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探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题

时间:2012-11-04


探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题
圆锥曲线中的最值与定值问题, 是解析几何中的综合问题, 是一种典型题型, 将函数与解析融为一体,要求有较强的综合能力,例析如下。 一、 定值问题

解决定值问题的方法:将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明 该式的值与参数无关。 例 1 A、B 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)上的两点,且 OA⊥O

B,求证: (1)A、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值; (2)直线 AB 经过一个定点。 证明: (1)设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 y1 2 ? 2 px1 , y 2 2 ? 2 p x 2 。 ∵ y1 2 ? y 2 2 ? 2 p x1 ? 2 p x 2 = 4 p 2 x1 x 2 ? ? 4 p 2 y1 y 2 ,∴ y1 y 2 ? ? 4 p 2 为定值,
x1 x 2 ? ? y 1 y 2 ? 4 p
2

也为定值。
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? 2p y1 ? y 2
2

(2) y 2 2 ? y1 2 ? ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 2 p ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 , ∵ ∵ ∴
2p y1 ? y 2 y1
2

∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ?
2p y1 ? y 2

x?

y1 ? y 2

? y1 ?

2p y1 ? y 2

x?

4p

y1 ? y 2

?

(x ? 2 p)

,∴直线 AB 过定点(2p,0) 。

例 2 已知抛物线方程为 y ? ? 直线 PA 与 PB 的倾斜角互补。

1 2

x ?h
2

,点 A、B 及点 P(2,4)都在抛物线上,

(1)试证明直线 AB 的斜率为定值; (2)当直线 AB 的纵截距为 m(m>0)时,求△PAB 的面积的最大值。 分析:这类问题一般运算量大,要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等 思想方法的灵活运用。 解析: (1)证明:把 P(2,4)代入 y ? ?
1 2 x ?h
2

,得 h=6。所以抛物线方程为:

? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? y-4=k(x-2),由 ? 1 2 ?y ? ? x ?6 ? 2
?4k ? 4 ? ? ?2k ? 2 ? xA ? 所以 ? 2 ? y ? ?2k 2 ? 4k ? 4 ? A

,消去 y,得 x 2 ? 2 kx ? 4 k ? 4 ? 0 。

,因为 PA 和 PB 的倾角互补,所以

k PB ? ? k PA ? ? k

,用-k 代 k,得 ?
8k 4k

? xB ? 2k ? 2 ? yB ? ?2k ? 4k ? 4
2

,所以 k A B ?

yB ? yA xA ? xB

?

?2k ? 4k ? 4
2

2k ? 2 ? (?2k ? 2)

=

? 2。

(2)设 AB 的方程为

? y ? 2x ? m ? y=2x+m(m>0),由 ? ,消去 1 2 ?y ? ? x ?6 ? 2

y 得:

x ? 4 x ? 2 m ? 12 ? 0
2

,令△=16-4(2m-12) >0,解得 0<m<8,
2

| A B | ? 5[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ? 5[4 ? 4 (2 m ? 1 2 )] ? 4 0 (8 ? m )
2 2

, P 到 AB 的距离 点
m 5
2

d=

|2? 2 ? 4 ? m | 5 1 1

?

m 5

,所以,S 2 ? P A B ?
8 8 3
4 3

1 4

| A B | ?d
2

2

?

1 4

? 4 0 (8 ? m ) ?

? 2 m (8 ? m )
2

= 8( m )( m )(8 ? m ) ? 8 ? ( ) 3 ?
2 2 3
1

,所以, S ? P A B ?

64 3 9



当且仅当 m ? 8 ? m , m ? 即
2

16 3

时, 等号成立, 故△PAB 面积最大值为

64 3 9



二、

最值问题

解决最值的方法:一是代数法,建立目标函数,转化为函数的最值问题, 注意到自变量的范围;二是几何法,考虑某些量的几何特征及意义,利用图形 性质求解。 例 3 求椭圆 距离。 方法 1: (求切点)设与 L 平行的直线与椭圆相切于点 P(x 0 ,y 0 ),由椭圆方
x
2

?

y

2

? 1 上的点

16

12

P 到直线 L: x-2y-12=0 的最大距离和最小

程 3 x 2 ? 4 y 2 ? 4 8 得此切线方程 3 x 0 x ? 4 y 0 y ? 4 8 ,∵ k ?
2 2

1 2

,∴ ?

3 x0 4 y0

?

1 2

,即

3 x 0 ? 2 y 0 ? 0 (1) ,又 3 x 0 ? 4 y 0 ? 48 (2) ,解(1)(2)得切点的坐标为

P 1 (-2,3)

P 2(2, -3) 设点 P 到直线 L 的距离为 d, 。 由点到直线的距离公式, d m ax ? 4 5 , 得
d m in ? 4 5 5



方法 2: (判别式法)设与 L 平行的椭圆的切线方程为 x-2y+m=0,代入椭 圆方程, 消去 x 得 16 y 2 ? 12 m y ? 3 m 2 ? 48 ? 0 , 由△= ( ? 12 m ) 2 ? 4 ? 16 ? (3 m 2 ? 48) ? 0 得 m 2 ? 64 , m ? ?8 。 当 m=8 时,切线方程 x-2y+8=0,此时 y ? 当 m=-8 时,切线方程
? 3 ,切点为 P 1 (-2,3) ; 2 ? 16 12m ? ? 3 ,切点为 P 2 (2, x-2y-8=0,此时 y ? 2 ? 16 12m

-3)设点 P 到直线 L 的距离为 d,由点到直线的距离公式,得 d m ax ? 4 5 ,
d m in ? 4 5 5



方法 3: (参数法)设椭圆上任意一点 P(4cosθ, 2 3 sinθ),它到直线 L 的 距离为 d ?
d m ax ? 4 5
| 4 co s ? ? 4 3 sin ? ? 1 2 | 5 ? 8 5 5 | sin (

?
6

??) ?

3 2

|, ∴当 sin (

?
6

? ? ) ? ? 1 时,

;当 sin (

?
6

? ? ) ? 1 时, d m in ?

4 5

5



点评:方法 1、方法 2 可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标,方法 3 利 用椭圆的参数方程,建立目标函数,简洁明了,但求切点的坐标较复杂。
y A ·

例 4 已知定点 A(0,3)点 B、C 分别在椭圆
4x ?
2

16 3

y ? 1 的准线上运动, 当∠BAC=90°时,
2

B O C 图1 x

求△ABC 面积的最大值。 解: 椭圆 4 x 2 ?
16 3 y ? 1 的两条准线方程分别
2

为:y=1 或 y=-1。

点 B 在直线 y=1 上且设 B(a,1) ,点 C 在直线 y=-1 上且设 C(b,-1) ,

由于∠BAC=90°,A(0,3),所以 k A B ?
k AB

?2 a

, k AC ?

?4 b

〃 k AC =
1 2

8 ab

? ? 1 ,ab=-8。
1 2
2

S ? ABC ?
1 2

| AB | ? | AC | =
16 a
2

a ?4
2

b ? 16 ?
2

1 2

a b ? 16 a ? 4b ? 64
2 2 2 2

=

128 ? 16(a ?

) ?8

,当且仅当 a 2 ?

16 a
2

,即 a ? ? 2 , b ? ? 4 时△ABC 面积的

值最大为 8。

三、定点问题 处理这类问题有两种方法:一是从特殊入手,求出定点,再证明这个点与 变量无关;二是直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点。

例 5(2001 年全国高考)设抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴,证明: 直线 AC 经过原点。 方法 1:设直线方程为 y ? k ( x ? A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,C (
?p 2 , y2 )

y
p 2 ),

A

,∴
C

O F B x

p ? 2 py ? y ? k(x ? ) 2 2 ? p ? 0 ,∴ 2 ,y ? ? k ? y 2 ? 2 px ?

y1 y 2 ? ? p

2

,k O A ?

y1 x1

,k O C ?

y2 ? p 2

?

2p y1

,又∵

图2

y1 ? 2 px1 ,∴ k O C ?
2

y1 x1

? k O A ,即

k 也是直线 OA 的斜率,所以 AC 经过原点 O。

当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可证
kOC ? kOA 。

y D

A

方法 2: 如图 2 过 A 作 AD⊥l, 为垂足, D
O E C N B 图3 F x

则:AD∥EF∥BC 连结 AC 与 EF 相交于点 N,则

| EN | | AD |

?

| CN | | AC |

?

| BF | | AB |



| NF | | BC |

?

| AF | | AB |

,由抛物线的定义知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,∴
| AF |? | BC | | AB |

| E N |?

| AD | ? | BF | | AB |

?

?| N F | .

点评:该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行,又可采用圆 锥曲线的几何性质,借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽,而且几何方法 较之解析法比较快捷便当,从审题与思维深度上看,几何法的采用,源于思维的 深刻性。


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