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2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)

时间:2017-04-25


2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。 1. 若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则 答案:108. 解:设 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ? k ,则 a ? 2 而
k ?2

1 1 ? 的值为_________ a b
k ?3

,b ? 3

, a ? b ? 6 ,从
k

1 1 a?b 6k ? ? ? k ?2 k ?3 ? 2 2 ? 33 ? 108。 a b ab 2 ?3
3 a

2. 设集合 { ? b | 1 ? a ? b ? 2} 中的最大元素与最小元素分别为 M ,m ,则 M ? m 的值 为___________ 答案: 5 ? 2 3 。 解:由 1 ? a ? b ? 2 知,

3 3 ? b ? ? 2 ? 5 ,当 a ? 1 , b ? 2 时,得最大元素 M ? 5 ,又 a 1

3 3 ?b ? ?a ? 2 3, 当 a ? b ? 3 时, 得最小元素 m ? 2 3 。 因此,M ? m ? 5 ? 2 3 。 a a
3. 若函数 f ( x) ? x 2 ? a | x ? 1 | 在 [0,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是________ 答案: [?2,0] 解:在 [1,??) 上, f ( x) ? x ? ax ? a 单调递增,等价于 ?
2

a ? 1 ,即 a ? ?2 。在 [0,1] 上, 2

f ( x) ? x 2 ? ax ? a 单调递增,等价于
4. 数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a n ?1 ? 答案:

a ? 0 ,即 a ? 0 ,因此实数 a 的取值范围是 [?2,0] 2

a2014 2( n ? 2) a n (n ? N *) ,则 ? _____ n ?1 a1 ? a 2 ? ... ? a2013

2015 。 2013

解:由题设 a n ?

2(n ? 1) 2(n ? 1) 2n a n ?1 ? ? a n?2 ? ? ? ? n n n ?1 2(n ? 1) 2n 2?3 ? ? ????? a1 ? 2 n ?1 (n ? 1) n n ?1 2

记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则

S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? ? ? ? ? 2 n?1 (n ? 1)
所以 2S n ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 (n ? 1)
2 3 n

1

将上面两式相减,得 S n ? 2 n (n ? 1) ? (2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ) ? 2 n n 故

a2014 2 2013 ? 2015 2015 ? 2013 ? a1 ? a2 ? ... ? a2013 2 ? 2013 2013

5. 正四棱锥 P—ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角形,M, N 分别是边 AB,BC 的中点,则异面直线 MN 与 PC 之间 的距离是____________ 答案:

2 4

解:设底面对角线 AC,BD 交于点 O,过点 C 作直线 MN 的垂线,交 MN 于点 H。 由于 PO 是底面的垂线,故 PO⊥CH,又 AC⊥CH,所以 CH⊥平面 POC,故 CH⊥PC。 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段, 又 CH ?

2 2 , 故异面直线 MN 与 PC 之 CN ? 2 4

间的距离是

2 。 4

6. 设椭圆 ? 的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 ? 交于点 P, Q 。若 | PF2 |?| F1 F2 | ,且

3 | PF1 |? 4 | QF1 | 。则椭圆 ? 的短轴与长轴的比值为_______
答案:

2 6 7

解:不妨设 | PF1 |? 4 , | QF1 |? 3 。记椭圆 ? 的长轴,短轴的长 度分别为 2 a , 2b ,焦距为 2c ,则 | PF2 |?| F1 F2 |? 2c ,且由 椭圆的定义知,

2a ?| QF1 | ? | QF2 |?| PF1 | ? | PF2 |? 2c ? 4
于是 | QF2 |?| PF 1 | ? | PF 2 | ? | QF 1 |? 2c ? 1 设 H 为线段 PF 1 H |? 2, | QH |? 5 ,且有 F2 H ? PF 1 。由勾股定理知, 1 的中点,则 | F

| QF2 |2 ? | QH |2 ?| F2 H |2 ?| F1 F2 |2 ? | F1 H |2
2 2 2 2 即 (2c ? 1) ? 5 ? (2c) ? 2 ,解得 c ? 5 ,进而 a ? 7, b ? 2 6 ,因此椭圆 ? 的短轴与长

轴的比值为

b 2 6 ? a 7

2

7. 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2,圆心为 I, 若点 P 满足 PI=1, 则△APB 与△APC 的面积之比的 最大值为________ 答案:

3? 5 2

解:由 PI=1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上。 设 ?BAP ? ? ,在圆 K 上取一点 P0 ,使得 ? 取到最大值 ? 0 ,此时 P0 应落在 ?IAC 内,且

K 的切点。由于 0 ? ? ? ? 0 ? 是 AP 0 与圆

?
3

,故

? 1 sin( ? ? ) AP ? AB sin ? sin ? S ?APB sin ? 6 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? S ?APC 1 AP ? AC sin( ? ? ) sin( ? ? ) sin( ? ? 0 ) sin( ? ? ) 2 3 3 3 6 ? 其中, ? ? ? 0 ? ? ?IAP0 6 IP ? 1 1 ? ,于是 cot? ? 15 ,所以 由 ?AP0 I ? 知, sin ? ? 0 ? 2 AI 2r 4
? 1 sin( ? ? ) cos? ? 6 ?2 ? sin( ? ? ) 1 cos? ? 6 2
3 sin ? cot? ? 3 15 ? 3 3 ? 5 2 ? ? ? ② 2 3 cot? ? 3 15 ? 3 sin ? 2



根据①、②可知,当 P ? P0 时,

S ?APB 3? 5 的最大值为 2 S ?APC
1 的概率在每对点之间连一条边,任意两对 2

8.设 A,B,C,D 是空间四个不共面的点,以

点之间是否连边是相互独立的,则 A,B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接 的概率为__________ 答案:

3 4
6

解:每对点之间是否连边有 2 种可能,共有 2 ? 64 种情况。考虑其中 A,B 可用折线连接 的情况数。 (1) 有 AB 边:共种 2 ? 32 情况。
5

(2) 无 AB 边,但有 CD 边:此时 A,B 可用折线连接当且仅当 A 与 C,D 中至少 一点相连, 且 B 与 C, D 中至少一点相连, 这样的情况数为 (2 ? 1)(2 ? 1) ? 9 。
2 2

(3) 无 AB 边,也无 CD 边:此时 AC,CB 相连有 2 种情况,AD,DB 相连也有 2

2

2

种情况,但其中 AC,CB,AD,DB 均相连的情况重复计了一次,故 A,B 可
3

用折线连接的情况数为 2 ? 2 ? 1 ? 7 。
2 2

以上三类情况数的总和为 32+9+7=48,故 A,B 可用折线连接的概率为

48 3 ? 。 64 4

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分 16 分)平面直角坐标系 xOy 中,P 是不在 x 轴上的一个动点,满足条件:过 P 可作抛物线 y 2 ? 4 x 的两条切线,两切点连线 l P 与 PO 垂直。 设直线 l P 与直线 PO, x 轴的交点分别为 Q,R。 (1) 证明 R 是一个定点; (2) 求

| PQ | 的最小值。 | QR |

解: (1) 设 P 点的坐标为 (a, b)(b ? 0) , 易知 a ? 0 。 记两切点 A ,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) ,则 PA , PB 的方程分别为 yy1 ? 2( x ? x1 ) yy2 ? 2( x ? x2 )
① ②

而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①,②。故 A , B 的坐标均满足方程

by ? 2( x ? a)

③ ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 )

故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 4分 从而③即为 y ?

b 2 b 2 与 ,由 PO ? AB 知, ? ? ?1 ,故 a ? ?2 。 ……… a b a b

2 ( x ? 2) ,故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点(2,0) 。 …………8 分 b b b P R ?? , , 直线 PR 的斜率 k 2 ? ? 。 设 ?O 2 4

(2) 因为 a ? ?2 , 故直线 PO 的斜率 k1 ? ? 则 ? 为锐角,且

1 ? k1k 2 | PQ | 1 ? ?| |?| | QR | tan? k1 ? k 2
当 b ? ?2 2 时,

b b 1 ? (? )(? ) 2 2 2 4 |? 8 ? b ? 2 8b ? 2 2 b b 2|b| 2|b| ? ? 2 4

| PQ | 的最小值为 2 2 。 ……………………16 分 | QR |

4

10. (本题满分 20 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 使得 sin a1 ? sin a2 ? … ? sin a m ?

? ,an?1 ? arctan(sec 求正整数 m , an )(n ? N*) 。 6

1 。 100

解:由已知条件可知,对任意正整数 n , a n ?1 ? (? 由于 sec an ? 0 ,故 a n ?1 ? (0,

? ?

?
2

, ) ,且 tanan?1 ? sec an 2 2



) 。由①得, tan2 an?1 ? sec2 an ? 1 ? tan2 an ,故 1 3n ? 2 ? 3 3

tan 2 a n ? n ? 1 ? tan 2 a1 ? n ? 1 ?
即 tanan ? 因此,

3n ? 2 。 3

…………………………10 分

sin a1 ? sin a2 ? … ? sin am ?

tana m tana1 tana2 ? ? …? sec a1 sec a2 sec a m tanam tana1 tana2 (利用①) ? ? …? tana2 tana3 tanam?1

?

?

tana1 1 ? tanam?1 3m ? 1
1 1 ,得 m ? 3333 。 ? 3m ? 1 100
…………………20 分



11.(本题满分 20 分)确定所有的复数 ? ,使得对任意复数 z1 , z 2 (| z1 |, | z 2 |? 1, z1 ? z 2 ) , 均有 ( z1 ? ? ) ? ?z1 ? ( z 2 ? ? ) ? ?z 2   。
2 2

解:记 f? ( z) ? ( z ? ? ) 2 ? ?z ,则

f? ( z1 ) ? f? ( z2 ) ? ( z1 ? ? ) 2 ? ?z1 ? ( z2 ? ? ) 2 ? ?z2
? ( z1 ? z 2 ? 2? )(z1 ? z 2 ) ? ? ( z1 ? z 2 )


假如存在复数 z 1 、 z 2 (| z1 | 、 | z 2 |? 1 , z1 ? z 2 ) ,使得 f? ( z1 ) ? f? ( z 2 ) ,则由式①知

| ? ( z1 ? z 2 ) |?| ?( z1 ? z2 ? 2? )(z1 ? z 2 ) |
注意到, | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 |?| z1 ? z2 |? 0 , 故 | ? |?| z1 ? z 2 ? 2? |? 2 | ? | ? | z1 | ? | z 2 |? 2 | ? | ?2

5

即 | ? |? 2 。…………………………10 分 另 一 方 面 , 对 任 意 满 足 | ? |? 2 的 复 数 ? , 令 z1 ? ?

?
2

? ?i , z 2 ? ?

?
2

? ?i , 其 中

0 ? ? ? 1?

|? | ? ? ,则 z1 ? z 2 ,而 | ? ? ?i |?| ? | ? | ? |? 1 ,故 | z1 | , | z 2 |? 1 ,此时将 2 2 2

z1 ? z 2 ? ?? , z1 ? z2 ? 2?i , z1 ? z2 ? 2?i ? ?2?i
代入①可得, f? ( z1 ) ? f? ( z2 ) ? ? ? 2?i ? ? (?2?i) ? 0 ,即 f? ( z1 ) ? f? ( z 2 ) 。 综上所述,符合要求的 ? 的值为 {? | ? ? C, | ? |? 2} ……………………20 分

6


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