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上海市黄浦区敬业中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)

时间:2014-11-24


黄浦区敬业中学高一上学期数学期中试卷
一、选择题
1、用列举法表示:大于 0 且不超过 6 的全体偶数的集合 A ? _________. ?2, 4,6? 解析: A=?x x ? 2k ,0 ? x ? 6, k ? Z ? ? ?2,4,6? . 2、集合 A ? ??1? ,集合 B ? x x2 ? 3x ? a ? 0 且 A ? B ,则实数 a ? _________. ?4 解析:由 A ? B ,得 ?1? B ,所以 a ? ?4 . 3、写出命题“ x ? 2 ”的一个充分非必要条件__________. x ? 3 解析:由题意得,只需找一个 x ? 2 的一个真子集即可,则 x ? 3 ,答案不唯一. 4、不等式 x ? 2 x 2 ? 1 ? 0 的解集为__________. R 解析: 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , ? ? 12 ? 8 ? ?7 ? 0 ,得 x ? R . 5、已知函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x 是奇函数,则实数 a ? _________. 0 解析: f ? x ? ? f ? ?x ? ? ax2 ? 2x ? ax2 ? 2x ? 2ax2 ? 0 恒成立,得 a ? 0 . 6、函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的值域为_________. ? ? 3, ??

?

?

?

?

? ?

解析:函数的定义域为 ?1, ?? ? ,又函数单调递增,则函数的值域为 ? ? 3, ?? .
2 7 、 若 函 数 f ? x? ? 2 x ? a x? 在 b 区 间 ? ??, 4? 上 为 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

________. ? ??, ?16? .
a 解析:由题意可知函数的对称轴 x ? ? ? 4 ,即 a ? ?16 . 4

8、函数 y ? x ?

1? 2 2 1 ? 1? ? x ? ? 的最小值是_________. 2 2x ? 1 ? 2?

解析: y ? x ?

1 1? 1 1 1 1 1 ? ??x? ?? ? ?2 ? ? 2? . 2x ? 1 ? 2 ? 2x ? 1 2 2 2 2

9、定义在 ? ?2, 2? 上的偶函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? 是减函数,若 f ?1 ? a ? ? f ? a ? ,则实 数 a 的取值范围_________.
??2 ? 1 ? a ? 2 1? ? ? 解析:由题意得 ? ?2 ? a ? 2 ,解得: a ? ? ?1, ? . 2? ? ? a ? 1? a ?

10、已知函数 y ? f (2 x ? 5) 的定义域为 ? ?2,2? ,则函数 y ? f ( x) 的定义域为_______. ?1,9?

解析: x ? ? ?2, 2? , 2 x ? 5 ? ?1,9? ,得 y ? f ( x) 的定义域为 ?1,9? . 11、某火车驶出 A 站 5 千米后,以 60 千米/小时的速度行驶了 50 分钟,则在这段时间内火 ? 5? 车与 A 站的距离 S(千米) 与t (小时) 之间的函数解析式是____________. S ? 5 ? 60t , t ? ?0, ? ? 6? 5 ? 5? 解析:由问题的背景可得:50 分钟= 小时,则 S ? 5 ? 60t , t ? ?0, ? . 6 ? 6?
2 12 、 函 数 f ? x? ? 3 ax ? 2 ax? 1 ? ?R在 ? ?1,1? 内 有 一 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ? x

___________.
1 解析:(1)当 ? ? 4a 2 ? 12 a ? 0 ,即 a ? 3or 0 ,对称轴 x ? ? ? ?1,1? 成立.但 a ? 0 时,不满足, 3 舍去. 1? ? (2)当 ? ? 0 ,要满足题意,即 f ? ?1? f ?1? ? ? 5a ? 1?? a ? 1? ? 0 ,即 a ? ? ?1, ? ? . 5? ? 1? ? 综上: a ? ? ?1, ? ? ?3? . 5? ?

13 、 设 ? x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则 方 程 4x2 ? 40? x? ? 51 ? 0 的 实 数 解 的 个 数 是 ___________. 解 析 : 由 ? x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 即 x ? 1 ? ? x? ? x , 又 ? x? ?
1 51 ?3 7 ? ,解得: x ? ? , ? x ? 1 ? x2 ? ?x 10 40 ?2 2 ?

1 2 51 ,即 x ? 10 40

? 13 17 ? ? , ? ,所以 ? x? ? 1,2,3,6,7,8 ,代入,均不成立, ? 2 2?

则方程解得个数为 0. 二、选择题 14、集合 ?? x, y ? xy ? 0, x ? R, y ? R? 是指( )D

B .第三象限内的所有点; D .不在第二象限、第四象限内的所有点. 解析:由题意可知 x, y 同号,或者是至少有一个为 0,则答案选 D .
C .第一象限和第三象限内的所有点;

A .第一象限内的所有点;

15、若 0 ? x ? 3 ,则 y ? x2 ? 4x ? 3 (



A .有最小值 0 ,最大值 3 C .有最小值 ?1 ,最大值 1
2

B .有最小值 ?1 ,最大值 0 D .有最小值 ?1 ,最大值 3

解析: y ? x2 ? 4 x ? 3 ? ? x ? 2? ? 1,函数在 x ? ?0,2? 单调递减,在 x ? ? 2,3? 单调递增,所 以 f min ? x ? ? f ? 2? ? ?1 , fmax ? x ? ? f ? 0? ? 3 .答案选 D. 16、如果 a ? 0 ? b ,那么下列不等式中正确的是( )

A.? a ? b
C . a 3 ? b3

B . a 2 ? b2

D . ab ? b 2 解析:由不等式的性质知:C 为正确答案.

17、下列四个命题: (1)函数 y ? x ?
1 的最小值是 2; x
1 的最小值是 2; x2

(2)函数 y ? x2 ? (3)函数 y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值是 2;
4 ? x ? 0? 的最大值是 2 ? 4 3 . x

(4)函数 y ? 2 ? 3x ?

其中错误的命题个数是( A.2 B.4 解析: (1) y ? x ? (2) y ? x2 ? (3) y ?


C .3

D .1

1 的值域为 ? ??, ?2? x

?2, ?? ? ,无最小值,故错误;

1 的值域为 ? 2, ?? ? ,最小值为 2,正确; x2
? x2 ? 2 ? 1 x ?2
2

x2 ? 3 x ?2
2

? 2 ;当且仅当 x 2 ? 2 ?

1 x ?2
2

,即 x 2 ? ?1 ,不成

立,故错误; (4) y ? 2 ? 3x ? 答案选 A .
4 ? ? 2 ? ? 3x ? x ? 4? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ,故正确. x?

三、解答题 18、现有命题“矩形的两条对角线长度相等” ,写出它的逆命题与逆否命题,并说明其真 或假的理由. 解析:逆命题“若四边形的对角线相等,则该四边形是矩形”假命题,反例:等腰梯形 逆否命题“若四边形的对角线不相等,则该四边形不是矩形”真命题.

19、若函数 y ? ax2 ? 6ax ? 9 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. 解析:由题意得: ax2 ? 6ax ? 9 ? 0 对一切 x ? R 恒成立. (1)当 a ? 0 时,即 9 ? 0 恒成立.

? ?a ? 0 (2)当 a ? 0 时,则 ? ,解得 a ? ? 0,1? . 2 ? ?? ? ? ?6a ? ? 36a ? 0

综上: a ? ? 0,1? . 20 、 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? ?x x ? a ? 1 ? 0? , 集 合 B ? ?x x ? a ? 2 ? 0? , 集 合
? x?4 ? C ? ?x ? 0 ? ,若 CU ? A x ? ?

B ? ? C ,求实数 a 的取值范围.

解析:由题意得: A ? ? ??, a ? 1? , B ? ? a ? 2, ?? ? , C ? ? ??,0? (1)若 CU ? A ( 2 ) 若 CU ? A
a ? 5ora ? ?2 .

?4, ??? .

B ? ? ? ,即 A

B ? R ,得: a ? 2 ? a ? 1 ,不成立.

B ? ? ? , 所 以 CU ? A

B ? ? ? a?1, a? 2 ? , 得 a ?1? 4 或 a ? 2 ? 0 , 即

得 a ? ? ??, ?2?

?5, ??? .

21、设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? 1, x ? R . (1)讨论 f ? x ? 的奇偶性; (2)求 f ? x ? 的最小值.

解析: f ? ?x ? ? x2 ? x ? a ? 1 , f ? x ? ? f ? ? x ? ? x ? a ? x ? a ,只有当 a ? 0 时,此时 f ( x) 为偶函数, f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2x2 ? x ? a ? x ? a ? 2 ? 0 ,所以 f ? x ? 不可能是奇函数,所以 当 a ? 0 时, f ? x ? 为偶函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 为非奇非偶函数.
1? 3 1 1 ? (2)当 x ? a 时,有 f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ? x ? ? ? a ? ,对称轴为 x ? ? ,若 a ? ? , 2 4 2 2 ? ?
3 1 ? 1? 则 f min ? x ? ? f ? ? ? ? ?a ? ;若 a ? ? ,则 fmin ? x ? ? f ? a ? ? a2 ? 1 ; 4 2 ? 2?
2

1? 3 1 1 ? 当 x ? a 时 , 有 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? 1 ? ? x ? ? ? a ? , 对 称 轴 为 x ? , 若 a ? , 则 2? 4 2 2 ?
3 1 ?1? f m i n? x ? ? f ? ? ? a ? ;若 a ? 时,则 fmin ? x ? ? f ? a ? ? a2 ? 1 . 2 4 2 ? ?

2

1 3 1 ? 1 1? 综上 : 当 a ? ? ? , ? 时, f min ? x ? ? a2 ? 1 ;当 a ? 时, f min ? x? ? a ? ;当 a ? ? 时, 2 4 2 ? 2 2?
3 fmin ? x? ? ? a ? . 4


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