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新课标人教版A高中数学必修3经典全部教案

时间:2013-09-06


新课标高中数学必修 3 教案 目 录

第一章 算法初步 .............................................................................................................................................................. 1 1.1.1 算法的概念 ..................................................................................................................................................... 3 1.1.2 程序框图(第二、三课时) .............................................................................................................................. 9 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句(第一课时) ..................................................................................................... 15 1.2.2-1.2.3 条件语句和循环语句(第二、三课时) ................................................................................................ 21 1.3 算法案例 第 1、2 课时 辗转相除法与更相减损术 ........................................................................................... 27 第 3、4 课时 秦九韶算法与排序 ....................................................................................................... 31 第 5 课时 进位制 ................................................................................................................................. 35 算法初步 复习课 ........................................................................................................................................................ 39 第二章 统计初步 ............................................................................................................................................................ 45 2.1.1 简单随机抽样..................................................................................................................................................... 45 2.1.2 系统抽样 ............................................................................................................................................................ 49 2.1.3 分层抽样 ............................................................................................................................................................ 53 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时) ...................................................................................................... 57 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时) .......................................................................................... 61 第三章 概率 .................................................................................................................................................................... 65 3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时) .............................................. 65 3.1.3 概率的基本性质(第三课时) ......................................................................................................................... 69 3.2 古典概型(第四、五课时) 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 ............................................................. 73 3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 ..................................................................................... 79

…………………………….…….. ……. ……. ……………………………………. ……. ……

I

第一章 算法初步
一、课标要求: 1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句,通过阅读中国古代教学中的算法案 例,体会中国古代数学世界数学发展的贡献。 2、算法就是解决问题的步骤,算法也是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的基础,利用 计算机解决问需要算法,在日常生活中做任何事情也都有算法,当然我们更关心的是计算机的算法,计算 机可以解决多类信息处理问题,但人们必须事先用计算机熟悉的语言,也就是计算能够理解的语言(即程 序设计语言)来详细描述解决问题的步骤,即首先设计程序,对稍复杂一些的问题,直接写出解决该问题 的程序是困难的,因此,我们要首先研究解决问题的算法,再把算法转化为程序,所以算法设计是使用计 算机解决具体问题的一个极为重要的环节。 3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析(如二元一次方程组的求解等问题) ,体会算法的思想, 了解算法的含义。理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种 基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。 4、本章的重点是体会算法的思想,了解算法的含义,通过模仿、操作、探索,经过通过设计程序框 图解决问题的过程。点是在具体问题的解决过程中,理解三种基本逻辑结构,经历将具体问题的程序框图 转化为程序语句的过程,理解几种基本的算法语句。 二、编写意图与特色: 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展,算法在 科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代 人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中,学 生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题 中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算 法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。 1、结合熟悉的算法,把握算法的基本思想,学会用自然语言来描述算法。 2、通过模仿、操作和探索,经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理 解程序流程图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 3、通过实际问题的学习,了解构造算法的基本程序。 4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会算法的基本思想。 5、需要注意的问题 1) 从熟知的问题出发,体会算法的程序化思想,而不是简单呈现一些算法。 2) 变量和赋值是算法学习的重点之一,因为设置恰当的变量,学习给变量赋值,是构造算法的关键, 应作为学习的重点。 3) 不必刻意追求最优的算法,把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。 4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。 三、教学内容及课时安排: 1.1 算法与程序框图 (约 2 课时) 1.2 基本算法语句 (约 3 课时) 1.3 算法案例 (约 5 课时) 复习与小结 (约 2 课时) 四、评价建议 1

1.重视对学生数学学习过程的评价 关注学生在数学语言的学习过程中,是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣;在学 习过程中,能否体会集合语言准确、简洁的特征;是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的 能力。 2.正确评价学生的数学基础知识和基本技能 关注学生在本章(节)及今后学习中,让学生集中学习算法的初步知识,主要包括算法的基本结构、 基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分,在其他相关部分还将进一步学习算法

2

1.1.1 算法的概念
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)了解算法的含义,体会算法的思想。 (2)能够用自然语言叙述算法。 (3)掌握正确 的算法应满足的要求。 (4)会写出解线性方程(组)的算法。 (5)会写出一个求有限整数序列中的最大值 的算法。 (6)会应用 Scilab 求解方程组。 2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组 的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有 多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要 求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点: 重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点:把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具: 学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数 n(n>1)是否为质数;求任意一个方程 的近似解;??),并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算 1×2×3×4×5 是可以做到的,但让计 算机去执行“倒一杯水” “替我理发”等则是做不到的。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设想: (1) 创设情境: 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是 我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧, 竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法, 求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。 因此,算法其实是重要的数学对象。 (2) 探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。后 来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗 衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步 骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。

(3) 例题分析: 1 例 1 任意给定一个大于 1 的整数 n,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 做出判定。 算法分析:根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤: 第一步:判断 n 是否等于 2,若 n=2,则 n 是质数;若 n>2,则执行第二步。 第二步:依次从 2 至(n-1)检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数,若有这样的数,则 n 不是质数; 若没有这样的数,则 n 是质数。 这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法。 2 例 2 用二分法设计一个求议程 x –2=0 的近似根的算法。 算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过 0.005,则不 难设计出以下步骤: 2 第一步:令 f(x)=x –2。因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1=1,x2=2。 第二步:令 m=(x1+x2)/2,判断 f(m)是否为 0,若则,则 m 为所长;若否,则继续判断 f(x1)·f(m)大

3

于 0 还是小于 0。 第三步:若 f(x1)·f(m)>0,则令 x1=m;否则,令 x2=m。 第四步:判断|x1–x2|<0.005 是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否, 则返回第二步。 小结:算法具有以下特性:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5)普遍性 典例剖析: 1、基本概念题 x-2y=-1,① 例3 写出解二元一次方程组 2x+y=1② 解:第一步,②-①×2 得 5y=3;③ 第二步,解③得 y=3/5; 第三步,将 y=3/5 代入①,得 x=1/5 学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下 面写出求方程组 ? 的算法

第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③ 第二步:解③,得 y ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1B2 ? B1 A2 ? 0) 的解的算法: ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

A2C1 ? A2C2 ; A2C1 ? A12B22? A2 B1 AC ? B2C1 ? B1C2 第三步:将 y ? 代入①,得 x ? 。 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1
第一步:取 A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1; 第二步:计算 x ?

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒 2 的另一个算法:

第三步:输出运算结果。

? B2C1 ? B1C2 A C ? A2C2 与y? 2 1 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题 例 4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。 解:算法如下。 S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值” 。 S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值” ,这时你就假定“最大 值”是这个整数。 S3 如果序列中还有其他整数,重复 S2。 S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。 学生做一做 老师评一评 S1 S2 max=a 如果 b>max, 则 max=b. 4 写出对任意 3 个整数 a,b,c 求出最大值的算法。 在例 2 中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S3 S4

如果 C>max, 则 max=c. max 就是 a,b,c 中的最大值。

综合应用题 例 5 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法。 分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式 1+2+?+n= 律简化运算过程。 解:算法 1: S1:计算 1+2 得到 3; S2:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6; S3:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10; S4:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15; S5:将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21。 算法 2: S1:取 n=6; S2:计算

n(n ? 1) 进行,也可以根据加法运算 2

S3:输出运算结果。 算法 3: S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算 3×7; S3:输出运算结果。 小结:算法 1 是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如 1+2+3+?+10000,再用这 种方法是行不通的;算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法,但比较而言,算法 2 最为简单,且易于在计算 机上执行操作。 学生做一做 求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法。 老师评一评 算法 1;第一步,先求 1×3,得到结果 3; 第二步,将第一步所得结果 3 再乘以 5,得到结果 15; 第三步,再将 15 乘以 7,得到结果 105; 第四步,再将 105 乘以 9,得到 945; 第五步,再将 945 乘以 11,得到 10395,即是最后结果。 算法 2:用 P 表示被乘数,i 表示乘数。 S1 使 P=1。 S2 使 i=3 S3 使 P=P×i S4 使 i=i+2 S5 若 i≤11,则返回到 S3 继续执行;否则算法结束。 小结 由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句。因此,上述算法 2 不仅是正确的,而 5

n(n ? 1) ; 2

且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中,S3,S4,S5 构成一个完整的循环,这里需要说 明的是,每经过一次循环之后,变量 P、i 的值都发生了变化,并且生循环一次之后都要在步骤 S5 对 i 的 值进行检验,一旦发现 i 的值大于 11 时,立即停止循环,同时输出最后一个 P 的值,对于循环结构的详 细情况,我们将在以后的学习中介绍。 4、课堂小结 本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时列论我们做什么事都离不开算法,算法 的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。 例如,某同学要在下午到体育馆参加比赛,比赛下午 2 时开始,请写出该同学从家里发到比赛地的算 法。 若用自然语言来描述可写为 (1)1:00 从家出发到公共汽车站 (2)1:10 上公共汽车 (3)1:40 到达体育馆 (4)1:45 做准备活动。 (5)2:00 比赛开始。 若用数学语言来描述可写为: S1 S2 S3 S4 S5 1:00 从家出发到公共汽车站 1:10 上公共汽车 1:40 到达体育馆 1:45 做准备活动 2:00 比赛开始

大家从中要以看出,实际上两种写法无本质区别,但我们在书写时应尽量用教学语言来描述,它的优 越性在以后的学习中我们会体会到。 5、自我评价 1、写出解一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的一个算法。 2、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法(打印结果) 6、评价标准 1、解:算法如下 S1 S2 S3 计算△=b -4ac 如果△〈0,则方程无解;否则 x1= 输出计算结果 x1,x2 或无解信息。
2 2

2、解:算法如下: S1 S2 S3 S4 使 i=1 i 被 3 除,得余数 r 如果 r=0,则打印 i,否则不打印 使 i=i+1 6

S5

若 i≤1000,则返回到 S2 继续执行,否则算法结束。
2

7、作业:1、写出解不等式 x -2x-3<0 的一个算法。 解:第一步:x -2x-3=0 的两根是 x1=3,x2=-1。 第二步:由 x -2x-3<0 可知不等式的解集为{x | -1<x<3}。 评注: 该题的解法具有一般性, 下面给出形如 ax +bx+c>0 的不等式的解的步骤 (为方便, 我们设 a>0) 如下: 第一步:计算△= b ? 4ac ;
2
2
2 2

第四步:若△<0,则不等式的解集为 R。

? b ? b 2 ? 4ac 第二步: 若△>0, 示出方程两根 x1, 2 ? (设 x1>x2) 则不等式解集为{x | x>x1 或 x<x2}; , 2a b 第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R 且 x ? ? }; 2a

7

1.1.2 程序框图(第二、三课时)
一、教学目标: 1、知识与技能:掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法,掌握算法的三个基本逻辑结构; 掌握画程序框图的基本规则,能正确画出程序框图。 2、过程与方法:通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程;学会灵活、正确 地画程序框图。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对程序框图有一个基本的了解;掌握算法语言的三种基 本逻辑结构,明确程序框图的基本要求;认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤,也是我 们学习计算机语言的必经之路。 二、重点与难点:重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和 3 种基本逻辑结构,难点是能综合运用这 些知识正确地画出程序框图。 三、学法与教学用具: 1、通过上节学习我们知道,算法就是解决问题的步骤,在我们利用计算机解决问题的时候,首先我 们要设计计算机程序,在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图,使整个程序的执行过程直 观化,使抽象的问题就得十分清晰和具体。有了这个流程图,再去设计程序就有了依据,从而就可以把整 个程序用机器语言表述出来,因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。 2、我们在学习这部分内容时,首先要弄清各种图形符号的意义,明确每个图形符号的使用环境,图 形符号间的联结方式。例如“起止框”只能出现在整个流程图的首尾,它表示程序的开始或结束,其他图 形符号也是如此, 它们都有各自的使用环境和作用, 这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。 另外,在我们描述算法或画程序框图时,必须遵循一定的逻辑结构,事实证明,无论如何复杂的问题,我 们在设计它们的算法时,只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了,因此我们必须 掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。 3、教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设想: 1、创设情境: 算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式 来表示它。 基本概念: (1)起止框图: 起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以一个完 整的流程图的首末两端必须是起止框。 (2)输入、输出框: 表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输入、输出 的位置。图 1-1 中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未知数的系数 a11,a12,a21,a22 和常数项 b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内,它实际上是把未知数 的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由判断分出的两个分支中,它们 表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出 D≠0 时未知数 x1,x2 的值,右边分支中的输 出框负责输出 D=0 时的结果,即输出无法求解信息。 (3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图 1-1 中出现了 两 个 处 理 框 。 第 一 个 处 理 框 的 作 用 是 计 算 D=a11a22-a21a12 的 值 , 第 二 个 处 理 框 的 作 用 是 计 算 x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D 的值。 9

(4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的具有两个 或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否” (也可用“Y”与“N” )两 个分支, 在图 1-1 中, 通过判断框对 D 的值进行判断, 若判断框中的式子是 D=0, 则说明 D=0 时由标有 “是” 的分支处理数据;若 D≠0,则由标有“否”的分支处理数据。例如,我们要打印 x 的绝对值,可以设计如 下框图。 开始

输入 x



x≥0?



打印 x

-打印 x

结束 从图中可以看到由判断框分出两个分支,构成一个选择性结构,其中选择的标准是“x≥0” ,若符合 这个条件,则按照“是”分支继续往下执行;若不符合这个条件,则按照“否”分支继续往下执行,这样 的话,打印出的结果总是 x 的绝对值。 在学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: (1)使用标准的图形符号。 (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 (3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的 惟一符号。 (4)判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类 是多分支判断,有几种不同的结果。 (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 2、典例剖析: 例 1:已知 x=4,y=2,画出计算 w=3x+4y 的值的程序框图。 解:程序框如下图所示:

开始

输入 4,2

4 和 2 分别是 x 和 y 的值

w=3×4+4×2

输出 w

结束 10

小结:此图的输入框旁边加了一个注释框 现在任何位置。 基础知识应用题

,它的作用是对框中的数据或内容进行说明,它可以出

1)顺序结构:顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺 序进行的。 例 2:已知一个三角形的三边分别为 2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出它的面积,并画出算法 的程序框图。 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入公式,最后输出结果,只用顺序结 构就能够表达出算法。 程序框图:

开始

p=(2+3+4)/2 s=√p(p-2)(p-3)(p-4)

输出 s 结束
2)条件结构:一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断,并 根据判断结果进行不同的处理。因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问题,这种结构叫做条件结构。 它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。 例 3:任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在,画 出这个算法的程序框图。 算法分析:判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在,只需要验收这 3 个数当中任意两个数 的和是否大于第 3 个数,这就需要用到条件结构。 程序框图:

开始

输入 a,b,c

a+b>c , a+c>b, b+c>a 是 否同时成立?





存在这样的三角形
11

不存在这样的三角形

结束

3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况, 这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1)一类是当型循环结构,如图 1-5(1)所示,它的功能是当给定的条件 P1 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P1 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条 件 P1 不成立为止,此时不再执行 A 框,从 b 离开循环结构。 (2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P2 是否成立, 如果 P2 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P2 成立为止,此时不再执行 A 框,从 b 点离 开循环结构。

A P1?

A

P2? 不成立 成立 b 当型循环结构 (1)

不成立

b 直到型循环结构 (2)

例 4:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图。 算法分析:只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为 0,计数变量的值可以从 1 到 100。 程序框图:

开始

i=1

Sum=0

i=i+1

Sum=sum+i
12

i≤100? 否 是

输出 sum 结束
3、课堂小结: 本节课主要讲述了程序框图的基本知识,包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构,算法的基本逻 辑结构有三种,即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构,也是最基本的结构, 循环结构必然包含条件结构,所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的,它们共同构成了算法的基本结构, 无论怎样复杂的逻辑结构,都可以通过这三种结构来表达 4、自我评价: 1)设 x 为为一个正整数,规定如下运算:若 x 为奇数,则求 3x+2;若 x 为偶数,则为 5x,写出算法,并画出程序 框图。 1 2 3 100 2)画出求 2 +2 +2 +?2 的值的程序框图。 5、评价标准: 1.解:算法如下。 S1 输入 x S2 若 x 为奇数,则输出 A=3x+2;否则输出 A=5x S3 算法结束。

程序框图如下图:

开始 i=1 p=0

p=pxi

i=i+1

i≤30? 否



输出 p

结束
2、 解:序框图如下图: 13

开始 i=1 p=0

p=p+2i

i=i+1

i≥100? 是



输出 p

结束

6、作业:课本 P11 习题 1.1 A 组 2、3

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1.2.1 输入、输出语句和赋值语句(第一课时)
教学目标:
知识与技能
(1)正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。 (2)会写一些简单的程序。 (3)掌握赋值语句中的“=”的作用。

过程与方法
(1)让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法;并能初步操作、模仿。 (2)通过对现实生活情境的探究,尝试设计出解决问题的程序,理解逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观
通过本节内容的学习,使我们认识到计算机与人们生活密切相关,增强计算机应用意识,提高 学生学习新知识的兴趣。

重点与难点
重点:正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。 难点:准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。

学法与教学用具
计算机、图形计算器

教学设想
【创设情境】 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具,如:听 MP3,看电影,玩 游戏,打字排版,画卡通画,处理数据等等,那么,计算机是怎样工作的呢? 计算机完成任何一项任务都需要算法,但是,我们用自然语言或程序框图描述的算法,计算机是 无法“看得懂,听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言(programming language)翻译成计算机程序。 程序设计语言有很多种。如 BASIC,Foxbase,C 语言,C++,J++,VB 等。为了实现算法中的 三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构,各种程序设计语言中都包含下列基本的算法 语句: 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句

这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天,我们先一起来学习输入、输出语句 和赋值语句。 (板出课题) 【探究新知】

我们知道,顺序结构是任何一个算法都离不开 输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的 (如右图)计算机从上而下按照语句排列的顺序执
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息, 能。如下面的例子: 用描点法作函数 y ? x ? 3x ? 24 x ? 30 的图象时, 需
3 2

语句 n

的基本结构。 顺序结构。 行这些语句。
输出结果的功 要求出自变量

语句 n+1

与函数的一组对应值。编写程序,分别计算当 x ? ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5 时的函数值。 程序:(教师可在课前准备好该程序,教学中直接调用运行) INPUT “x=”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT x

PRINT y END 15

(学生先不必深究该程序如何得来,只要求懂得上机操作,模仿编写程序,通过运行自己编写的程序 发现问题所在,进一步提高学生的模仿能力。 ) 〖提问〗 :在这个程序中,你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢?(同学们互相交流、议 论、猜想、概括出结论。提示: “input”和“print”的中文意思等) (一)输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是: INPUT “提示内容” ;变量 其中, “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时,依次输入-5, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得 的值执行下面的语句。 INPUT 语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为: INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? 例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成: INPUT “数学,语文,英语” ;a,b,c 注:①“提示内容”与变量之间必须用分号“; ”隔开。 ②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“, ”隔开。但最后的变量的后面不需要。 (二)输出语句 在该程序中,第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是: PRINT “提示内容” ;表达式 同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容” 。例如下面的语句可以输出斐波那契数列: PRINT “The Fibonacci Progression is:; ” 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?” 此时屏幕上显示: The Fibonacci Progression is:1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ? 输出语句的用途: (1)输出常量,变量的值和系统信息。 (2)输出数值计算的结果。 〖思考〗 :在 1.1.2 中程序框图中的输入框,输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达?(学生 讨论、交流想法,然后请学生作答) 参考答案: 输入框:INPUT “请输入需判断的整数 n=”;n 输出框:PRINT n; “是质数。 ” PRINT n; “不是质数。 ” (三)赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句,在该程序中第 2 行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是: 变量=表达式 赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量,使该 变量的值等于表达式的值。 16

注:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。 ②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 〖思考〗 :在 1.1.2 中程序框图中的输入框,哪些语句可以用赋值语句表达?并写出相应的赋值语句。 (学生思考讨论、交流想法。 ) 【例题精析】 〖例 1〗 :编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 分析:先写出算法,画出程序框图,再进行编程。 算法: 程序: 开始

输入 a,b,c

y?

a?b?c 3

INPUT “数学=”;a INPUT “语文=”;b INPUT “英语=”;c y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y

END
输出 y

结束 〖例 2〗 给一个变量重复赋值。 : 程序: A=10 A=A+10 PRINT A

END
[变式引申]:在此程序的基础上,设计一个程序,要求最后 A 的输出值是 30。 (该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解) 程序: A=10 A=A+15

PRINT A
A=A+5 PRINT A 〖例 3〗 交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值。 : 分析:引入一个中间变量 X,将 A 的值赋予 X,又将 B 的值赋予 A,再将 X 的值赋予 B,从而达到交 换 A,B 的值。 (比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶)

END

17

程序:

INPUT INPUT PRINT X=A A=B B=X PRINT

A B A,B

A,B

END
〖补例〗 编写一个程序,要求输入一个圆的半径,便能输出该圆的周长和面积。 ? 取 3.14) : ( 分析:设圆的半径为 R,则圆的周长为 C ? 2? R ,面积为 S ? ? R ,可以利用顺序结构中的 INPUT 语句,PRINT 语句和赋值语句设计程序。 程序:
2

INPUT “半径为 R=” ;R C=2*3.14*R S=3.14*R^2 PRINT “该圆的周长为:”;C PRINT “该圆的面积为:”;S 【课堂精练】

END

P15 练习 1. 2. 3 参考答案: 1.程序: INPUT “请输入华氏温度:;x ” y=(x-32)*5/9 PRINT “华氏温度:;x ” PRINT “摄氏温度:;y ” END 〖提问〗 :如果要求输入一个摄氏温度,输出其相应的华氏温度,又该如何设计程序?(学生 课后思考,讨论完成) 2. 程序: INPUT “请输入 a(a ? 0)=” ;a INPUT “请输入 b(b ? 0)=” ;b X=a+b Y=a-b Z=a*b Q=a/b PRINT a,b PRINT X,Y,Z,Q END 3. 程序: p=(2+3+4)/2 t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4) s=SQR(t) PRINT “该三角形的面积为:;s ” END 注:SQR()是函数名,用来求某个数的平方根。 【课堂小结】 本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句,输出 语句,赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题,特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。 编程一般的步骤:先写出算法,再进行编程。我们要养成良好的习惯,也有助于数学逻辑思维的形 成。 【评价设计】
18

1.P23 习题 1.2 A 组 1(2) 、2 2.试对生活中某个简单问题或是常见数学问题,利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提 出的问题。要求写出算法,画程序框图,并写出程序设计。

19

1.2.2-1.2.3 条件语句和循环语句(第 2、3 课时)
教学目标:
知识与技能
(1)正确理解条件语句和循环语句的概念,并掌握其结构的区别与联系。 (2)会应用条件语句和循环语句编写程序。

过程与方法 经历对现实生活情境的探究, 认识到应用计算机解决数学问题方便简捷, 促进发展 学生逻辑思维能力 情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用,在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到循环语句 在解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习,有益于我们养 成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。

重点与难点
重点:条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。 难点:会编写程序中的条件语句和循环语句。

学法与教学用具
计算机、图形计算器

教学设想
【创设情境】 试求自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 显然大家都能准确地口算出它的答案:5050。而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢? 而要编程,以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的物质需要” , 因此,还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种:条件语句和循环语句(板出课题) 【探究新知】 (一)条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格 式是: (IF-THEN-ELSE 格式)

IF 条件 THEN 语句 1

满足条件? 是 语句 1



ELSE
语句 2

语句 2

END IF 当计算机执行上述语句时,
首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句 1,否则执行 ELSE 后的 语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句: (即 IF-THEN 格式)

21

IF 条件 THEN 语句

是 满足条件? 否 语句

END IF

计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。其对应的程序框 图为: (如上右图) 条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何 处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同的处理。 【例题精析】 〖例 1〗 :编写程序,输入一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的系数,输出它的实数根。 分析:先把解决问题的思路用程序框图表示出来,然后再根据程序框图给出的算法步骤,逐步把算 法用对应的程序语句表达出来。 算法分析:我们知道,若判别式 ? ? b ? 4ac ? 0 ,原方程有两个不相等的实数根 x1 ?
2

?b ? ? 、 2a

x2 ?

?b ? ? b ;若 ? ? 0 ,原方程有两个相等的实数根 x1 ? x2 ? ? ; 若 ? ? 0 ,原方程没有实 2a 2a
INPUT “Please input a,b,c =”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a) q=SQR(ABS(d))/(2*a)

数根。也就是说,在求解方程之前, 需要首先判断判别式的符号。因此, 这个过程可以用算法中的条件结构 来实现。 又因为方程的两个根有相同的部 分, 为了避免重复计算, 可以在计算 x1 和 x2 之 前 , 先 计 算 p ? ?

b , 2a

IF
x1=p+q x2=p-q

d>=0

THEN

q?

? 2a

。 程序框图: (参照课本 P ) 17

程序:(如右图所示) 注:SQR()和 ABS()是两个 函数,分别用来求某个数的平方根和绝对 值。

IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1

x( x ? 0) ABS( x) ? - x( x ? 0).
〖例 2〗 编写程序, : 使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出。

?



SQR( x) ? x



ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2 END IF

算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个整数;为了节约变量,把它们重新排列后,仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c.具体操作步骤如下。 PRINT “No real root!” 第一步:输入 3 个整数 a,b,c. END IF 第二步:将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者赋给 a. 第三步:将 a 与 c 比较. 并把小者赋给 c,大者赋给 a,此时 END a 已是三者中最大的。 第四步:将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b,此时 a,b,c 已按从大到小的顺序排列好。 第五步:按顺序输出 a,b,c.

ELSE

22

程序框图: (参照课本 P ) 19 程序:(如右框图所示) INPUT “a,b,c =”;a,b,c IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t

〖补例〗 :铁路部门托运行李的收费方法如下: y 是收费额(单位:元) 是行李重量(单位:kg), ,x 当 0<x≤20 时, 0.35 元/kg 收费, x>20kg 时, 按 当 20kg 的部分按 0.35 元/kg,超出 20kg 的部分,则按 0.65 元/kg 收费,请根据上述收费方法编写程序。 分 析 : 首 先 由 题 意 得 :

x, x? y ? ? 0.35?20 ? 0.65( x ? 20), 0? 20.20, 0.35 x?

该函数

是个分段函数。需要对行李重量作出判断,因此, 这个过程可以用算法中的条件结构来实现。 程序: INPUT “请输入旅客行李的重量(kg)x=”;x IF x>0 AND x<=20 THEN y=0.35*x ELSE y=0.35*20+0.65*(x-20) END IF PRINT “该旅客行李托运费为:;y ” END 【课堂精练】 1. P20 练习 2.(题略)

END IF
PRINT a,b,c

END

分析:如果有两个或是两个以上的并列条件时,用“AND”把它们连接起来。 2. P20 练习 1.(题略) 参考答案: INPUT “请输入三个正数 a,b,c=”; a,b,c IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN PRINT “以下列三个数:”;a,b,c, “可以构成三角形。 ” ELSE PRINT “以下列三个数:”;a,b,c, “不可以构成三角形! ” END IF END (二)循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计 语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语 句。 (1)WHILE 语句的一般格式是:

WHILE 条件 循环体

循环体 满足条件? 否

WEND



其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算 机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直 到某一次条件不符合为止。 这时, 计算机将不执行循环体, 直接跳到 WEND 语句后, 接着执行 WEND 23

之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右 图) (2)UNTIL 语句的一般格式是:

DO 循环体

循环体 否

满足条件? 是 〖思考〗 :直到型循环又称为“后测试型”循环,参照其直到型循环结构对应的程序框图,说说计算 机是按怎样的顺序执行 UNTIL 语句的?(让学生模仿执行 WHILE 语句的表述) 从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判 断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到 某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环 体后进行条件判断的循环语句。 〖提问〗 :通过对照,大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢?(让学生表达自 己的感受) 区别:在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,而在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时 执行循环体。 【例题精析】 〖例 3〗 :编写程序,计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 分析:这是一个累加问题。我们可以用 WHILE 型语句,也可以用 UNTIL 型语句。由此看来,解决问 题的方法不是惟一的,当然程序的设计也是有多种的,只是程序简单与复杂的问题。 程序: WHILE 型: UNTIL 型:

LOOP UNTIL 条件 (如上右图) 其对应的程序结构框图为:

i=1 sum=0 WHLIE i<=100

i=1 sum=0 DO
sum=sum+i i=i+1 LOOP UNTIL i>100 PRINT sum 根据 1.1.2 中 程序框图转化

sum=sum+i 〖例 4〗 : i=i+1 的图 1.1-2,将 WEND 为程序语句。 END 分析:仔细观察,该程序框图中既有条件结构,又有循环结构。 PRINT sum 程序:

END

24

〖思考〗 上述判定质数的算法是否还能有所改 : 进?(让学生课后思考。 ) 〖补例〗 :某纺织厂 1997 年的生产总值为 300 万元,如果年生产增产率为 5﹪,计 算最早在哪一年生产总值超过 400 万 元。 分析:从 1997 年底开始,经过 x 年后生产总 x 值为 300×(1+5﹪) ,可将 1997 年生 产总值赋给变量 a,然后对其进行累乘, 用 n 作为计数变量进行循环,直到 a 的 值超过 400 万元为止。

INPUT “n=”;n flag=1 IF n>2 THEN d=2 WHILE d<=n-1 AND flag=1 IF n MOD d=0 THEN flag=0 ELSE d=d+1 END IF WEND ELSE IF flag=1 THEN PRINT n; “是质数。 ” ELSE PRINT n; “不是质数。 ” END IF END IF END

解: 程 程序:
开始











a=300
a=300,p=1.05,n=1997

p=1.05
a>400?
否 是

n=1997

DO
输出 n a=a*p n=n+1 LOOP UNTIL a>400 PRINT n

a=a*p 【课堂精练】 1. P23 结束

n=n+1 练习 2. 3(题略)

END

参考答案: 2.解:程序: X=1 WHILE X<=20 Y=X^2-3*X+5 X=X+1 PRINT “Y=”;Y WEND END 3.解:程序: INPUT “请输入正整数 n=”;n a=1 i=1 WHILE i<=n a=a*i i=i+1 WEND PRINT “n!=” ;a END 25

【课堂小结】 本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法,并懂得利用解决一些简 单问题。条件语句使程序执行产生的分支,根据不同的条件执行不同的路线,使复杂问题简单化。 有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接,可以从循环体内转到循环体外,但 不允许从循环体外转入循环体内。 条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,如判断一个数的正负,确定两个数的大 小等问题,还有求分段函数的函数值等,往往要用条件语句,有时甚至要用到条件语句的嵌套。 循环语句主要用来实现算法中的循环结构, 在处理一些需要反复执行的运算任务。 如累加求和, 累乘求积等问题中常用到。 【评价设计】 1. 习题 1.2 B 组 2. 2.试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题,并利用所学基本算法语句等知识编程。 (要求所设计问题利用条件语句或循环语句)

P23 P24

习题 1.2

A 组 3、4

26

1.3 算法案例 第 1、2 课时 辗转相除法与更相减损术
(1)教学目标 (a)知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 (b)过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法,比较它 们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算机处理的结合方式,初步掌握 把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 (c)情态与价值 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力,在利用算法解决数学问 题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 (2)教学重难点 重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 (3)学法与教学用具 学法:在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律,并能模仿已经学过 的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求出 18 与 30 的公约数吗? 2.接着教师进一步提出问题,我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数,如果公约数比较大而且 根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们的最大公约数?比如求 8251 与 6105 的最 大公约数?这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 (二)研探新知 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 (分析:8251 与 6105 两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根据已有的 知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105×1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数,所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前 300 年 左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一 个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和一 个余数 r2; ?? 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数。 27

练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数(答案:53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以少减多,更相 减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为: 第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操 作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98 与 63 的最大公约数是 7。 练习:用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。 (答案:12) 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数 与差相等而得到 4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法,我们可以设计出程序框图以及 BSAIC 程序来在计算机上实 现辗转相除法与更相减损术求最大公约数,下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确 性,并在计算机上验证自己的结果。 (1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图:

28

开始

输入两个正 整数m,n

m>n? 否 是 x=n n=m m=x

r=m MOD n

n=r

m=n r=0? 否



输出n

结束

程序: INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 5.课堂练习 一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数,并在自己编写的 BASIC 程序中验证。 (1)225;135 (2)98;196 (3)72;168 (4)153;119 二.思考:用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数?可否利用求质因数的算法设计出程序 框图及程序?若能,在电脑上测试自己的程序;若不能说明无法实现的理由。 三。思考:利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数?试设计程序框图并转换成程序在 BASIC 中 实现。 29

6.小结: 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 (5)评价设计 作业:P38 A(1)B(2) 补充:设计更相减损术求最大公约数的程序框图

30

第 3、4 课时

秦九韶算法与排序

(1)教学目标 (a)知识与技能 1.了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序,进而能设计冒泡排序法的程 序框图及程序,理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数学的辅助作用。 (b)过程与方法 模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的 步骤,了解数学计算转换为计算机计算的途径,从而探究计算机算法与数学算法的区别,体会计算机对数 学学习的辅助作用。 (c)情态与价值 通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认识到我国文化历史的悠久。通 过对排序法的学习,领会数学计算与计算机计算的区别,充分认识信息技术对数学的促进。 (2)教学重难点 重点:1.秦九韶算法的特点 2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 难点:1.秦九韶算法的先进性理解 2.排序法的计算机程序设计 (3)学法与教学用具 学法:1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变,体会科学的计算。 2.模仿排序法中数字排序的步骤, 理解计算机计算的一般步骤, 领会数学计算在计算机上实施的要求。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 (一)创设情景,揭示课题 我们已经学过了多项式的计算,下面我们计算一下多项式

f ( x) ? x 5 ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 当 x ? 5 时的值,并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算,5 次加法运算。 我们把多项式变形为: f ( x) ? x (1 ? x(1 ? x(1 ? x))) ? x ? 1 再统计一下计算当 x ? 5 时的值时需要的 计算次数,可以得出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果。显然少了 6 次乘法运算。这种算法就叫 秦九韶算法。 (二)研探新知 1.秦九韶计算多项式的方法
2

f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? a n ? 2 x n ? 2 ? ? ? a1 x ? a 0 ? (a n x n ?1 ? a n ?1 x n ? 2 ? a n ? 2 x n ?3 ? ? ? a1 ) x ? a 0 ? (( a n x n ? 2 ? a n ?1 x n ?3 ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a 0 ? ?? ? (? (( a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a1 ) ? a 0
例 1 已知一个 5 次多项式为 f ( x) ? 5 x ? 2 x ? 3.5 x ? 2.6 x ? 1.7 x ? 0.8
5 4 3 2

用秦九韶算法求这个多项式当 x ? 5 时的值。 解:略 思考: (1)例 1 计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (2)在利用秦九韶算法计算 n 次多项式当 x ? x0 时需要多少次乘法计算和多少次加法计算? 练习:利用秦九韶算法计算 f ( x) ? 0.83 x ? 0.41x ? 0.16 x ? 0.33 x ? 0.5 x ? 1
5 4 3 2

当 x ? 5 时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算? 例 2 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式

f ( x) ? a5 x 5 ? a 4 x 4 ? a3 x 3 ? a 2 x 2 ? a1 x ? a0 当 x ? x0 时的值的程序框图。
解:程序框图如下: 31

开始

输入

f(x)的系数: a1,a2,a3,a4,a5
输入

x0

n=1

v=a5
n=n+1

v=v x0+a5-n
n≤5 是

否 输出v

结束

练习:利用程序框图试编写 BASIC 程序并在计算机上测试自己的程序。 2.排序 在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数 据进行排序的呢? 阅读课本 P30—P31 面的内容,回答下面的问题: (1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别? (2)冒泡法排序中对 5 个数字进行排序最多需要多少趟? (3)在冒泡法排序对 5 个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次? 游戏:5 位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对 5 个数据 4,11,7,9,6 排序的过程,让学生 通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例 3 的问题. 例 3 用冒泡排序法对数据 7,5,3,9,1 从小到大进行排序 解:P32 练习:写出用冒泡排序法对 5 个数据 4,11,7,9,6 排序的过程中每一趟排序的结果. 例 4 设计冒泡排序法对 5 个数据进行排序的程序框图. 解: 程序框图如下:

32

开始

输入

a1,a2,a3,a4,a5

r=1

i=1

ai>ai+1




x=ai ai=ai+1 ai+1=x

i=i+1

r=r+1

否 i=5



否 r=5



输出

a1,a2,a3,a4,a5

结束

思考:直接排序法的程序框图如何设计?可否把上述程序框图转化为程序? 练习:用直接排序法对例 3 中的数据从小到大排序 3.小结: (1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计 (2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法 (3)冒泡法排序的计算机程序框图设计 (5)评价设计 作业:P38 A(2) (3) 补充:设计程序框图对上述两组数进行排序

33

第 5 课时

进位制

(1)教学目标 (a)知识与技能 了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之 间的转换。 (b)过程与方法 学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除 k 去余法,并理解其中 的数学规律。 (c)情态与价值 领悟十进制,二进制的特点,了解计算机的电路与二进制的联系,进一步认识到计算机与数学的联系。 (2)教学重难点 重点:各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 难点:除 k 去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计 (3)学法与教学用具 学法:在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系,熟悉各种进位 制表示数的方法,从而理解十进制转换为各种进位制的除 k 去余法。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 (一)创设情景,揭示课题 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单 位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢? (二)研探新知 进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进 行记数。 对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001, 也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化 例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 5 4 3 4 2 1 0 解:110011=1*2 +1*2 +0*2 +1*2 +0*2 +1*2 +1*2 =32+16+2+1 =51 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 6 5 4 3 2 1 0 =1*2 +0*2 +1*2 +1*2 +0*2 +0*2 +1*2 =1011001(2) 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示:

35

2 2 2 2 2 2

89 44 22 11 5 2 2 1 0

余数 1 0 0 1 1 0 1

把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2) 上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 3 当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如 2*10 表示千 位数字是 2,所以可以直接求出各位数字.即把 89 转换为二进制数时,直接观察得出 89 与 64 最接近故 89=64*1+25 同理:25=16*1+9 9=8*!+1 6 4 3 0 即 89=64*1+16*1+8*!+1=1*2 +1*2 +1*2 +1*2 位数 6 5 4 3 2 1 0 数字 1 0 1 1 0 0 1 即 89=1011001(2) 练习:(1)把 73 转换为二进制数 (2)利用除 k 取余法把 89 转换为 5 进制数 把 k 进制数 a(共有 n 位)转换为十进制数 b 的过程可以利用计算机程序来实现,语句为: INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=b+t*k^(i-1) i=i+1 WEND PRINT b END 练习:(1)请根据上述程序画出程序框图. 参考程序框图:

36

开始

输入a,k,n

i=1

b=0

t=GET a[i]

i=i+1 b=b+t*k^(i-1)

是 i<=n



输出b

结束

(2)设计一个算法,实现把 k 进制数 a(共有 n 位)转换为十进制数 b 的过程的程序中的 GET 函数的功能,输入 一个正 5 位数,取出它的各位数字,并输出.

小结: (1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序 (5)评价设计 作业:P38 A(4) 补充:设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进制数.

37

算法初步 复习课
(1)教学目标 (a)知识与技能 1.明确算法的含义,熟悉算法的三种基本结构:顺序、条件和循环,以及基本的算法语句。 2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。 (b)过程与方法 在复习旧知识的过程中把知识系统化,通过模仿、操作、探索,经历设计程序框图表达解决问题的过 程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。 (c)情态与价值 算法内容反映了时代的特点,同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征, 取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力,算法进入中 学数学课程,既反映了时代的要求,也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴,也就成为了中国数 学课程的一个新的特色。 (2)教学重难点 重点:算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计 难点:与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写 (3)学法与教学用具 学法:利用实例让学生体会基本的算法思想,提高逻辑思维能力,对比信息技术课程中的程序语言的 学习和程序设计,了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用,引导学生体会算法的核心是一般 意义上的解决问题策略的具体化。 面临一个问题时, 在分析、 思考后获得了解决它的基本思路 (解题策略) , 将这种思路具体化、条理化,用适当的方式表达出来(画出程序框图,转化为程序语句) 。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 一.本章的知识结构
程 序 框 图 算法 算 法 语 句 排序 进位制 辗转相除法与更相减损术

秦九韶算法

二.知识梳理 (1)四种基本的程序框

39

终端框(起止框)

输入.输出框

处理框

判断框

(2)三种基本逻辑结构

顺序结构 (3)基本算法语句 (一)输入语句

条件结构

循环结构

单个变量
INPUT “提示内容” ;变量

多个变量
INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? (二)输出语句 PRINT “提示内容” ;表达式 40

(三)赋值语句 变量=表达式 (四)条件语句 IF-THEN-ELSE 格式

IF 条件 THEN 语句 1

满足条件? 是 语句 1



ELSE
语句 2

语句 2

END IF 当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的 语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) IF-THEN 格式
IF 条件 THEN 语句 是 满足条件? 否 语句

END IF

计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。其对应的程序框 图为: (如上右图) (五)循环语句 (1)WHILE 语句

WHILE 条件 循环体

循环体 满足条件? 否

WEND



其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循 环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的 循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件 不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因 此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) (2)UNTIL 语句

41

DO 循环体

循环体 否 满足条件? 是

LOOP UNTIL 条件
其对应的程序结构框图为: (如上右图)

(4)算法案例 案例 1 辗转相除法与更相减损术 案例 2 秦九韶算法 案例 3 排序法:直接插入排序法与冒泡排序法 案例 4 进位制 三.典型例题 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 解:INPUT “n=”;n i=1 sum=0 WHILE i<=n sum=sum+i i=i+1 WEND PRINT sum END 思考:在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式的循环语句,能不能使用 UNTIL 循环? 例 2 设计一个程序框图对数字 3,1,6,9,8 进行排序(利用冒泡排序法)

开始

输入

a1,a2,a3,a4,a5

r=1

i=1

ai>ai+1




x=ai ai=ai+1 ai+1=x

i=i+1

r=r+1

否 i=5



否 r=5



输出

a1,a2,a3,a4,a5

结束

42

思考:上述程序框图中哪些是顺序结构?哪些是条件结构?哪些是循环结构? 例 3 把十进制数 53 转化为二进制数. 5 4 3 2 1 0 解:53=1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 =110101(2) 例 4 利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。 解:6497=3869×1+2628 3869=2628×1+1241 2628=1241*2+146 1241=146×8+73 146=73×2+0 所以 3869 与 6497 的最大公约数为 73 最小公倍数为 3869×6497/73=344341 思考:上述计算方法能否设计为程序框图? 练习:P40 A(3) (4) (5)评价设计 作业:P40 A(5)(6)

43

第二章 统计初步
2.1.1 简单随机抽样
教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤; 2、过程与方法: (1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; (2)在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。 3、情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界及 各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。 4、重点与难点:正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用相关 知识从总体中抽取样本。 教学设想: 假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备 怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。 (为什么?)那么,应当怎样获取样本呢? 【探究新知】 一、简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本, 叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 思 考 ? 下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本。 (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一 个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。 二、抽签法和随机数法 1、抽签法的定义。 一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌 均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本。 【说明】抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 45

思考? 你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 2、随机数法的定义: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅介绍随机数表 法。 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛 奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的 步骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘取了附 表 1 的第 6 行至第 10 行) 。 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它 去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出, 这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 【说明】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)在随机数表中选择开始数字。 (3)读数获取样本号码。 【例题精析】 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来 说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张,其他 各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样。 例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下测 量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法。 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测量这个 10 个号签对应 的轴的直径。 46

解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起始位置,如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,这 10 件即为所要抽取的 样本。 【课堂练习】P 【课堂小结】 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法:放回和 不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。 2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的 签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时,仍然 不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一定要将每个个体入样的可能 性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开业,避免在解 题中出现错误。 【评价设计】 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是 A.总体是 240 C、样本是 40 名学生 长度是 A、总体 C、总体的一个样本 定个体被抽到的可能性是 是 。 。 ( ) B、个体是每一个学生 D、样本容量 B、个体是每一个学生 D、样本容量是 40

2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的

3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则某一特 4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽到的均为女生的可能性

47

2.1.2 系统抽样
教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论的 数学方法, 3、情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的联 系。 4、重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 教学设想: 【创设情境】 :某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名 进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? 【探究新知】 一、系统抽样的定义: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先 制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。 【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等 距抽样,这时间隔一般为 k=[
N n

].

(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上 加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 思考? (1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( )

A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到 大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品 检验 C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为 止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 点拨:(2)c 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率 入样。 49

二、系统抽样的一般步骤。 (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 (2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K,再加 上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 【说明】从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把 复杂问题简单化,体现了数学转化思想。 【例题精析】 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况,要按 1: 5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。 [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号。 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人, 第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是编号为 291~ 295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 k(1≤k≤ 5),那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号 为 3,8,13,??,288,293。 例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若采 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32

[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故选 B。 【课堂练习】P49 【课堂小结】 1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应采用等可能剔除的方剔除 部分个体,以获得整数间隔 k。 【评价设计】 1 、 从 2005 个 编 号 中 抽 取 20 个 号 码 入 样 , 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 , 则 抽 样 的 间 隔 为 ( ) 50
N

练习 1. 2. 3

A.99 C.100

B、99,5 D、100,5

2、从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法, 则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 ( )

B、5,16,27,38,49 D、4,13,22,31,40

3、采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个体人样的可能 性为 A.8 C.8.5 ( B.8,3 D.9 )

4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有 关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是 抽样方法。

5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单位的路上平均所用的时间,决定抽 取 10%的工作调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样?

51

2.1.3
教学目标:

分层抽样

1、知识与技能: (1)正确理解分层抽样的概念; (2)掌握分层抽样的一般步骤; (3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当正确的方法进行抽样。 2、过程与方法:通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法。 3、情感态度与价值观:通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计 与“精确”性的矛盾统一,培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。 4、重点与难点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三种抽样方 法解决现实生活中的抽样问题。 教学设想: 【创设情景】 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地 教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的 小学生中抽取 1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 【探究新知】 一、分层抽样的定义。 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数 量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。 【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、 不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每 层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 二、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。 探究交流 (1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个体构成样本,所 以 分 层 抽 样 为 保 证 每 个 个 体 等 可 能 入 样 , 必 须 进 行 ( ) A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等可能抽样 (2)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本,那么每个个体被抽到的可能性为 ( ) 1 n n 1 A. N B. n C. N D. N 点拨: (1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽 共同的特征,为了保证这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故此选 C。 (2)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量 比,故此题选 C。 知识点 2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 53

类 别 简 单 随 机 抽 样 系 统 抽 样 分 层 抽 样

共同点 (1)抽样过程中每个 个体被抽到的可 能性相等 (2)每次抽出个体后 不再将它放回, 即 不放回抽样

各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部 分,按预先制定的规则 在各部分抽取





适 用 范 围 总体个 数较少 总体个 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

在起始部分 样时采用简 随机抽样 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样

将总体分成几层, 分层进行抽取

【例选精析】 例1、 某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样 抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 [分析]因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分。设三部分各抽取的个体数分 别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15,10, 20,故选 D。 例 2:一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样 的方法?并写出具体过程。 [分析]采用分层抽样的方法。 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的 方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。 300×3/15=60(人) ,300×2/15=100(人) ,300×2/15=40(人) ,300×2/15=60(人) ,因此各乡镇抽 取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。 (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。 【课堂练习】P52 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: (1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面层 之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此 分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 【评论设计】 1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情况,需从他们中抽取 一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样 2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型 血的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血应抽取的 人数为 人,A 型血应抽取的人数为 人,B 型血应抽取的人数为 人,AB 型血 应抽取的人数为 人。 54

3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人,每个学生被抽 到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 。 4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了如下 资料: 任职年限 5 年以下 5 年至 10 年 10 年以上 300 500 200 人数 试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。

55

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时)
教学目标:
知识与技能
(1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 (3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法 分析样本的分布,准确地做出总体估计。

过程与方法
通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结合的数学思想和逻 辑推理的数学方法。

情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到数学知识源于生活 并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。

重点与难点
重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。

教学设想
【创设情境】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定?
如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布(板出 课题) 。

【探究新知】 〖探究〗 55 :P 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划 在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价 收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比 较合理呢 ?你认为,为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量 在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式,通过分析样本 数据来估计全市居民用水量的分布情况。 (如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可 以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形 式,为我们提供解释数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度, 来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。 〈一〉频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样 本的频率分布。其一般步骤为: 一, 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 二, 决定组距与组数 三, 将数据分组 四, 列频率分布表 五, 画频率分布直方图 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例,经过以上几个步骤画出频率分布直方图。 (让学生自 己动手作图) 频率分布直方图的特征: (1) 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 57

(2) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数 据信息就被抹掉了。 〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同。不同的 形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新 作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织 同学们对所作图不同的看法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题: 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分布表 2-2 和频率 分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量标准提出建议吗?(让学生仔细观察表和 图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 2.总体密度曲线的定义: 在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光 滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更 加精细的信息。 (见课本 P60) 〖思考〗 : 1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2.对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上, 尽管有些总体密度曲线是饿、 客观存在的, 但一般很难想函数图象那样准确地画出来, 我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个 位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通 常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) 2.茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可 以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据 虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 【例题精析】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高 (单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 (1)列出样本
频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 58 0.09 0.05 0.04 1

(2)其频率分布直方图如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 (3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身 高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. o 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高(cm)

59

〖例 2〗为了了解高一学生的体能情况, : 频率/组距 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次 测试,将所得数据整理后,画出频率分布 0.036 直方图(如图),图中从左到右各小长方形 0.032 面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小 0.028 组频数为 12. ①、 第二小组的频率是多少?样本容 0.024 量是多少? 0.020 ②、 若次数在 110 以上(含 110 次) 为达标, 试估计该学校全体高一学生的 0.016 达标率是多少? 0.012 ③、 在这次测试中,学生跳绳次数的 中位数落在哪个小组内?请说明理由。 0.008 分析:在频率分布直方图中,各小长方形 0.004 的面积等于相应各组的频率,小长方形的 高与频数成正比,各组频数之和等于样本 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 容量,频率之和等于 1。 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3 第二小组频数 又因为频率= 样本容量 第二小组频数 12 样本容量 ? ? ? 150 所以 第二小组频率 0.08 17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前四组的频 数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 【课堂精练】

P61 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 一. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的 频率分布去估计总体的分布。 二. 总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总体中 的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频 率分布表或频率分布直方图。 【评价设计】
1.P72 习题 2.2 A 组 1、 2

60

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时)
教学目标:
知识与技能
(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。 (2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标 准差) ,并做出合理的解释。 (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

过程与方法
在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和 逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能 够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

重点与难点
重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。

教学设想
【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对 总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。

【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 62 :P (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知识,思 考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供 关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据 的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见课本第 62 页) 它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有 告诉我们到底多多少。 〖提问〗 :请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的定 义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是由样本数 据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。 〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数。因此, 在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。 (图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原因吗?(原 因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) (课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少数居民 的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏 感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 61

1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某 地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好, 身高较高。 但是, 假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话, 那么, 这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加正式 比赛? 我们知道, x甲

? 7,

x乙 ? 7 。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察P66图2.2-8) 直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考 察这两组数据。 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ? , xn 的标准差的算法: (1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,? n) (3) 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1, 2,? n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

显然,标准差较大,

数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出: s ? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等于样 本平均数。 (在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。 ) 2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量样本数据分 散程度的工具:
2

s2 ?

在刻画样本数据 的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差。 【例题精析】 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一 组数据的标准差。 解: (图略,可查阅课本P68) 62

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。 他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。 〖例 2〗(见课本P69) : 分析: 比较两个人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准 差的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较 这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个总体之间的差异的估计值。 【课堂精练】

P71 练习 1. 2. 3 4 【课堂小结】 三. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: 1. 用样本平均数估计总体平均数。 2. 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 四. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 五. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 【评价设计】
1.P72 习题 2.2 A 组 3、 4、10

63

第三章 概率
3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的 意义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区 别与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现 规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中的“掷币”“游戏的公平性”、 , ,“彩 票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观: (1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实世界 的联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)教学难点:用 概率的知识解释现实生活中的具体问题. 三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件:必然事 件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生 的规律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么时间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等。 2、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机 n

事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA , n

它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 3、例题分析: 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 65

答:根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3) 、 、 、 、 、 (5)(7)(8)是随机事件. 、 、 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 10 20 50 100 200 500 射击次数 n 8 19 44 92 178 455 击中靶心次数 m 击中靶心的频率

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn(A)稳定 在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 5544 9607 13520 17190 新生婴儿数 2883 4970 6994 8892 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2)由表中的已知数据及公式 fn(A)=

nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数 0.518 上,所 n

以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环,有 1 次未 中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 4 如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解释。 1000

分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结 果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每 张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中 奖。 例 5 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球权的概率 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何一名运动员猜 中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 4、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解 现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界, 主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 66

B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。

每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率

2 2

5 4

10 9

70 60

130 116

700 282

1500 639

2000 1339

3000 2715

(1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。

投篮次数 进球次数 m 进球频率
m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下,天气 预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 6、评价标准: 1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1 ,0.8,0.9,0 .857,0. 892,0. 910,0.9 13,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。 4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近 0.80, 因此,进球的概率约为 0.80。 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率,我 们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说明“昨天的降 水概率为 90%”的天气预报是错误的。 7、作业:根据情况安排

67

3.1.3 概率的基本性质(第三课时)
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概 念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳的数 学思想。 3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界 的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。 二、重点与难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 三、学法与教学用具:1、讨论法,师生共同讨论,从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识;2、教 学用具:投灯片 四、教学设想: 1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С{2,3,4,5}等; (2) 在掷骰子试验中, 可以定义许多事件如: 1={出现 1 点}, 2={出现 2 点}, 3={出现 1 点或 2 点}, 4={出 C C C C 现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析: 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时 发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至少一个发生). ,B 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为 “出现奇数点” B 为 , “出现偶数点” 已知 P(A)= ,

1 1 , P(B)= , 2 2

求出“出现奇数点或偶数点” . 分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加法公式求解. 解: “出现奇数点或偶数点” 记 为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、 是互斥事件, B 所以 P(C)=P(A)+ P(B)= 答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率是 块(事件 B)的概率是

1 1 + =1 2 2

1 ,取到方 4

1 ,问: 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件 C 与 事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解: (1)P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 (2)P(D)=1—P(C)= 2 2
69

例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 球或黄球的概率是

1 ,得到黑 3

5 5 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是 12 12

多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为 A、B、C、D,则有 、 、 、

1 5 5 2 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= ; P(B ∪ C ∪ D)=1-P(A)=1= ,解的 3 12 12 3 1 1 1 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 6 4 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4
P(B ∪ C)=P(B)+P(C)= 4、课堂小结:概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2)当事 件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然 事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B);3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互 斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且 事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不 发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 5、自我评价与课堂练习: 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事 件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= =

1 ,P(B) 2

1 ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。 6

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手 在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 4. 已知盒子中有散落的棋子 15 粒, 其中 6 粒是黑子, 粒是白子, 9 已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是 从中取出 2 粒都是白子的概率是

1 , 7

12 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是多少? 35

6、评价标准: 1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1)恰好有 1 件次品和 恰好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对 立事件,同理可以判断: (2)中的 2 个事件不是互斥事件,也不是对立事件。 (3)中的 2 个事件既是互斥 事件也是对立事件。 2.解: “出现奇数点”的概率是事件 A, “出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点”的概率之和 为 P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 + = 2 6 3

3.解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和,即为 0.21+0.23=0.44。 (2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件,所以射中少于 7 70

环的概率为 1-0.97=0.03。 4.解:从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的概率的和,即为

1 12 17 + = 7 35 35
7、作业:根据情况安排

71

3.2 古典概型(第四、五课时) 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2) 每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

(3)了解随机数的概念; (4)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。 2、过程与方法: (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数 学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉 养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:1、正确理解掌握古典概型及其概率公式;2、正确理解随机数的概念,并能应用计算机 产生随机数. 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数字解 决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学设想: 1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” ,它们都是随 机事件。 (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种不同的 结果,即标号为 1,2,3?,10。 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本 P121~126; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

3、例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点)(出现 2 点)??、 、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

m 3 1 = = =0.5 n 6 2

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两 次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2) 和, 1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(b1,a1)(b2,a2) (a , , , , 。其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)] , , , 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; 73

(2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 3 3 10×10×10=10 种; 设事件 A 为 “连续 3 次都取正品” 则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种, , 因此, P(A)=

83 =0.512. 10 3
(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都 是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467.

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z)(x,z,y)(y,x,z)(y,z,x)(z,x,y)(z,y,x) , , , , , ,是相同的,所以 试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因 此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果 是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。 解:具体操作如下: 键入 PRB

RAND RANDI
STAT DEC

ENTER

RANDI(1,100) STAT DEG

ENTER

RAND (1,100) 3.

STAT DEC 反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应用。 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次 投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式 计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%。 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随 机数。 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中的概率是 40%。 因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两次投中, 它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似


5 =25%。 20

小结: (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题。 (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做 74

随机模拟试验可以大大节省时间。 (3)随机函数 RANDBETWEEN(a,b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。 例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 解: (1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任何一个数的可能 性是相同的。 (2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法。Scilab 中用 rand()函数来 产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一个随机数,如果要产生 a~b 之间的随机数, 可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到. 4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

(3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重 复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。 5、自我评价与课堂练习: 1. 40 根纤维中, 12 根的长度超过 30mm, 在 有 从中任取一根, 取到长度超过 30mm 的纤维的概率是 ( ) A.

30 40 1 5

B.

12 40 1 4

C.

12 30
C.

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 A. B.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红 球的概率是 。 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。 6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。 6、评价标准: 1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们是等可能发生的, 所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此选 B.] 40

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订(记为事件 A)包 含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = .(方法 2)本题还可以用对立事件的概率公式求解, 10 5

因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,因 此,P(A)=1-P(B)=1- 3.

2 4 = .] 10 5

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 1,红 2)(红 , 10
10 个,其中至少有一个红球的事件包括 7 个基本事

, (红 1,白 3)(红 2,白 3) , ,共 1,白 1)(红 1,白 2)

7 件,所以,所求事件的概率为 .本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至 10
少”等事件的概率头问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率 P(A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求 解]。 4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,?,6 点 6 种不同的结果,我们把两颗骰 子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两颗骰子的结果共有 6×6=36 种,在 上面的所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)5 种,所 , , , , 以,所求事件的概率为

5 . 36
75

5.解:具体操作如下 键入 PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG
PANDI(1,20)
3.

ENTER

ENTER 反复按 ENTER

键 10 次即可得到。

STAT DEG

76

6.解:具体操作如下: 键入 PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(0,1) STAT DEG
PANDI(0,1)
0

ENTER

ENTER

STAT DEG

7、作业:根据情况安排

77

3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决 问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决 问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点: 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思 想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是 不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的 任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结果 都是无限多个。 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现 的可能性相等. 1、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区 域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验 中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概率可以用阴影部 分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟 的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时 刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率. 因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站 等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 79

解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段 内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)=

60 ? 50 1 1 = ,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 60 6 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等可能的,我们 称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油 层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域 面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的种子中含有麦 诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的区域,1 升种子 可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到 都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数,其中取得 的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的 [1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N N1 即为概率 P(A) N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转动圆盘记下指针 在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)=

的近似值. 小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法 1 用计算机 产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M,求使得 AM 的 长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. 80

(3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N
N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间}, P 则 (A) 的近似值为 fn(A)=

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适 用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而 来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数 )有 关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 ( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何 一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主 机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一个正方 形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域 A 内的芝麻数与落在 正方形中的芝麻数。 6、评价标准: 1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体 积与总体积之比

2 =0.004) 500

81

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了 确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM, 垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围 就是[o,a],只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事 件 A 的概率就是 P(A)=

M 2a r o
1050

(r , a]的长度 a ? r = [0, a]的长度 a

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的 步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表

试 验 50 次数 1 出现 的频 数 1 出现 的频 率

100

150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000

(4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标。如果一个点 (x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列相应地就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 ? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393
7、作业:根据情况安排

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 ? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695

计数 0 1 0 1 1 1 ? 0 1 1 0

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