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2015高考试题――立体几何

时间:2016-01-21


2015 高考试题――立体几何
1.【2015 高考安徽,理 5】已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列 命题正确的是( ) (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由 A ,若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? , ? 可以相交、平行,故 A 不正确;由

B ,若 m , n 平行于同一平面,则 m , n 可以平行、重合、相交、异面,故 B 不正
确;由 C ,若 ? , ? 不平行,但 ? 平面内会存在平行于 ? 的直线,如 ? 平面中平行 于 ? , ? 交线的直线;由 D 项,其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m ,

n 平行”是真命题,故 D 项正确.所以选 D.
【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其 是画长方体) 、现实实物判断法(如墙角、桌面等) 、排除筛选法等;另外,若原命题 不太容易判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否 命题等价. 2.【2015 高考北京,理 4】设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m ∥ ? ”是 “ ? ∥ ? ”的( ) B.必要而不充分条

A.充分而不必要条件 件 C.充分必要条件 要条件 【答案】B

D.既不充分也不必

【解析】因为 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .若“ m ∥ ? ”,则平面 ? 、? 可能相交也可能平行,不能推出 ? //? ,反过来若 ? //? , m ? “ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的必要而不充分条件. 考点定位:本题考点为空间直线与平面的位置关系,重点考察线面、面面平行问题和充要 条件的有关知识. 【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件,本题属于基础题,本题以 空间线、面位置关系为载体,考查充要条件.考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、 面的位置关系的理解及空间想象能力,重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质. 3.【2015 高考新课标 1,理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有 如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米 堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米 的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

? ,则有 m ∥ ? ,则

(A)14 斛 【答案】B

(B)22 斛

(C)36 斛

(D)66 斛

【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式 【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料,试题背景新颖,解答本题的关键应想 到米堆是

1 1 圆锥,底面周长是两个底面半径与 圆的和,根据题中的条件列出关于底面半 4 4

径的方程,解出底面半径,是基础题. 4.【2015 高考陕西,理 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

【答案】D 【解析】由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为 1 ,母线长为 2 ,所以 该几何体的表面积是

1 ? 2? ?1? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故选 D. 2

【考点定位】1、三视图;2、空间几何体的表面积. 【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积,属于容易题.解题时要看 清楚是求表面积还是求体积,否则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构 特征,再计算出几何体各个面的面积即可. 5.【2015 高考新课标 1,理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个 几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? , 则 r=( )

(A)1 【答案】B

(B)2

(C)4

(D)8

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的 半径都为 r,圆柱的高为 2r,其表面积为 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 【考点定位】简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别,是常规提,对简单组合体三三视图问 题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状,再根据“长 对正,宽相等,高平齐”的法则组合体中的各个量.

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 2

6.【2015 高考重庆,理 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A、 C、

1 ?? 3 1 ? 2? 3

B、

2 ?? 3 2 ? 2? 3

D、

【答案】A 【 解 析 】 这 是 一 个 三 棱 锥 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体 ,

1 1 1 1 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ( ??1? 2) ? 1 ? ? ? ,选 A. 2 3 2 3
【考点定位】组合体的体积. 【名师点晴】本题涉及到三视图的认知,要求学生能由三视图画出几何体的直观图,从而 分析出它是哪些基本几何体的组合,应用相应的体积公式求出几何体的体积,关键是画出 直观图,本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力. 7.【2015 高考北京,理 5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5 【答案】C

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

?

5 ,三棱锥表面积 S 表 ? 2 5 ? 2 . 2

考点定位:本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积,考查空间线线、 线面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算. 【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积,本题属于基础题,正确利用三视图还原 为原几何体,特别是有关数据的还原,另外要利用线面垂直的性质,判断三角形的形状, 特别是侧面 PAB 的形状为等腰三角形,正确求出三个侧面的面积和底面的面积. 8.【2015 高考安徽,理 7】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) (A) 1 ? 3 (C) 1 ? 2 2 (B) 2 ? 3 (D) 2 2

【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 , 该 四 面 体 的 直 观 图 如 下 , ?ABD, ?BCD 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,

?ABC , ?ACD

















1 1 3 ,所以四 S ?BCD ? S ?ABD ? ? 2 ? 2 ? 1, S ?ABC ? S ?ACD ? ? 2 ? 2 sin 60? ? 2 2 2
面体的表面积 S ? S ?BCD ? S ?ABD ? S ?ABC ? S ?ACD ? 2 ? 1 ? 2 ?

3 ? 2 ? 3 ,故选 B. 2

【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图;2.空间几何体表面积的求法. 【名师点睛】三视图是高考中的热门考点,解题的关键是熟悉三视图的排放规律:长对正, 高平齐,宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图,这对于解答这类问题非常有帮助,本 题还应注意常见几何体的体积和表面积公式. 9.【2015 高考新课标 2,理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的 动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C )

【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.

C

O A B

【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算,要明确球的截面性质, 正确理解四面体体积最大时的情形,属于中档题. 10. 【 2015 高 考 山 东 , 理 7 】 在 梯 形 ABCD 中 , ?ABC ?

?
2



AD / / BC , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯
形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) )

2? 3

(B)

4? 3

(C)

5? 3

(D) 2?

【答案】C 【解析】直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底 面半径为 1,母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是 1、高为 1 的圆锥后得到的组合体, 所以该组合体的体积为: V ? V圆柱 ? V圆锥 ? ? ? 12 ? 2 ? ? ? ? 12 ? 1 ? 故选 C. 【考点定位】1、空间几何体的结构特征;2、空间几何体的体积. 【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算,重点考查了 圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算,体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考

1 3

5 ? 学优高考网 3

查,此题属中档题. 【2015 高考湖南,理 10】某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一 个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件 材料的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( ) 原工件的体积
D.

A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

12( 2 ? 1)3

?

?

【答案】A. 【解析】 试题分析:分析题意可知,问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值,设长方体体的 长,宽,高分别为 x , y , h ,长方体上底面截圆锥的截面半径为 a ,则

x 2 ? y 2 ? ( 2a ) 2 ? 4a 2 , 如 下 图 所 示 , 圆 锥 的 轴 截 面 如 图 所 示 , 则 可 知
x2 ? y2 a 2?h h ? 2a 2 h ? 2a 2 ( 2 ? 2a ) ? ? h ? 2 ? 2a ,而长方体的体积 V ? xyh ? 2 1 2
? 2? ( a ? a ? 2 ? 2a 3 16 2 ,当且仅当 x ? y , a ? 2 ? 2a ? a ? 时,等号成立,此时 ) ? 3 27 3

利用率为

1 ? ?12 ? 2 3

16 27

?

8 ,故选 A. 9?

【考点定位】1.圆锥的内接长方体;2.基本不等式求最值. 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题,与实际应用相结合,立意新颖,属于 较难题,需要考 生从实际应用问题中提取出相应的几何元素,再利用基本不等式求解,解决此类问题的两 大核心思路:一 是化立体问题为平面问题,结合平面几何的相关知识求解;二是建立目标函数的数学思想, 选择合理的变 量,或利用导数或利用基本不等式,求其最值. 12.【2015 高考浙江,理 2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积 是( ) A. 8cm3 B. 12cm3 C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

【答案】C.

【考点定位】1.三视图;2.空间几何体的体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状,再计算其体积,属于容 易题,在解题过程中,根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合,将组 合体的三视图,正方体与锥体的体积计算结合在一起,培养学生的空间想象能力、逻辑推 理能力和计算能力,会利用所学公式进行计算,体现了知识点的交汇. 13.【2015 高考福建,理 7】若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ” 是“ l / /? 的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 【答案】B 【解析】若 l ? m ,因为 m 垂直于平面 ? ,则 l / /? 或 l ? ? ;若 l / /? ,又 m 垂直于平 面 ? ,则 l ? m ,所以“ l ? m ”是“ l / /? 的必要不充分条件,故选 B.学优高考网 【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系. 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系,要理 解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间 的内部联系,长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体,所以我们 可以将这些问题还原到长方体中研究. 14.【2015 高考新课标 2,理 6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图 如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. )

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】由三视图得,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,截去四面体 A ? A1 B1 D1 ,如图所 示, , 设 正 方 体 棱 长 为 a , 则 VA? A1B1D1 ?

1 1 3 1 3 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 3 2 6

1 5 1 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 6 6 5
【考点定位】三视图.

【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算,要求有一定的空间想 象能力,关键是能从三视图确定截面,进而求体积比,属于中档题. 【2015 高考上海,理 6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2? ,则其母线与轴的 夹角的大小为 【答案】 .

?
3

? 1 【解析】由题意得: ? rl : ( h ? 2r ) ? 2? ? l ? 2h ? 母线与轴的夹角为 2 3
【考点定位】圆锥轴截面

【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积,轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 S ? 2?rl , 圆柱的表面积 S ? 2?r (r ? l ) ,圆锥的侧面积 S ? ?rl ,圆锥的表面积 S ? ?r (r ? l ) , 球体的表面积 S ? 4?R 2 ,圆锥轴截面为等腰三角形. 【 2015 高 考 上 海 , 理 4 】 若 正 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 均 为 a , 且 其 体 积 为 16 3 , 则

a?
【答案】 4 【解析】 a ?



3 2 a ? 16 3 ? a 3 ? 64 ? a ? 4 4

【考点定位】正三棱柱的体积 【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首 先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握平几面积计算方法.柱
1 3 2 的体积为 V ? Sh ,区别锥的体积 V ? Sh ;熟记正三角形面积为 a ,正六边形的面积为 3 4

6?

3 2 a . 4

16.【2015 高考天津,理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体 积为

m3 .

【答案】 ? 【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,两端是底 面半径为 1 ,高为 1 的圆锥,所以该几何体的体积 V ? 12 ? ? ? 2 ? 2 ?

8 3

1 2 8 ?1 ? ? ?1 ? ? . 3 3

【考点定位】三视图与旋转体体积公式. 【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.识图是数学的 基本功,空间想象能力是数学与实际生活必备的能力,本题将这些能力结合在一起,体现 了数学的实用价值,同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力. 18.【2015 江苏高考,9】现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、 高为 8 的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新 的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 【答案】 7
1 1 2 2 2 2 【解析】由体积相等得: ? 4 ? ? ? 5 +? ? 2 ? 8= ? r ? ? ? 4 ? ? ? r ? 8 ? r ? 7 3 3

【考点定位】圆柱及圆锥体积 【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或 是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积 的几何体.


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