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山东省淄博市高青一中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版).doc

时间:2017-04-03


2016-2017 学年山东省淄博市高青一中高二(上)期中数学 试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 a>b,则下列不等式中正确的是( A. B. ) C. D.2a>2b

【考点】不等式的基本性质. 【分析】取 a=2,b

=﹣1 时,即可判断出 A.B.C 不成立;根据指数函数 y=2 在 R 上单调 递增,即可判断出 D 的正误. 【解答】解:取 a=2,b=﹣1 时,A.B.C 不成立; 对于 D.由指数函数 y=2 在 R 上单调递增,a>b,可得 2 >2 . 故选:D.
x a b x

2.不等式

≤0 的解集为(

) B.[1,3) C.[1,3]D. (﹣∞,

A. (﹣∞,1]∪(3,+∞) 1]∪[3,+∞) 【考点】其他不等式的解法.

【分析】首先将分式不等式转化为整式不等式,然后求解集. 【解答】解:原不等式等价于(x﹣1) (x﹣3)≤0 且 x﹣3≠0,所以不等式的解集为[1,3) ; 故选:B.

3.等差数列{an}中,a5=15,则 a3+a4+a7+a6 的值为( A.30 B.45 C.60

) D.120

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列{an}的性质:a3+a7=a4+a6=2a5.即可得出. 【解答】解:利用等差数列{an}的性质:a3+a7=a4+a6=2a5.

∴a3+a4+a7+a6=4a5=4×15=60. 故选:C.

4.在△ABC 中,已知 a= A. 【考点】正弦定理.

,b= B.

,A=30° ,则 c 等于( C. 或

) D.以上都不对

【分析】由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理即可列出关于 c 的一元二次方程,求出方程的 解即可得到 c 的值. 【解答】解:由 = +c2﹣2 ) (c﹣ c× ,利用余弦定理得:
2 ,即 c ﹣3

c+10=0, 或 .

因式分解得: (c﹣2 故选 C

)=0,解得:c=2

5.已知数列{an}的前项 n 和 Sn=n2+2n,则数列 A. 【考点】数列的求和. B. C.

的前项 n 和为( D.



2 【分析】数列{an}的前项 n 和 Sn=n +2n,利用递推关系可得 an,再利用“裂项求和”方法即可

得出.
2 【解答】解:∵数列{an}的前项 n 和 Sn=n +2n, 2 2 ∴n=1 时,a1=S1=3.n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +2n﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)]=2n+1,n=1 时也

成立. ∴an=2n+1, ∴ ∴数列 = = 故选:A. . = = 的前项 n 和= + . +…+

6.函数 f(x)= A. (﹣∞,11)

的定义域为( B. (1,11]

) C. (1,11) D. (1,+∞)

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】函数 f(x)= 等式即可得到所求定义域. 【解答】解:函数 f(x)= 只需 1﹣lg(x﹣1)≥0,且 x﹣1>0, 即为 lg(x﹣1)≤1 且 x>1, 解得 1<x≤11, 则定义域为(1,11]. 故选:B. 有意义, 有意义,只需 1﹣lg(x﹣1)≥0,且 x﹣1>0,解不

7.已知等比数列{an}中,a2=2,则其前三项和 S3 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣2] ∞,﹣2]∪[6,+∞) 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由已知得等比数列{an}前三项和 S3= 讨论,能求出其前三项和 S3 的取值范围. 【解答】解:∵等比数列{an}中,a2=2, ∴其前三项和 S3= 当 q>0 时,S3= 当 q<0 时,S3= , ≥2+2 ≤2﹣2 =6; =2﹣4=﹣2. B. (﹣∞,0)∪(1,+∞)

) C.[6,+∞)D. (﹣

,由此分 q>0 和 q<0 两种情况分类

∴其前三项和 S3 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞) . 故选:D.

8. B, C 所对的边分别为 a, b, c, S 表示三角形的面积, △ABC 中, 角 A, 若 asinA+bsinB=csinC, 且 S= A.直角三角形 C.等腰或直角三角形 ,则对△ABC 的形状的精确描述是( B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

【考点】余弦定理;正弦定理.
2 2 2 【分析】由正弦定理化简已知可得 a +b =c ,利用勾股定理可得 C=

,利用余弦定理,三

角形面积公式化简可得 sinB﹣cosB=0,可求 三角形的形状. 【解答】解:∵asinA+bsinB=csinC,
2 2 2 2 2 2 ∴由正弦定理可得:sin A+sin B=sin C,可得:a +b =c ,

sin(B﹣

)=0,结合范围 B∈(0,

) ,可求 B=A,即可得解

∴C= 又∵S=

,△ABC 是直角三角形. = acsinB, sin(B﹣ )=0,

∴ ×2accosB= acsinB,解得:sinB﹣cosB=0,可得: ∴B﹣ =kπ,可得:B=kπ+ ) ,B﹣ ,k∈Z, , ) , ,

∵B∈(0, ∴B﹣

∈(﹣

=0,可得:B=

,A=π﹣B﹣C=

∴△ABC 是等腰直角三角形. 故选:D.

9.等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 S2016=2016,且 ( ) B.﹣2016 C.﹣2015



=2000,则 a1 等于

A.﹣2017

D.﹣2014

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由 = = n+ ,可知:数列 是等差数列,利用等差

数列的通项公式即可得出.

【解答】解:由 可知:数列 ∴ ∴1= 故选:D. ﹣ =

=

= n+



是等差数列,设公差为 d. =2000=2000d,解得 d=1. +2015×1,解得 a1=﹣2014.

10.某人要利用无人机测量河流的宽度,如图,从无人机 A 处测得正前方河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此时无人机的高是 60 米,则河流的宽度 BC 等于( )

A.



B.

米 C.

米 D.



【考点】解三角形的实际应用. 【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出 15° 的正切值,然后通过求解两个直角三角 形得到 DC 和 DB 的长度,作差后可得答案.

【解答】解:如图

由图可知,∠DAB=15° , =tan(45° ∵tan15° ﹣30° )=2﹣ 在 Rt△ADB 中,又 AD=60, ∴DB=AD?tan15°=60×(2﹣ )=120﹣60 . .

在 Rt△ADC 中,∠DAC=60° ,AD=60, ∴DC=AD?tan60°=60 ∴BC=DC﹣DB=60 . ﹣=120( ﹣1) (m) . ﹣1)m.

∴河流的宽度 BC 等于 120(

故选:C.

11.在数列{an}中,a1=2,an=an﹣1+ln(1+ A.2+nlnn 【考点】数列递推式. 【分析】根据条件, B.2+(n﹣1)lnn

) (n≥2)则{an}=( C.2+lnn

) D.1+n+lnn

,即 an﹣lnn=an﹣1

﹣ln(n﹣1) ,故{an﹣lnn}是常数数列,所以 an﹣lnn=a1﹣ln1=2,即 an=2+lnn. 【解答】解:∵ ∴an=an﹣1+lnn﹣ln(n﹣1) , (n≥2) ∴an﹣lnn=an﹣1﹣ln(n﹣1) , (n≥2) ∴{an﹣lnn}是常数数列, ∴an﹣lnn=a1﹣ln1=2, ∴an=2+lnn. 故选:C = , (n≥2)

12.已知变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

小值为 2,则 A.

+

的最小值为( B.2

) C .8 D.17

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用 基本不等式求则的最小值. 【解答】解:由约束条件得到可行域如图:目标函数 z=ax+by(a>0,b>0) 即 y=﹣ x+ 的最小值为 2 是过图中 A(1,1)得到,所以 a+b=2,所以 a+b=2≥2 所以 ab≤1,则 + ≥ ≥2; ,

当且仅当 a=b 时等号成立; 故选 B.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.不等式 kx2﹣kx+1>0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围为 [0,4) . 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】由于二次项系数为 k,要讨论 k 与 0 的关系,当 k≠0 时,结合与二次函数的关系 解答. 【解答】解:①当 k=0 时,不等式为为 1>0 恒成立,满足题意; ②当 k≠0 时,只要 ,解得 0<k<4;

2 所以不等式 kx ﹣kx+1>0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围为[0,4) .

故答案为:[0,4) .

14.△ABC 中,AB=3,AC=4,BC= 【考点】正弦定理.

,则△ABC 的面积是



【分析】由已知及余弦定理可求 cosA,利用同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值,进而 利用三角形面积公式即可得解. 【解答】解:∵AB=3,AC=4,BC= ∴cosA= = , = ,

∴sinA=

=



∴S△ABC= AB?AC?sinA= 故答案为: .

=



15. 《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女 善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈,问日益几何?”该题大意是:“一女 子擅长织布,一天比一天织的快,而且每天增加的量都一样,已知第一天织了 5 尺,一个月 后,共织布 390 尺,问该女子每天增加 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为 d,利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解:设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为 d, 则 5×30+ 解得 d= . . d=390, 尺. (一月按 30 天计)

故答案为:

16.方程 ax2+bx+2=0 的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则 2a﹣b 的 取值范围是 (5,+∞) . 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系. 【分析】作出可行域,平移目标函数和利用截距的意义即可得出
2 【解答】解:设 f(x)=ax +bx+2,

由题意可得分(0)=2>0,可得 a>0, ,即 ,化为 ,

故所求的不等关系为

, (*)

可行域如图阴影部分, 令 z=2a﹣b,在点 A 处取得最小值 5, 综上可知 z 的取值范围为(5,+∞) , 故答案为: (5,+∞)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,△ABC 的面积是 9 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)运用正弦定理和同角的商数关系,由特殊角的三角函数值可得 A; (2)运用三角形的面积公式和余弦定理,解方程即可得到所求 b,c 的值. 【解答】解: (1)在△ABC 中, 由正弦定理得 ∴ ,又 0<A<π, bcosA=asinB. , ,求三角形边 b,c 的长. bcosA=asinB.



. ,得 bcsin =9 ,即为 bc=36, ,

(2)由 S△ABC=9

2 2 2 2 由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccos 2 2 即 36=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣108,

解得 b+c=12, 由 得 ,

∴三角形边 b,c 的长都为 6.

18.已知关于 x 的不等式 x2﹣ax﹣2>0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>b}(b>﹣1) . (1)求 a,b 的值; (2)当 m>﹣ 时,解关于 x 的不等式(mx+a) (x﹣b)>0. 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】 (1)根据一元二次不等式和对应方程的关系,结合根与系数的关系,即可求出 a、 b 的值; (2)讨论 m=0 以及 m>0,﹣ <m<0 时,求出对应不等式的解集即可. 【解答】解: (1)关于 x 的不等式 x ﹣ax﹣2>0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>b}(b>﹣1) , ∴﹣1,b 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两实数根, ∴ 解得 a=1,b=2; (2)由(1)知,不等式可化为(mx+1) (x﹣2)>0, 又 m>﹣ , 当 m=0 时,不等式化为 x﹣2>0,解得 x>2; 当 m>0 时,不等式化为(x+ ) (x﹣2)>0,解得 x<﹣ ,或 x>2; 当﹣ <m<0 时,﹣ >2,不等式化为(x+ ) (x﹣2)<0,解得 2<x<﹣ ; 综上,m>0 时,不等式的解集为{x|x<﹣ ,或 x>2}, ,
2 2

m=0 时,不等式的解集为{x|x>2}, ﹣ <m<0 时,不等式的解集为{x|2<x<﹣ }.

19.已知数列{an}为单调递减的等差数列,a1+a2+a3=21,且 a1﹣1,a2﹣3,a3﹣3 成等比数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=|an|,求数列{bn}的前项 n 和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. a2﹣3, a3﹣3 成等比数列, 【分析】 (1) 由条件 a1﹣1, 可得 又因为 a1+a2+a3=21,a1+a3=2a2,解得 a1 和 d,即可求出通项公式; (2)bn=|an|= ,分类讨论再利用等差数列的前 n 项和公式即可得 Tn. ,

【解答】解: (1)设数列{an}的公差为 d,由 a1+a2+a3=21 得 a2=7, ∴a1=7﹣d,a3=7+d, ∵a1﹣1,a2﹣3,a3﹣3 成等比数列, ∴ 解得 d1=4(舍) ,d2=﹣2, ∴an=a2+(n﹣2)d=7+(n﹣2)?(﹣2)=﹣2n+11. (2) ,
2 ,即 4 =(6﹣d) (4+d) ,

设数列{an}的前项 n 和为 Sn,则 当 n≤5 时,

. .

当 n≥6 时,Tn=b1+b2+…+bn=a1+a2+…+a5﹣(a6+a7+…+an) = .





20.为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为 200 米,圆心角为 120° 的扇形广场内(如 图所示) ,沿△ABC 边界修建观光道路,其中 A、B 分别在线段 CP、CQ 上,且 A、B 两点 间距离为定长 米.

(1)当∠BAC=45° 时,求观光道 BC 段的长度; (2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中 A、B 两点的位置,使观 光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由已知及正弦定理即可得解 BC 的值. (2)设 CA=x,CB=y,x,y∈(0,200],利用余弦定理可求 合基本不等式可求 x+y≤120,从而可求观光道路总长度最长值. 【解答】解: (1)在△ABC 中,由已知及正弦定理得 即 ∴ . , , ,结

(2)设 CA=x,CB=y,x,y∈(0,200],
2 2 2 在△ABC 中,AB =AC +CB ﹣2AC?CB?cos120°,即



∴ 故 x+y≤120,当且仅当 x=y=60 时,x+y 取得最大值,



∴当 A、B 两点各距 C 点 60 米处时,观光道路总长度达到最长,最长为



21.设等比数列{an}的前项 n 和 Sn,a2= ,且 S1+ bn=2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前项 n 和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 S1+ 又因为 ,S2,S3 成等差数列,可得

,S2,S3 成等差数列,数列{bn}满足

,化简为



,解得 a1 和 q,即可求出等比数列的通项公式;

(2)因为{an}是等比数列,{bn}是等差数列,而 cn=anbn,故利用错位相减法即可求出 Tn. 【解答】解: (1)设数列{an}的公比为 q, ∵ 成等差数列,∴ ,∴ ,



,∴

,∴







(2)设数列{cn}的前项 n 和为 Tn,则 Tn=c1+c2+c3+…+cn, 又 ∴ 两式相减得 , , ,







22.已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c 的对称轴为 x=1,g(x)=x+ (x>0) . (1)求函数 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值; (2)试确定 c 的取值范围,使 g(x)﹣f(x)=0 至少有一个实根; (3)当 c=m﹣3 时,F(x)=f(x)﹣(m+2)x,对任意 x∈(1,2]有 F(x)≤0 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【分析】 (1)g(x)=x+ (x>0) ,运用基本不等式即可求得函数 g(x)的最小值及取得 最小值时 x 的值;
2 (2)依题意,可得 f(x)=﹣x +2x+c,当 x∈(0,+∞)时,g(x)﹣f(x)=0 至少有一

个实根?g(x)=f(x)至少有一个实根,即 y=g(x)与 y=f(x)的图象在(0,+∞)上至 少有一个交点,可求得 f(x)max=1+c,g(x)min=2,利用 1+c≥2,可求得 c 的取值范围; (3)由 c=m﹣3 时,F(x)=f(x)﹣(m+2)x,对任意 x∈(1,2]有 F(x)≤0 恒成立, 分离参数 m 可得不等式: 单调性质即可求得实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)∵x>0,∴ ∴ ,当且仅当 , ,再将右端的部分分离出常数,利用“对勾”函数的

,即 x=1 时“=”成立,即 g(x)min=2,此时 x=1.

2 (2)∵f(x)=ax +2x+c 的对称轴为 x=1,

∴a=﹣1,
2 ∴f(x)=﹣x +2x+c,

当 x∈(0,+∞)时,g(x)﹣f(x)=0 至少有一个实根?g(x)=f(x)至少有一个实根.
2 即 y=g(x)与 y=f(x)的图象在(0,+∞)上至少有一个交点,f(x)=﹣(x﹣1) +1+c,

∴f(x)max=1+c,g(x)min=2, ∴1+c≥2,∴c≥1,∴c 的取值范围为[1,+∞) .
2 2 (3)∵c=m﹣3,∴F(x)=﹣x +2x+m﹣3﹣(m+2)x=﹣x ﹣mx+m﹣3,

∴对任意 x∈(1,2]有﹣x ﹣mx+m﹣3≤0 恒成立,∴

2



令 t=x﹣1,t∈(0,1],∴x=t+1,∴



令 ∴

,设 t1,t2 为(0,1]上任意两不等实数,且 t2>t1,



∵0<t1<t2≤1,∴t1﹣t2<0, ∴G(t)在(0,1]上单调递增,

,∴G(t2)﹣G(t1)>0,

∴G(t)max=G(1)=﹣1﹣4﹣2=﹣7,∴m≥﹣7. ∴实数 m 的取值范围为[﹣7,+∞) .

2016 年 12 月 23 日


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