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数学必修一 函数的零点教案


4.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数 (结合二次函数) 零点的概念, 领会函数零点与相应方程要的关系, 掌握零点存在的判定条件. 2.通过观察二次函数图象, 并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找 到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法. 学习重点、难点 重点: 零点的概念及存在性的判定. 难点: 零点的确定. 学习过程 (一)课题 1、提出

问题:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: ①方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ②方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ③方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3

(二)研讨新知 函数零点的概念: 对 于 函 数 y ? f ( x)( x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数
y ? f ( x)( x ? D) 的零点.

函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象 与 x 轴交点的横坐标. 即: 方 程 f ( x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f (x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数
y ? f (x) 有零点.

函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 1.根据函数零点的意义,其求法有: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结 概括形成结论. 二次函数的零点: 二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .

(1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴 有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点. 3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______; . f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>=) ② 在区间 [2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>=) . (Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象

① 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点;f (a) ·f (b) _____0 (<或>=) .

② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0 (<或>=) . ③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;f (c) ·f (d ) _____0 (<或>=) . (三) 、巩固深化,发展思维 1.例题 例1. 求函数 f(x)= ? x 2 ? 2 x ? 3 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特 性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 2.P88 页练习第二题的(1)(2)小题 、 (四) 、作业 P88 页练习第二题的(3)(4)小题。 、

4.1.2 用二分法求方程的近似解(1)
学习目标 理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的近似 解;体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。 学习重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 学习设想 (一) 、创设情景 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x +2x-6=0 的根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知 识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进 一步的问题是,如何找到这个零点呢? (二) 、新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定 的精确度的要求下, 我们可以得到零点的近似值; 为了方便, 我们通过 “取中点” 的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间 (2, 的中点 2.5, 3) 用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3) <0,所以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f(2.75)≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5)<0,所以零点在(2.5,2.75)内; 由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实 , , 越来越小了;重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复

相同的步骤后, 在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作为 零点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣2.5390625-2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值, 即方程㏑ x+2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的一般步骤,探索求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。 ㈢、巩固深化,发展思维 1.完成下面的例题 例 2. 借助计算器用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解 (精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为 f(x),则原方程的 解就是 f(x)的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零 点所在的区间,然后利用二分法求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) 本节我们学过哪些知识内容? (2) 你认为学习“二分法”有什么意义? (3) 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业 P92 习题 3.1A 组第 4 题,第 5 题。

4.1.3 用二分法求方程的近似解(2)
学习目标 继续了解函数的零点与对应方程根的联系, 理解在函数的零点两侧函数值乘 积小于 0 这一结论的实质;通过探究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问 题、解决问题的能力。 学习重点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 学习难点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 学习过程 一、创设情景,引入新课 观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象(如下图) ,我们发现函数 f(x)=x2 -2x-3 在区间[-2,1]上有零点.计算 f(-2)与 f(1)的乘积,你能发现这

个乘积有什么特点?在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?

探究可以发现,在区间[-2,1]的端点上,f(-2)>0, f(1)<0,即 f(-2) ·f(1)<0,函数 f(x)=x2-2x-3 在区间(-2,1) 内有零点 x=-1,它是方程 x2-2x-3=0 的一个根.同样,在区间[2,4]的端 点上,f(2)<0,f(4)>0,即 f(2) ·f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3 在 (2,4)内有零点 x=3,它是方程 x2-2x-3=0 的另一个根. 我们能从二次函数的图象看到零点的性质: 1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变 号. 例如,函数 y=x2-x-6 的图象在零点-2 的左边时,函数值取正号,当它通 过第一个零点-2 时,函数值由正变负,再通过第二个零点 3 时,函数值又由负 变正. 2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 二、讲解新课 1.零点的性质 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且 有 f(a) · f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) , 使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点.一般地,对于不 能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说,我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来, 利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根. 2.应用举例 【例 1】 教科书 P88 例 1. 本例是考查函数零点的个数.通过它要认识到函数的图象及其基本性质(特 别是单调性)在确定函数零点中的重要作用. (1)函数 f(x)=lnx+2x-6 的图象可利用计算器或计算机画出.通过观察教 科书上的图 3.1-3,发现函数的图象与 x 轴有一个交点,从而对函数有一个零 点形成直观的认识. (2)教科书上的表 3-1,可以用计算器或计算机得出,通过动手实践获得 对表 3-1 的认同.通过观察表 3-1,结合图象 3.1-3,不难得出函数的一个零点 在区间(2,3)内. (3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义 域内是单调的.可以由增(减)函数的定义证明函数在(0,+∞)上是增函数,

也可以由 g(x)=lnx、 h(x)=2x-6 在(0,+∞)上是增函数,说明函数 f(x)=g(x)+h(x)在(0, +∞)上是增函数. 【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx+1 具有以下性质: ①对任意实数 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)时,满足 x1+x2=2; ②对任意 x1、x2∈(1,+∞) ,总有 f(
x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )> . 2 2

则方程 ax2+bx+1=0 根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有两个不等正根 C.有两个异号实根 D.有两个相等正根 方法探究: (1)本题由条件①,知函数 f(x)的对称轴为 x=1;由条件②, 知函数 f(x)是凸函数,即 a<0;再由函数 f(x)的表达式,知 f(x)的图象 过点(0,1).根据这三点,可画出函数 f(x)的草图,如下图,发现函数 f(x) 与 x 轴交点的位置,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C.

(2)由条件②,知函数 f(x)的图象开口向下,即 a<0.又由 x1x2 = < 0,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C. 方法技巧:解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷,但却不如解析(1) 直观,用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰,便于理解.但不难发现, 如果解析(1)中的三个函数语言之中有 1 个没有转化(或错误地转化)为图形 语言,那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到 数转化过程的等价性. 【例 3】 研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数. 方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦. 从函数图象角度分析,只需研究函数 y=|x2-2x-3|与 y=a 的图象的交点的个数. 解:设 y=|x2-2x-3|和 y=a,利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,分 别作出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下 图,当 a=0 或 a>4 时,有两个实根;当 a=4 时,有三个实根;当 0<a<4 时, 有四个实根.

1 a

方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想.做这类题目, 必须遵循两个步骤:一是构造两个熟悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准 确. 三、课堂练习 教科书 P88 练习题 1.(1) (2) 四、课堂小结 1.本节学习的数学知识: 零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于 0;零点的确定. 2.本节学习的数学方法: 归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想. 五、作业 教科书 P92 习题 3.1 1、2、3.


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