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广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(文)


深圳高级中学 2014-2015 学年第一学期期中测试 高二数学(文科) 命题人:何永丽 审题人:高军

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-10 题,共 50 分,第Ⅱ卷为 11-20 题,共 100 分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共 50 分) 一.选择题: (本大题共

10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求 的) 1. 命题 p:3 是奇数,q:5 是偶数,则下列说法中正确的是( A.p 或 q 为真 C.非 p 为真 2. “ x
2

)

B.p 且 q 为真 D.非 q 为假 ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的(

A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. 圆心在直线 2 x ? A. C.

y ? 7 ? 0 上,且与 y 轴交于点 A(0, ?4) , B(0, ?2) 的圆的标准方程为
B. D.





( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3) 2 ? 5

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5
) D.1 或-1

4. 若直线 x ? A.1

y ? a ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 相切,则 a ? (
B.-1 C.

2

5. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 a 2 b2
B.

3,则双曲线的渐近线方程为(



A.

y ? ? 2x

y ? ?2 x

C.

y??

2 x 2

D.

1 y?? x 2

6. 函 数

f ( x) 的 定 义 域 为 开 区 间 (a, b) , 导 函 数 f ?( x) 在

y

y ? f ?( x )
大 值

(a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极
b
1

a

O

x

(第 6 题)

点( A. 1 个

) B. 2 个
2

C. 3 个

D. 4 个 )

7. 过点 P(-1,4)作圆 x A.3

? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线,则切线长为( 5
2

B.

C.

10
)

D.5

8. 与直线 4 x ? y ? 3 ? 0 平行的抛物线 y ? 2 x 的切线方程是( A. 4 x ? y ? 1 ? 0 C. 4 x ? y ? 2 ? 0
2

B. 4 x ? y ? 1 ? 0 D. 4 x ? y ? 2 ? 0 )

9. O 为坐标原点,F 为抛物线 C: y ? 4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A. 2 10. 已知 B. 2 2 C. 2 3 ,方程 D. 4

f ? x ? ? x ? ex

f 2 ? x ? ? tf ? x ? ?1 ? 0 ?t ? R ? 有四个实数根,则 t 的取值范围为(
C.



A.

? e2 ? 1 ? , ?? ? ? ? e ?

B.

? e2 ? 1 ? ?? , ? ? ? e ? ?

? e2 ? 1 ? , ?2 ? ?? e ? ?

D.

? e2 ? 1 ? ? 2, ? e ? ?

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 已知

? f ( x) ? ln x ? cos x ,则 f '( ) = 2

.

12.

?x ? R, x 2 ? ax ? 1 ? 0 为假命题,则实数 a 的取值范围为
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 5 m
10 ,则实数 m 的值为 5 .

.

13. 若椭圆

14. 设 F1, F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a>0, b>0)的两个焦点,若在 C 上存在一点 P,使 .

PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° ,则双曲线 C 的离心率为

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 ? 和 (2)求函数

f ( x) ? sin(? x ? ), (? ? 0) 的最小正周期为 ? 6

?

.

f ( ) 的值; 12

?

f ( x) 的最大值及相应 x 的集合.

2

16. (本小题满分 12 分)设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长.

x2 ? y2 ? 2 x ? 3 ? 0 相交于点 A、B.

17. (本小题满分 14 分)设函数 (1)求函数

f ( x) ?

1 2 x x e . 2

f ( x ) 的单调区间; 2] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(2)若当 x ?[?2 ,

x2 y 2 3 ) 18. (本小题满分 14 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,椭圆 C 上的点 A(1, 2 a b
到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4. (1)求椭圆 C 的方程;

3

(2)设点 P 是椭圆 C 上的动点, Q(0,

1 ) ,求 PQ 的最大值. 2

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,抛物线 E 关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2) 均在抛物线上. (1)求抛物线 E 的标准方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及 直线 AB 的斜率.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)当 a

f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

? 1 时,求函数 f ( x) 的极值;

(2)求证:对于任意 x1 , x2 ?

? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.

高级中学 2014-2015 学年第一学期期中考试 高二数学(文科)答题卷

4

解: (1)∵函数

?T ?


2?

f ( x) ? sin(? x ? ) 的周期是 ? 且 ? ? 0 6
… ……………………………………………………3 分

?

?

? ? ,解得 ? ? 2
?

f ( x) ? sin(2 x ? ) …………………………4 分 6 ? ? ? ? 3 ? ) ? sin ? ∴ f ( ) ? sin(2 ? ………………………………………6 分 12 12 6 3 2
(2)∵ ?1 ?

sin(2 x ?

?
6

)?1

………………………………………….8 分

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ( k ? Z ) 即 x ?

?
6

? k? ( k ? Z ) 时 f ( x ) 取得最大值 1……..10 分

此时 x 的集合为 { x

x?

?
6

? k? , k ? Z } …………………………………….12 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)圆方程可整理为: ( x ? 1)
2

,半径 r=2 ? y 2 ? 4 ,圆心坐标为(1,0)

............2 分

易知弦 AB 的垂直平分线 l 过圆心,且与直线 AB 垂直, 而 k AB

2 3 ? ? ,? k1 ? 3 2 y?0 ?

………….4 分

所以,由点斜式方程可得: 整理得: 3x ? 2 y ? 3 ? 0

3 ( x ? 1), 2
………………….6 分

5

(2)圆心(1,0)到直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0的距离为 d

?

| 2 ?1| 3 ?2
2 2

?

3 13

, ……….8 分

故|

AB |? 2 ? 2 2 ? (

3 13

)2 ?

2 559 .………………12 分 13

17. (本小题满分 14 分) 解:(1) 令e ∴
x

f ?( x ) ? xe x ?

1 2 x 1 x x e ? e x ( x ? 2) 2 2

..............................2 分

x( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 0或x ? ?2 ,
...............................4 分

f ( x ) 的增区间为 ( ?? , ? 2) 和 (0 , ? ?)
x

令e ∴

x( x ? 2) ? 0 ,得 ? 2 ? x ? 0 ,
..................................6 分

f ( x ) 的减区间为 ( ? 2 , 0)

(2)因为当 x ?[?2 , 等价于

2] 时,不等式恒 f ( x) ? m 成立
………………………...8 分

f ( x) max ? m

因为 x ?[?2 , x

2] ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2 ,或 x ? 0 ,
-2 (-2, 0) 0 0 0 (0, 2) + 2

f '( x)

f ( x)


2 e2

?

?

2e 2

f ( x) max ? 2e 2
2

………………………….12 分

∴ m ? 2e

……………………………………….14 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点

A 到 F1 , F2 两点的距离之和是 4,得 2a ? 4

3 ( )2 3 1 2 即 a ? 2 ,又 A(1, ) 在椭圆上,? ? ? 1 ,解得 b2 ? 3 ,于是 c2 ? 1 2 2 b2
所以椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 4 3

………………………6 分

(2).设 P( x, y) ,则

x2 y 2 4 ? ? 1 ,? x 2 ? 4 ? y 2 3 4 3
6

…………………….8 分

1 4 1 1 17 1 3 PQ 2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? ? ? ( y ? ) 2 ? 5 …10 分 2 3 4 3 4 3 2
又? ?

3? y? 3

.....................................12 分 ………………………14 分

?当 y ? ?

3 时, PQmax ? 5 2

19. (本小题满分 14 分) 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px (p>0)........................................1 分 ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p× 1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x 准线方程是 x=-1. ………………………...3 分

…………………………….4 分 …………………………….6 分

(2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA= y1-2 y2-2 (x ≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 1 x2-1 2 ……………………….8 分

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 1=4x1,① y2 2=4x2,② ∴ y1-2 y2-2 =- 1 2 1 2 y -1 y -1 4 1 4 2 ∴y1+y2=-4.

∴y1+2=-(y2+2).

…………………………12 分

2 由①-②得,y2 1-y2=4(x1-x2),

y1-y2 4 ∴kAB= = =-1 (x1≠x2). x1-x2 y1+y2 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)函数

...........................................14 分

f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ?

1 ? x2 (1 ? x)(1 ? x) …………….1 分 ? 2 2 ( x ? 1) ( x2 ? 1)2

当 x 变化时,

f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

………5 分

?

0

?

0

?

f ( x)



1 2 1 2



3 2



∴当 x=-1 时,

f ( x) 有极小值,极小值为

7

当 x=1 时,

f ( x) 有极大值,极大值为

3 2

…………………………7 分

(2)

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当a

? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

?


0

?


0

?


所以 增 , 在

f ( x) 在 (0, 1) 上单调递

(1 , e上]

单 调 递 减 , 且

f (e) ?

ae ? a ? a ? f (0) e ?1
2

.

所 以

x?( 0 , 时 e , ]

f ( x)m i?na
g ( x) ? a ln x ? x ,所以 ? 0 ,得 x ? a

……………………..9 分

g ?( x ) ?

因为

a ?1 x ,

令 g ?( x) ①当 0 ?

a ? e 时,由 g ?( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ?( x) < 0 ,得 x ? a ,

所以函数 g ( x ) 在 (0, a ) 上单调递增,在 ( a, e] 上单调递减.所以 g ( x)max 因

? g (a) ? a ln a ? a .
任 意

a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0
………………………………12 分





x1 , x2 ? ? 0,e?







g ( x1 ) ? f ( x2 )
②当 a

? e 时, g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立,

所以函数 g ( x ) 在 (0, e] 上单调递增, g ( x)max 所以对于任意 x1 , x2 ?

? g (e) ? a ? e < a .

? 0,e? ,仍有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) .
…………………14 分

综上所述,对于任意 x1 , x2 ?

8


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