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人教A版数学选修2-1《2.3.1 双曲线及其标准方程》教案


2.2.1

双曲线及其标准方程

◆ 知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解借助信息技术探究动点轨迹的 《几 何画板》的制作或操作方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页, 当变化的平面与圆

锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥 的截口曲线 (截面与圆锥侧面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆 锥的轴线或平行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你 能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线; 第二、 你能举出现实生活中双曲 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题 (同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条(一条约 10cm 长,另一条约 6cm 每条一端结一 个套) 和笔尖带小环的铅笔一枝, 教师准备无弹性细绳子两条 (一条约 20cm, 另一条约 12cm, 一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子 的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过 程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1 双曲线及 其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F 1 F2 )的 点的轨迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫 做双曲线的焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)双曲线标准方程的推导过程 提问: 已知椭圆的图形, 是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学 生来建立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a, b, c 的关系 有明显的几何意义. 类比: 写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的双曲线的标准方程 (iii)例题讲解、引申与补充

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? . b2 a 2

P 到 F1 , F2 距 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0? ,双曲线上一点
离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .
2 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过 2

2 2 点 A? 2,0? ; ② 与⊙ C1 :x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 :x ? ? y ? 1? ? 4 都外切; ③ 与⊙ C1 : 2 2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3? ? y 2 ? 1 内切.
2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的半径为 r . ① ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴ MC ? r ? 2 , MA ? r ,因此有

MA ? MC ? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程
是 2 x2 ?

2 y2 ?1 x ? ? 2 ; 7

?

?

② ∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有

MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程
2 是 4 y 2 ? 4 x ? 1? y ? 3 ? ; ? ?

3

?

4?

③ ∵ ? M 与 ? C1 外切,且 ? M 与 ? C2 内切,∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 ,因 此 MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5 例 2 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速 为 340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间 差,即可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨
方程是 迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点 同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4 s .已知各观察 点到该中心的距离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 340m / s ;相关点均在同一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比 正西晚 4 s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立 直角坐标系,设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ?1020,0? ,

B ?1020,0? , C ? 0,1020? .
设 P ? x, y ? 为巨响发生点,∵ A 、 C 同时听到巨响,∴ OP 所在直线为 y ? ? x ……①, 又因 B 点比 A 点晚 4 s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m? .由双曲线定义知,

a ? 680 , c ? 1020 , ∴ b ? 3 4 0 , 5 ∴ P 点 在 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? ?1 6802 5 ? 3402

? x ? ?680?

… … ② . 联 立 ① 、 ② 求 出 P 点 坐 标 为

P ?680 5, 680 5 .即巨响在正西北方向 680 10m 处.
探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为

?

?

4 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么发现? 9

探究方法:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示, 由于直线 AM , BM 的斜率之积是

4 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的 9

轨迹方程. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件( a )的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面 所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线; 必须让学生认同与体会: 双曲线的定义及特 殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知几何图 形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ? c2 ? a2 的意义,培养学生用对称的美学 思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:像例 1 这基础题配备是必要的,但对定义的 理解和使用是远远不够的,必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题;例 2 是典 型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题有一定 的帮助, 但要准确判定爆炸点, 必须对此题进行扩展, 培养学生归纳、 联想拓展的思维能力. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力: 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例 子, 能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义, 能正确且直观地绘作图形, 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 60 页 1、2、3、 作业:第 66 页 1、2、


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