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高二(上)培优试题(3教)


高 2016 级高二(上)培优试题(3)(时长 30 分钟)2014/12/10
1.如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,下面结论正确 的是 ①②④ .. 确的结论序号都填上) ①BD1⊥平面 DA1C1 ②过点 B 与异面直线 AC 和 A1D 所成角均为 60° 的有 3 条直线; ③四面体 DA1D1C1 与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球半径之比

为 ④与平面 DA1C1 平行的平面与正方体的各个面都有交点,则这个截面的周长为定值. 2.已知在三棱锥 T-ABC 中,TA、TB、TC 两两垂直,T 在底面 ABC 上的投影为 D,给出下 列命题: ①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB; ③ ②△ABC 是锐角三角形; (把你认为正

1 1 1 1 1 2 2 2 2 ? 2? 2? ; ④ S?ABC ? ( S?TAB ? S?TBC ? S?TAC )(注 : S?ABC 表示?ABC 2 2 TD TA TB TC 3
①②③ (写出所有正确命题的编号).

的面积).其中正确的是

3. 已 知 直 线

l? 平面 ? , O 为垂足,长方体

ABC? D

1

中 , AD ? 5, AB ? 6 , AA1 ? 8 , A 1 B 1 C 1 D

A ? l , B1 ?? ,则 OC1 的最大值为

5? 5 2

16 题

4、在棱长为 1 的正方体内,有两球相外切,并且又分别与正方体内切。 (1)以正方体每个面的中心为顶点构成一个八面体,求该八面体的体积。 (2)求两球半径之和。 (3)球的半径是多少时,两球体积之和最小? (理) (1)V=

1 6

5. 在平面直角坐标系 xoy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记

?? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l
没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; 1,2),B(? 1, 0) ⑵若直线 y ? kx 是曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; ⑶动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求证:通过原 点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线. (1)由题得,? ? 2 ? (?2) ? 0 ,∴ A(1, 2), B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔. (2)由题得,直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1 无交点
2 2

即?

? x2 ? 4 y 2 ? 1 ? (1 ? 4k 2 ) x2 ? 1 ? 0 无解 ? y ? kx
? 1 ? 4k 2 ? 0 1 1 ,∴ k ? (??, ? ] [ , ??) . 2 2 2 ?? ? 4(1 ? 4k ) ? 0
1 2 1 2

2 ∴ 1 ? 4k ? 0 或 ?

2 2 又 对 任 意 的 k ? (??, ? ] [ , ??) , 点 (1, 0 )和 (?1, 0) 在 曲 线 x ? 2 y ? 1 上 , 满 足

? ? ?k 2 ? 0 ,被直线 y ? kx 分隔,所以所求 k 的范围是 (??, ? ] [ , ??) .
(3)由题得,设 M ( x, y ) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 ,
2 2

1 2

1 2

化简得,点 M 的轨迹方程为 [ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1
2 2 2

①当过原点的直线斜率存在时,设方程为 y ? kx . 联立方程, ?[ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1
2 2 2

? ?

y ? kx
4 3 2

? (k 2 ? 1) x4 ? 4kx3 ? 4 x2 ?1 ? 0

.

令 F ( x) ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ?1 ,因为 F (0) F (2) ? ( ?1) ?[16( k ?1) ?15] ? 0 ,
2 2

所以方程 F ( x) ? 0 有实解, 直线 y ? kx 与曲线 E 有交点. 直线 y ? kx 不是曲线 E 的分隔线. ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为 x ? 0 . 显然 x ? 0 与曲线 [ x ? ( y ? 2) ] ? x ? 1没有交点,又曲线 E 上的两点 (?1, 2), (1, 2) 对于直
2 2 2

线 x ? 0 满足? ? ?1?1 ? 0 ,即点 (?1, 2), (1, 2) 被直线 x ? 0 分隔.所以直线 x ? 0 是 E 分隔

线. 综上所述,仅存在一条直线 x ? 0 是 E 的分割线.


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