式(符号的选择由

? 所在的象限确定) 2
a 1 ? cos a , cos ? ? 2 2 (2)

sin
(1)

a 1 ? cosa , ?? 2 2

a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a tan ? ? ? ? 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a (3)

6. 万能公式: (1) sin ? ?

2 tan

?
2 ,
2

1 ? tan
(3) tan? ?

?

(2) cos? ?

1 ? tan2 1 ? tan
2

? ?
2 , 2

2 tan

?

2

2 .

1 ? tan2
7.三角变换:

?

2

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运 用三角公式,掌握运算、化简的方法技能。 (1) 角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、 删除角的恒等变形 (2) 函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 其中 cos? ?
1 1 ? ( 3)
2 2

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ? b2 ,比
2

y ? sin x ? 3 cos x
如:

? 12 ? ( 3 ) 2 (

sin x ?

3 1 ? ( 3)
2 2

cos x)

? ? ? 1 3 ? 2( sin x ? cos x) ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2 sin( x ? ) 3 3 3 2 2
(3) “凑角” 注意 运用: ? ?? ? ? ? ? ? , ?

? ? ? ? ? ? ?? ? ,

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?
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1

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例如: 已知 ?、? ? (

3? 3 ? 12 ? , ? ) , sin(? ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? ,则 c s ? ? ) ? ? o( 4 5 4 13 4
2 2

(4)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特 别是常数“1”可转化为“ sin ? ? cos ? ” (5)幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如:

1? cosa 常用升幂化为有理式。
(6)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 (7)结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移 项,或变乘为除, 或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、 分解因式、 配方等。 (8)消元法:如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法 (9)思路变换:如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去 选择更合适、简捷的方法去解题目。 (10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子: sin a ? cos a , sin a cos a sin a ? cos a ,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。

8.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法) :
① y ? a sin x ? b (或 a cos x ? b) 型:利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论 ② y ? a sin x ? b cos x 型:引进辅助角化成 y ? a2 ? b2 sin(x ? ? ) 再利用有界性 ③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c 型:配方后求二次函数的最值,应注意 sin x ? 1 的约束 ④y?

a sin x ? b 型:反解出 sin x ,化归为 sin x ? 1 解决 c sin x ? d

⑥ y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x ? cos x ? c 型:常用到换元法: t ? sin x ? cos x ,但须 注意 t 的取值范围: t ?

2。

9.三角形中常用的关系:

sin A ? sin(B ? C ) , sin 2 A ? ? sin 2( B ? C ) ,

cos A ? ? cos(B ? C ) , cos2 A ? cos2( B ? C )

sin

A B?C ? cos , 2 2

sin15? ? cos 75? ? 10. 常见数据:

6 ? 2 ,sin 75? ? cos15? ? 4

6? 2 , 4

tan15? ? 2 ? 3 , tan75? ? 2 ? 3 ,

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