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中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷六)


中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数 学(理) 试 卷(六)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 已知集合 A ? {x ? Z x ? 5} , B ? {x x ? 2 ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) (2,5) (B

) [2, 5) (C) {2, 3, 4} 2.下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 (A) y ? 2
x

(D) {3, 4, 5} (D) y ? x3

(B) y ? x2 ? x

(C) y ? 2 x

3. 设 a ? log2 3 , b ? log4 3 , c ? 0.5 ,则

(A) c ? b ? a (B) b ? c ? a (C) b ? a ? c (D) c ? a ? b 4.设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于 (A) ?

? 3

(B) ?

? 3

(C)

? 3

(D)

? 3
开始

5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为 31 ,则①处应填的数字为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 6.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正 确的是

S ? 1, i ? 1
i? ①
是 否

? , 0 ) 成中心对称 4 ? (B)两个函数的图象均关于直线 x ? ? 成中心对称 4 ? ? (C)两个函数在区间 ( ? , ) 上都是单调递增函数 4 4
(A)两个函数的图象均关于点 ( ? (D)两个函数的最小正周期相同 7.已知曲线 C : y ?

S ? S ? 2i
i ? i ?1

输出 S

结束

1 ( x ? 0) 及两点 A1 ( x1 ,0) 和 A2 ( x2 ,0) ,其中 x2 ? x1 ? 0 .过 A1 , A2 分别作 x 轴的垂 x 线,交曲线 C 于 B1 , B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 ,0) ,那么 x x (A) x1 , 3 , x2 成等差数列 (B) x1 , 3 , x2 成等比数列 2 2 (C) x1 , x3 , x2 成等差数列 (D) x1 , x3 , x2 成等比数列 8. 如图, 四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直,OA ? OB ? 2 , OC ? 3 ,D 为四面体 OABC 外
一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ (C)③ (D)③④

C D O A

B

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1

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

2i 对应的点到原点的距离为_____. 1? i 10.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ,已知 PA ? 2 2 , PC ? 4 ,圆心 O 到 BC 的距离为 3 ,则圆 O 的半径为_____. ? x ? cos ? , 1 11.已知椭圆 C : ? (? ? R) 经过点 ( m, ) ,则 m ? ______,离心率 2 ? y ? 2sin ? e ? ______.
9. 在复平面内,复数 12.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____. 13.某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台, 并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______ 种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的 展出方法有____种. 14.已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? ,有

C O?

B

P

A

3

3 3

正(主)视图

4

侧(左)视图

3

?3an ? 5, an为奇数, ? 当 a1 ? 11 时 , an ?1 ? ? an ? 2k , an为偶数.其中k为使an ?1为奇数的正整数 ?

俯视图

4

a100 ? ______;
* 若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an 为奇数时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? (Ⅰ)当 a ?

4 ,b ? 2. 5

5 时,求角 A 的度数;(Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 3

16.(本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 (Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

1 1 , , p .且他 2 3

1 . 4

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2

17.(本小题满分 13 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形,DE ? 平面 ABCD ,AF // DE ,

E

DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ) 设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论.
0

F

D

C

A

B

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最大值. (其中 e 为自然对数的底数)
2

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3

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , F 的直线交 y 轴正半轴于点 P , 过 交抛物线于 A, B 两点, 其中点 A 在第一象限. (Ⅰ)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切; (Ⅱ)若 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ? ? 1 1 1 ?[ , ] ,求 ?2 的取值范围. ?2 4 2

20.(本小题满分 13 分) 定义 ? (a1 , a2 ,?, an ) ? | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ??? | an?1 ? an | 为有限项数列 {an } 的波动强度. (Ⅰ)当 an ? (?1)n 时,求 ? (a1 , a2 ,?, a100 ) ; (Ⅱ)若数列 a, b, c, d 满足 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,求证: ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ; (Ⅲ)设 {an } 各项均不相等,且交换数列 {an } 中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度增加, 求证:数列 {an } 一定是递增数列或递减数列.

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4

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数学(理)试卷(六)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

2

10. 2

11. ?

12. 12 13. 60 , 48 注:11 题,13 题,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

15 3 , 4 2 14. 62 ; 1 或 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 cos B ?

4 3 ,所以 sin B ? . 5 5 5 a b 1 ? 因为 a ? , b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . 3 sin A sin B 2
因为 a ? b ,所以 A 是锐角, 所以 A ? 30 .
o

????????2 分 ???????4 分

????????6 分 ????????7 分

1 3 ac , (Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 2 10 所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大.
2 2 2 因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ,所以 4 ? a ? c ?
2 2

8 ac . 5

????????9 分 ????????11 分 ????????12 分 ????????13 分

因为 a ? c ? 2ac ,所以 2ac ?
2 2

8 ac ? 4 , 5

所以 ac ? 10 ,(当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 .

16.(本小题满分 13 分) 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

???????3 分

1 2 1? p P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? , 2 3 3 1? p 1 1 ? ,p? . 所以 3 4 4 (Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 .
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???????5 分 ????????7 分 ????????8 分

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5

所以 P ( X ? 0) ?

1 , 4 P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24 P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 . ????????11 分 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? 2 3 4 24 X 分布列为: 3 0 X 1 2 1 11 1 1 P 4 24 4 24
????????12 分 ????????13 分

1 11 1 1 13 ? 2 ? ? 3? ? . 所以, E ( X ) ? 0 ? ? 1? 4 24 4 24 12
17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 从而 AC ? 平面 BDE . ????????4 分 (Ⅱ)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示.

z E

因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ,即 ?DBE ? 60 ,??5 分
0
?

F ED ? 3. DB A 由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 . ???6 分 x 则 A(3, 0, 0) , F (3,0, 6) , E(0,0,3 6) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , ??? ? ??? ? 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3,0, ?2 6) , ???7 分 ??? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? n ? EF ? 0 3x ? 2 6 z ? 0 ? ? ? ? 所以 令z?

D M B

C y

???????8 分 6 ,则 n ? (4, 2, 6) . ??? ? ??? ? 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3,0) , ??? ? ??? ? n ? CA 6 13 ? 所以 cos? n, CA? ? . ???????9 分 ??? ? ? 13 n CA 3 2 ? 26 因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) . 则 AM ? (t ? 3, t ,0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 ,
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13 . 13

??????10 分

???? ?

???? ?

???????11 分
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即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2,0) , BM ? 18. (本小题满分 14 分)

???????12 分

1 BD ,符合题意. 3

???????13 分

a(2 ? x) ,( x ? 0 ), ?????3 分 x3 在区间 (??, 0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x ) 的单调递减区间是 (??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) . ???4 分 a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ?????7 分(1 个方程 1 分) ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 ? x0 ?
解:(Ⅰ) f ?( x) ? 解得 x0 ? 1 , a ? 1 . (Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) , 则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e 所以,在区间 ( 0, e
a?1 a?1
a ?1

?????8 分 ???????9 分 ,

) 上, g ( x) 为递减函数, 在区间 ( e , ? ?) 上, g ( x) 为递增函数. ?????10 分 a?1 当 e ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数, 所以 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae . ??????11 分 a?1 当 e ? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数, 所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . ??????12 分 a?1 当 1 < e < e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者; e g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ? , e ?1 e 所以, 1 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , ???????13 分 e ?1 e ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . ???????14 分 e ?1 e e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae ,当 a ? 时, g ( x) 的最大值为 e ?1 e ?1 g (1) ? 0 .
19. (本小题满分 14 分)

p , 0) ,设 A( x1 , y1 ) ,则 y12 ? 2 px1 , 2 2 x1 ? p y1 2x ? p , ) ,圆心到 y 轴的距离为 1 圆心坐标为 ( , ???????2 分 4 2 4 FA 1 2x ? p p 圆的半径为 , ???????4 分 ? ? x1 ? (? ) ? 1 2 2 2 4 所以,以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切. ???????5 分 ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)解法一:设 P(0, y0 ), B( x2 , y2 ) ,由 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,得
解:(Ⅰ)由已知 F (
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( x1 ?

p p p , y1 ) ? ?1 (? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) ? ?2 ( x1 ? , y1 ) , 2 2 2 p 所以 x1 ? ? ??1 x1 , y1 ? ?1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) , y2 ? ??2 y1 , 2 2 2 2 2 由 y2 ? ??2 y1 ,得 y2 ? ?2 y1 .
2 2 又 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,
2 所以 x2 ? ?2 x1 .

???????6 分

???????8 分

???????10 分

p p p p p ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) ,得 ? ?22 x1 ? ?2 ( x1 ? ) , (1 ? ?2 ) ? x1?2 (1 ? ?2 ) , 2 2 2 2 2 p 整理得 x1 ? , ???????12 分 2?2 p ?p p p 代入 x1 ? ? ??1 x1 ,得 ? ?? 1 , 2 2?2 2 2?2 ? 1 所以 ???????13 分 ? 1? 1 ,
代入

?2 ?2 4 ? 1 1 因为 1 ? [ , ] ,所以 ?2 的取值范围是 [ , 2] . 3 ?2 4 2
解法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB : x ? my ? 将 x ? my ?

???????14 分

p , 2

p 代入 y 2 ? 2 px ,得 y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0 , 2 所以 y1 y2 ? ? p2 (*), ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 由 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,得 p p p ( x1 ? , y1 ) ? ?1 (? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) ? ?2 ( x1 ? , y1 ) , 2 2 2 p 所以, x1 ? ? ??1 x1 , y1 ? ?1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) , y2 ? ??2 y1 , 2 2 p2 2 将 y2 ? ??2 y1 代入(*)式,得 y1 ? ,

???????6 分

???????7 分

???????8 分 ???????10 分 ???????12 分 ???????13 分 ???????14 分

?2

所以 2 px1 ? 代入 x1 ?

p2

p ? ? ??1 x1 ,得 ? 1 ? 1 . 2 ?2 ?2 4 ? 1 1 因为 1 ? [ , ] ,所以 ?2 的取值范围是 [ , 2] . 3 ?2 4 2
20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: ? (a1 , a2 ,?, a100 ) ?| a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ??? | a99 ? a100 |

?2

, x1 ?

p 2?2 1

.

??????1 分 ??????3 分

? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 99 ? 198 . (Ⅱ)证明:因为 ? (a, b, c, d ) ?| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ,

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? (a, c, b, d ) ?| a ? c | ? | c ? b | ? | b ? d | , 所以 ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ?| a ? b | ? | c ? d | ? | a ? c | ? | b ? d | . ?????4 分
因为 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,所以 a ? b ? c ,或 a ? b ? c .

?, , , ) 若 a ? b ? c ,则 ? (a, b, c, d) ?( a c b d

a? b ?| c? d |? a ? ? ? | ? ? c? b? |c? d ? |b? d | c |b d | 当 b ? c ? d 时,上式 ? c ? b ? c ? d ? (b ? d ) ? 2(c ? b) ? 0 , 当 b ? d ? c 时,上式 ? c ? b ? d ? c ? (b ? d ) ? 2(d ? b) ? 0 , 当 d ? b ? c 时,上式 ? c ? b ? d ? c ? (d ? b) ? 0 , 即当 a ? b ? c 时, ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ? 0 . ??????6 分

若a ? b ? c, 则 ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ? b ? a ? | c ? d | ?c ? a ? | b ? d | ,

? b ? c? | c ? d | ? | b ? d |? 0 .(同前) 所以,当 (a ? b)(b ? c) ? 0 时, ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) 成立. ?????7 分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与 第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理) 下面来证明当 a1 ? a2 时, {an } 为递减数列. (ⅰ)证明 a2 ? a3 . 若 a1 ? a3 ? a2 ,则由引理知交换 a2 , a3 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾. 若 a ? a ? a2 ,则 ? (a1 , a2 , a ) ?| a1 ? a2 | ? | a2 ? a |?| a1 ? a2 | ? | a1 ? a |? ? (a2 , a1, a ) ,与已知矛 3 1 3 3 3 3 盾. 所以, a1 ? a2 ? a3 . (ⅱ)设 a1 ? a2 ? ? ? ai (3 ? i ? n ? 2) ,证明 ai ? ai ?1 . 若 ai ?1 ? ai ?1 ? ai ,则由引理知交换 ai , ai ?1 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾. 若 ai ?1 ? ai ?1 ? ai ,则 ? (ai ?2 , ai ?1 , ai , ai ?1 ) ? ? (ai ?2 , ai , ai ?1, ai ?1 ) ,与已知矛盾. 所以, ai ? ai ?1 . (ⅲ)设 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ,证明 an?1 ? an . 若 an ? an?1 ,考查数列 an , an?1 ,?, a2 , a1 , 则由前面推理可得 an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ,与 a1 ? a2 ? ? ? an?1 矛盾. 所以, an?1 ? an . 综上,得证. 同理可证:当 a1 ? a2 时,有 {an } 为递增数列. ?????12 分 ??????13 分 ????11 分 ??????9 分

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