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4.示范教案(2.2.3 向量数乘运算及其几何意义)


2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运 算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系 .实数与向量的乘 积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向 量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.

尤其是定理的前提 条件:向量 a 是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后 续的知识有着紧密的联系. 三维目标 1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量 积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律. 2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行. 3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进 取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用. 重点难点 教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其 运用. 教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上 研究相同向量和的简便计算及推广 .在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实 数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算. 思路 2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为 a,那么在同一方向上 3 秒钟 的位移对应的向量怎样表示?是 3a 吗?怎样用图形表示?由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ① 已知非零向量 a,试一试作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a). ② 你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗? ③ 引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 怎样理解两向量平 行?与两直线平行有什么异同? 活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行. 通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别 注意 0· a=0,而不是 0· a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不 注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可 以求积,但是不能进行加、减运算,比如 λ+a,λ-a 都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘 法 的 运 算 律 很 相 似 , 只 是 数 乘 运 算 的 分 配 律 有 两 种 不 同 的 形 式 :(λ+μ)a=λa+μa 和 λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等 ,方向相同.判断两个向量是否平行 (共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一 定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手

段. 对问题① , 学生通过作图 1 可发现 , OC = OA + AB + BC =a+a+a. 类似数的乘法 , 可把 a+a+a 记作 3a,即 OC =3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同,3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,即 |3a|=3|a|.同样,由图 1 可知,

图1

PN = PQ ? QM ? MN =(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然 3(-a)的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度是 a 的长度的 3 倍, 这样,3(-a)=-3a. 对问题② ,上述过程推广后即为实数与向量的积. 我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λa,它的长度与 方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反. 由(1)可知,λ=0 时,λa=0. 根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律. 实数与向量的积的运算律 设 λ、μ 为实数,那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 对问题③ ,向量共线的等价条件是:如果 a(a≠0)与 b 共线,那么有且只有一个实数 λ,使 b=λa. 推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数 λ,使 b=λa,那么由向量数乘的定义,知 a 与 b 共线.反过来,已知向量 a 与 b 共线,a≠0,且向量 b 的长 度是向量 a 的长度的 μ 倍,即|b|=μ|a|,那么当 a 与 b 同方向时,有 b=μa;当 a 与 b 反方向时,有 b=-μa. 关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉 a≠0 这一条 件,上述条件成立吗?其目的是通过 0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识. 在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向 量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下 ,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零 向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不 等. 讨论结果 :① 数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定 ,大 小由|λ|·|a|确定. ② 它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小. ③ 向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而 向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.

应用示例 思路 1 例 1 计算: (1)(-3)× 4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成 ,要求学生熟练运用向量数乘运算 的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算 ,可以让他们在代数运算的同时 说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算.对于任意向量 a、 b,以及任意实数 λ、 μ1、 μ2,恒有 λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 解:(1)原式=(-3× 4)a=-12a; (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. 点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同 类项”. 变式训练 若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a,b 是已知向量,求 m,n. 解:因 3m+2n=a, ① m-3n=b. ② 3× ② 得 3m-9n=3b. ③ ① -③ 得 11n=a-3b. ∴ n=

1 3 a- b. 11 11 3 2 a+ b. 11 11



将④ 代入② ,有 m=b+3n=

点评:此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程,通过方程组的求解获得 m、n.在此题求 解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方 程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.

图2 例 2 如图 2,已知任意两个非零向量 a、b,试作 OA =a+b, OB =a+2b, OC =a+3b.你能判断 A、 B、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法 .教 学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到 A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三 点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学 生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进 行动态演示,揭示向量 a、b 变化过程中,A、B、C 三点始终在同一条直线上的规律.

图3 解:如图 3 分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点 A、C 作直线 AC.观察发现,不论向量 a、b 怎样变 化,点 B 始终在直线 AC 上,猜想 A、B、C 三点共线. 事实上,因为 AB = OB - OA =a+2b-(a+b)=b, 而 AC = OC - OA =a+3b-(a+b)=2b, 于是 AC =2 AB . 所以 A、B、C 三点共线. 点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明 两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特. 例 3 如图 4, ABCD 的两条对角线相交于点 M, 且 AB =a, AD =b, 你能用 a 、 b 表示

MA 、 MB 、 MC、和 MD 吗?

图4 活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用 向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点. 解:在 ABCD 中, ∵ AC = AB + AD =a+b, DB = AB - AD =a-b, 又∵ 平行四边形的两条对角线互相平分, ∴MA = ?

1 1 1 1 AC = ? (a+b)= ? a- b, 2 2 2 2 1 1 1 1 MB = DB = (a-b)= a- b, 2 2 2 2 1 1 1 MC = AC = a+ b, 2 2 2 1 1 1 MD = ? MB =- DB =- a+ b. 2 2 2

点评 :结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则 ,将两个向量的和或差表示 出来,这是解决这类几何题的关键. 思路 2 例 1 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证: EF =

1 ( AB + DC ). 2

活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使 EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线 定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.

图5 解:方法一:过点 C 在平面内作 CG = AB , 则四边形 ABGC 是平行四边形, 故 F 为 AG 中点.(如图 5) ∴ EF 是△ ADG 的中位线.

1 DG. 2 1 ∴EF = DG . 2
∴ EF 而 DG = DC + CG = DC + AB , ∴EF =

1 ( AB + DC ). 2

方法二:如图 6,连接 EB、EC,则有 EB = EA + AB , EC = ED + DC ,

图6 又∵ E 是 AD 之中点, ∴ 有 EA + ED =0, 即有 EB + EC = AB + DC . 以 EB 与 EC 为邻边作 ∴EF = EBGC,则由 F 是 BC 之中点,可得 F 也是 EG 之中点.

1 1 1 EG = ( EB + EC )= ( AB + DC ). 2 2 2

点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习 :(1)加强数形结合思想的训练,画出草图

帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用. 例 2 已知 OA 和 OB 是不共线向量 AP =t AB (t∈ R),试用 OA 、 OB 表示 OP . 活动:教师引导学生思考,由 AP =t AB (t∈ R)知 A、B、P 三点共线,而 OP = OA + AP ,然 后以 AB 表示 AP ,进而建立 OA , OB 的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨. 解: OP = OA + AP = OA +t· ( OB - OA )=(1-t)· AB = OA +t· OA +t· OB . 点评:灵活运用向量共线的条件.若令 1-t=m,t=n,则 OP =m· OA +n· OB ,m+n=1. 变式训练 1.设两个不共线的向量 e1、e2,若向量 a=2e1-3e2,向量 b=2e1+3e2,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这 样的实数 λ、μ,使向量 d=λa+μb 与向量 c 共线? 解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使 d 与 c 共线,则存在实数 k 使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2. 由 2λ+2μ=2k 及 3μ-3λ=-9k 得 λ=-2μ. 故存在这样的实数 λ 和 μ,只要 λ=-2μ 就能使 d 与 c 共线. 2.(2007 浙江高考),7 若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 答案:C 3.(2007 全国高考),5 在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = 则 λ 等于( A. ) B.

1 CA +λ CB , 3
D.-

2 3

1 3

C.-

1 3

2 3

答案:A 知能训练 本节练习 解答: 1.图略. 2. AC =

5 2 AB , BC = ? AB . 7 7

点评:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.值得注意的是 BC 与 AB 反向. 3.(1)b=2a;(2)b= ? 4.(1)共线;(2)共线. 5.(1)3a-2a;(2) ?

1 8 7 a;(3)b=- a;(4)b= a. 2 9 4

11 1 a+ a;(3)2ya. 12 3

6.图略. 课堂小结 1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件, 体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.

2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学 习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人. 作业 课本习题 2.2 A 组题 11、12. 设计感想 1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动, 引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题 .先由学生探究向量数乘的结果还是向量 (特别 地 0· a=0),它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小,当 λ>0 时,λa 与 a 方向相同,当 λ<0 时,λa 与 a 方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探 究的结果进行运用拓展. 2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现 ,因而成为中学数学知 识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命 题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.


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