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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第六章 第四节基本不等式


第四节 基本不等式

1.基本不等式: ab ? a ? b
2

a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件是________.
a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当____ 算术平均数 , ab 称为正数a,b的_____ 几何 (3) a ? b 称为正数a,b的___________


2

平均数 _______. 算术平均数 不小于它们的_______ 几何平 (4)语言叙述:两个正数的___________ 均数 _____.

2.基本不等式的变形 (1)a+b≥______(a,b>0). 2 ab

2ab (2)a2+b2≥____(a,b∈R).
2 2 a ? b a?b 2 (3) ?( ) ? ab(a,b ? R). 2 2

3.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为
M2 正实数,且a+b=M,M为定值,则 ab ? 等号当且仅当 , 4

a=b 时成立.简记:和定积最大. _____ (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为 正实数,且ab=P,P为定值,则 a+b ? _____ 等号当且仅当 2 P ,

a=b 时成立.简记:积定和最小. _____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数 y ? x ?
1 的最小值是2.( x

)

a?b 2 ) ) 成立的条件是ab>0.( 2 (3)函数 f ? x ? ? cos x ? 4 ,x ? (0, ? ) 的最小值等于4.( cos x 2 (4)x>0且y>0是 x ? y ? 2 的充要条件.( ) y x (5)若a>0,则 a 3 ? 12 的最小值为 2 a .( ) a

(2)ab ? (

)

【解析】(1)错误.当x<0时,函数值一定为负,最小值不是2. (2)错误.当ab<0时,仍有 (
ab ? ( a?b 2 因此对于不等式 ) ? 0, 2

a?b 2 ) ,当a,b中有0或一个负数时也是成立的. 2 (3)错误. 虽然由基本不等式可得 f (x) ? cos x ? 4 ? cos x 4 4 但由于其中的等号成立的条件是 cos x ? , 2 cos x g ? 4, cos x cos x

即cos x=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是 4.

(4)错误.当x>0且y>0时一定有 x ? y ? 2,但当 x ? y ? 2 时,不
y

x y x 一定有x>0且y>0,所以x>0且y>0是 x ? y ? 2 的充分不必要条件. y x 1 (5)错误.虽有 a 3 ? 12 ? 2 a 3 g 12 ? 2 a,但不能说 2 a 就是 a 3 ? 2 a a a

的最小值,因为 2 a 的值与a有关,不是一个定值. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

1.下列不等式中正确的是( (A)若a∈R,则a2+9>6a

)

a?b ?2 ab (C)若a,b>0,则 2lg a ? b ? lg a ? lg b 2 1 (D)若x∈R,则 x 2 ? 2 ? 1 x ?1

(B)若a,b∈R,则

【解析】选C.对于A,a2+9-6a=(a-3)2≥0,?a2+9≥6a,故A不 正确.由基本不等式成立的条件知B错误.对于C,当a,b>0时,
a?b 有 a ? b ? ab,所以 2lg 故C ? 2lg ab ? lg(ab) ? lg a ? lg b, 2 2

选项正确.对于D,≧x∈R,?x2+1≥1,
1 1 1 2 2 x ? 2 ? x ?1? 2 ? 1 ? 2 (x ? 1)g 2 ? 1 ? 1, 故D错误. x ?1 x ?1 x ?1
2

2.若x>0,y>0,且x+y= 1 ,则xy的最大值为(
3

)

1 (B)2 3 (D) 36 1 【解析】选D.由基本不等式可得xy ? ( x ? y )2 ? ( 3 )2 ? 1 , 2 2 36

2 3 (A) 3

1 (C) 9

当且仅当 x ? y ? 1 时,xy取最大值 1 . 故选D.
6 36

3.函数f(x)=3x+3-x的最小值是( (A)2 (B)1

) (C)3 (D) 2 2
1 3x

【解析】选A.由于3x>0,3-x>0,所以f(x)=3x+3-x= 3x ?

1 当且仅当3x=3-x,即x=0时函数取得最小值2. ? 2 3x g x ? 2, 3

4.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2 万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离 车站______千米处.

【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设
k1 而当x=10时,y1=2,y2=8,于是 k1 ? 20, k 2 ? 4 , , y 2 ? k 2 x, x 5 因此 y1 ? 20 , y 2 ? 4 x, ? y1 ? y 2 ? 20 ? 4x ? 2 16 ? 8, 当且仅当 x 5 x 5 y1 ?

x=5时取等号,所以仓库应建在离车站 5千米处. 答案:5

5.已知a,b为正实数且a+b=1,则 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) 的最小值为___.
a b

【解析】≧a>0,b>0,a+b=1, ?1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2 ? b , 同理 1 ? ? 2 ? ,
1 b a b a a a 1 1 b a b a ? (1 ? )(1 ? ) ? (2 ? )(2 ? ) ? 5 ? 2( ? ) ? 5 ? 4 ? 9, a b a b a b 等号成立的条件为a=b= 1 . 2

答案:9

考向 1

利用基本不等式判断命题真假

【典例1】(1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立 的是( )
(B)a ? b ? 2 ab
b a (D) ? ? 2 a b

(A)a 2 ? b2 ? 2ab
1 1 2 (C) ? ? a b ab

(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是(
1 (A)lg(x ? ) ? lg x(x ? 0) 4 1 (B)sin x ? ? 2(x ? k?, k ? Z) sin x
2

)

(C)x 2 ? 1 ? 2 | x |
(D) 1 ? 1(x ? R) 2 x ?1

【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进
行分析判断,注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件 是否满足. 【规范解答】(1)选D.对于A,a2+b2≥2ab,所以A错.对于B, C,虽然ab>0,但只能说明a,b同号,若a,b都小于0时,B, C不对.≧ab>0,? ? ? 2, 故D正确.
b a a b

(2)选C.由于 x 2 ? ? 2 x 2 g ? x,所以 lg(x 2 ? 1 ) ? lg(2 x 2 g1 ) ? lg x,
当且仅当 x 2 ? ,即 x ?
sin x 1 4 1 时取等号,故A错误. 当sin x<0时, 2

1 4

1 4

4

4

不可能有 sin x ? 1 ? 2, 故B错误.由基本不等式可得

故C正确.由于x2≥0,x2+1≥1,所以 x 2 ? 1 ?| x |2 ?12 ? 2 | x | ,
1 故D错误. ?1 , 2 x ?1

【拓展提升】基本不等式的变形 在基本不等式 ab ?
a?b 及其一些变形形式中,可以将字母 2

a,b换成其他的数、字母、代数式等,只要这些数、字母、代
数式符合不等式成立的条件,那么得到的不等式也是成立的,

由此可以得到一些常用的不等式.例如,当x≠0时,
1 ? 2;当a>1时, lg a ? loga 10 ? 2; 2 x b a 当ab>0时, ? ? 2. a b x2 ?

【变式训练】 (2013·南通模拟)给出下列结论:①若x≠0,

则 x ? 4 ? 2 x g4 ? 4; ②若a>0,b>0,则 lg a ? lg b ? lg a glg b;
x x
2 9 的最小值为6;④若a,b>0,且 ③当x∈(0, ? )时, sin x ? 2 sin x

ab=2,则

1 1 ? ? 1.其中正确结论的序号是____. 2 2 a b

【解析】对于①,只有当x>0时,才有 x ? 4 ? 2 x g4 ? 4 成立,
x x

故①错误;对于②,虽然有a>0,b>0,但lg a和lg b不一定都

是正数,因此不一定有 lg a ? lg b ? lg a glg b, 故②错误;对于
sin x 9 9 但其中的等号成立的条件是 即 sin x ? , 2 sin x g ? 6, sin x sin x 9 sin x=3,这显然是不可能的,因此不能说 sin x ? 的最小 sin x 2 2 2 2 1 1 a ? b a ? b 值为6,故③错误;对于④,由于 ? ? ? ? a 2 b2 a 2 b2 4 2ab ? 1,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,所以④正确. 4 2

③,虽然当x∈(0, ? )时,sin x>0,所以 sin x ? 9 ?

2

答案:④

考向2

利用基本不等式求最值
x

【典例2】(1)(2013·南京模拟)若x<0,则函数 f (x) ? 1 ? x ? 16

的最小值为______.
4 的最小值等于_______. x ?1 (3)(2013·余姚模拟)已知正数a,b满足 1 ? 1 ? 3, 则a+b的取 a b

(2)设x>0,则函数 y ? x ? 1 ?

值范围是_______.

【思路点拨】(1)因为x<0,所以可对 (? x) ? (? 16 ) 利用基本不
x

等式求最小值.
4 (2)将函数解析式变形为 y ? x ? 1 ? 4 ? 2,再对 x ? 1 ? x ?1 x ?1



用基本不等式求最值.
1 1 将a+b中的b用a表示,然后用基 ? ? 3, a b 本不等式求范围;另一种思路是对 1 ? 1 ? 3 变形,获得a+b a b

(3)一种思路是根据

与ab的关系,然后利用解不等式消去ab建立a+b的不等式求解.

16 【规范解答】(1)由于x<0,所以 f (x) ? 1 ? x ? 16 ? 1 ? [(? x) ? (? )]

? 1 ? 2 (? x)g(?

16 当且仅当 ? x ? ? 16 ,即x=-4时,函数取最 ) ? 9, x x

x

x

小值9. 答案:9 (2) y ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 (x ? 1)g 4 ? 2 ? 2. 当且仅当 x ? 1 ? 4 , 即x=1时取等号,所以函数的最小值
x ?1

x ?1

x ?1

x ?1

等于2.

答案:2

(3)方法一:由 1 ? 1 ? 3得a+b=3ab,所以 b ?
a b

a 由于 , 3a ? 1

1 1 a>0,b>0,可得 a ? . 于是 a ? b ? a ? a ? a ? 3 ? 1 ? 3 3a ? 1 3a ? 1 3 1 2 4 1 2 1 1 2 2 (a ? 1 )g 1 3 ? ? , a? ? ? ? (a ? ) ? ? ? 1 3 9(a ? ) 3 3 3 3a ? 1 3 3 9(a ? 1 ) 3 3 3 1 1 当且仅当 a ? ? 即 a ? 2 时取等号,所以a+b的取值范 , 3 9(a ? 1 ) 3 4 3 围是 [ , ?? ). 3

方法二:由 1 ? 1 ? 3 得a+b=3ab.

a b a?b 2 由于ab ? ( a ? b ) 2, 所以 a ? b ? 3( ), 2 2 即4(a+b)≤3(a+b)2,所以 a ? b ? 4 , 3 4 即a+b的取值范围是 [ , ?? ). 3 4 答案: [ , ??) 3

【互动探究】本例题(3)中,条件不变,则ab的取值范围是
_________. 【解析】由于 a ? b ? 2 ab, 所以 3ab ? 2 ab, 即9(ab)2≥4ab,所 以 ab ? 4 , 即ab的取值范围是[ , ?? ).
9 4 答案: [ , ??) 9 4 9

【拓展提升】两个正数的和与积的转化
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化 为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式的最值或取值范围. 如果条件等式中,同 时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式 对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解 .

【提醒】形如 y ? x ? a (a ? 0) 的函数求最值时,首先考虑用
x

基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解.

【变式备选】(1)(2012·济宁模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8, 则x+2y的最小值是(
(A)3 (B)4

)
(C) 9 2 (D) 11 2

【解析】选B.由于x>0,y>0,所以 2xy ? x g2y ? ( x ? 2y ) 2, 而 2xy=8-(x+2y),于是有 8 ? (x ? 2y) ? ( x ? 2y ) 2, 令x+2y=t,
2 2

则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此x+2y≥4, 即x+2y的最小值是4,故选B.

(2)(2012·海口模拟)函数 f (x) ? sin x ? 小值是_______.

1 (0 ? x ? ?) 的最 4sin x

【解析】因为0<x<π,所以0<sin x≤1.因此由基本不等式得:
f (x) ? sin x ? 1 1 当且仅当 sinx ? 1 , ? 2 sinx g ?1 , 4sin x 4sin x 4sin x ? 1 即 或 x ? 5? 时取到等号,所以函数的最小值 x? sin x ? , 6 6 2

等于1. 答案:1

考向3

基本不等式的实际应用

【典例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形 小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m. 房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋 顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计 房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?

【思路点拨】用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值即
可.但要注意变量x的取值范围为0<x≤5;判断函数取最小值 时的x是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式 求最值,可以考虑单调性.

【规范解答】设总造价为y,由题意可得,
y=3(2x×150+ 12×400)+5 800
16 )+5 800(0<x≤5), x 16 由基本不等式得y=900(x+ )+5 800 x ≥900×2 x ? 16 +5 800=13 000(元), x 当且仅当 x=16 , 即x=4时取等号. x x

=900(x+

故当侧面的长度为4米时,总造价最低.

【互动探究】本例中,若要求房子侧面的长度x不得少于5 m, 那么侧面的长度为多少时,总造价最低? 【解析】设总造价为y,由题意可得, y=3(2x×150+ 12 ×400)+5 800
16 )+5 800(x≥5). x 由于y′=900(1- 16 ), 2 x x

=900(x+

令y′>0得x>4(x<-4舍去), 所以函数在(4,+≦)上单调递增,于是当x=5时,

y取得最小值13 180元.

【拓展提升】注意变量的取值范围
在利用基本不等式解决实际应用问题时,一定要注意问题中所 涉及变量的取值范围,即函数的定义域,分析在该范围内是否 存在使基本不等式的等号成立的变量值,若存在,则可利用基 本不等式求解,若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数 定义域内,则应利用导数研究函数的单调性,根据单调性求最 值.

【变式备选】某种汽车,购车费用为10万元,每年的保险费、
汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递 增0.2万元.这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2
万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元

为公差的等差数列,因此,汽车使用x年时总的维修费用为
0.2 ? 0.2x 万元. x 2

设汽车的年平均费用为y万元,则有
0.2 ? 0.2x x 2 10 ? x ? 0.1x 10 x 10 x 2 y? ? ? 1? ? ? 1? 2 g ? 3, x x x 10 x 10 当且仅当 10 ? x , 即x=10时,y取得最小值. x 10 10 ? 0.9x ?

答:汽车使用10年时,它的年平均费用最少.

【易错误区】忽视基本不等式等号成立的条件致误 【典例】(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则 3x+4y的最小值是(
(A) 24 5 (B) 28 5

)
(C)5 (D)6

【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基
本不等式得到 xy 的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后 通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中 等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立 的条件不一致,从而导致错误.

【规范解答】选C.由x+3y=5xy可得 1 ? 3 ? 1,
5y 5x

所以 3x ? 4y ? (3x ? 4y)( 1 ? 3 )
5y 5x
? 9 4 3x 12y 13 3x 12y 13 12 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 5, 5 5 5y 5x 5 5y 5x 5 5
2

当且仅当x=1, y ? 1 时取等号,故3x+4y的最小值是5.

【思考点评】
1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件:连续使用基本 不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母 取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式, 若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等 .

2.妙用“1”的代换求代数式的最值:在求解含有两个变量的
代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1” 的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求 最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利 用基本不等式求最值.

1.(2013·临沂模拟)若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式 中正确的是( (A)ab≤1 (C)a2+b2≥4 【解析】选A.由已知可得 ab ? ( ) (B)ab≥1 (D)a 2+b2≤4
a?b 2 ) ? 1, 2

而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故只有A正确.

2.(2013·韶关模拟)若a<1,则 a ? 1 的最大值是(
(A)3 (B)a (C) ? 1
a ?1 2 a (D) a ?1

)

【解析】选C.因为a<1,所以a-1<0,因此
1 1 1 ? a ?1 ? ? 1 ? ?2 (1 ? a)g ? 1 ? ?1, a ?1 a ?1 1? a 1 当且仅当 1 ? a ? , 即a=0时取最大值-1,故选C. 1? a a?

3.(2013·北京模拟)爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于 身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现 有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为 v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是 v1 ? v 2 (甲、乙两人中
2

途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的 时间t1,t2的关系为( (A)t1>t2 (C)t1=t2 ) (B)t1<t2 (D)不能确定

【解析】选A. 设上山路程为h,同理下山路程为h,则依题
2 v1v2 v1 ? v2 h h 2 意有 t1 ? ? ? h g ? hg ? hg , v1 v2 v1v2 v1v 2 v1v2 2h 4 4 2 t2 ? ? hg ? hg ? hg , 故t1>t2. v1 ? v 2 v1 ? v 2 2 v1v 2 v1v 2 2

4.(2013·济宁模拟)已知a>0,b>0,若不等式 恒成立,则m的最大值等于( (A)10 (B)9 ) (D)7

2 1 m ? ? a b 2a ? b

(C)8

【解析】选B. 由于a>0,b>0,所以不等式可化为
2 1 2 1 2a 2b m ? (2a ? b)( ? ), 而 (2a ? b)( ? ) ? 4 ? ? ?1 ? a b a b b a 2a 2b 2 1 2a 2b 当且仅当 即 a=b 时 (2a+b)( ? , ? ) 5? 2 g ? 9, b a a b b a

取最小值9,所以不等式恒成立时m的最大值等于9.

1.下列结论中正确的是(
(A)若a>0,则 (a ? 1)( 1 ? 1) ? 2
a (B)若x>0,则 ln x ? 1 ? 2 ln x 1 (C)若a+b=1,则 a 2 ? b 2 ? 2 (D)若a+b=1,则 a 2 ? b 2 ? 1 2

)

【解析】选C.当a>0时,有 (a ? 1)( 1 ? 1) ? 2 a g2 1 ? 4, 故A错误.
a a 当x>0时,不一定有ln x>0,故 ln x ? 1 ? 2不一定成立,B错 ln x a ? b 2 1 故a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab 误.当a+b=1时, ab ? ( ) ? , 2 4 ≥ 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 因此C正确,D错误. 4 2

2.已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,
则 1 ? 1 的最小值是(
a b

)
(C)4
a

(A)3 ? 2 2

(B)3 ? 2 2

(D)2
b a b

【解析】选A.依题意得2a+b=1,于是 1 ? 1 ? (2a ? b)( 1 ? 1 )
b 2a 即 b 2a b 2a 当且仅当 ? , ? 3? ? ? 3 ? 2 g ? 3 ? 2 2, a b a b a b 2 ? 2 时,1 ? 1 取最小值 3 ? 2 2. b ? 2 ? 1,a ? a b 2


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