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高考数学总复习:高考中选择题的解题方法与技巧

时间:2017-08-25


高考数学总复习:高考中选择题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】 高考数学选择题占总分值的

2 . 5

其解答特点是“四选一” ,快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的. 选择题和其它题型相比,解题思路和方法有着一定的区别,产生这种现象的原因在于选 择题有着与其它题型明显不同的特点:①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内

容相关相 近,真假难分;②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特;③知识 面广、跨度较大、切入点多、综合性强. 正因为这些特点,使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能:①能在较大的知识范 围内, 实现对基础知识、 基本技能和基本思想方法的考查; ②能比较确切地考查考生对概念、 原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况;③在一定程度上,能有效地考查逻辑思 维能力,运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力.

【典型例题】 (一)直接法 直接从题目条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推 理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相 应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

1 ,看下面四个结论: 2 1 3 ① f (x) 是奇函数; ②当 x ? 2007 时, f ( x) ? 恒成立;③ f (x) 的最大值是 ; 2 2 1 ④ f (x) 的最小值是 ? .其中正确结论的个数为: 2
例 1、关于函数 f ( x) ? sin x ? ( )
2 | x|

2 3

?

A.1 个
2

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【解析】 f ( x) ? sin x ? ( ) ∴

2 3

| x|

?

1 1 ? cos 2 x 2 | x| 1 1 2 ? ? ( ) ? ? 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| , 2 2 3 2 2 3

f (x) 为 偶 函 数 , 结 论 ① 错 ; 对 于 结 论 ② , 当 x ? 1000 ? 时 ,

x ? 2 0 0 s7 i 2n 0 0 0 0 , , 1 ??
1 2 1000? 1 ?( ) ? ,结论②错. 2 3 2 1 1 3 1 2 | x| 3 又∵ ? 1 ? cos 2 x ? 1 ,∴ ? 1 ? cos 2 x ? ,从而 1 ? cos 2 x ? ( ) ? ,结论③错. 2 2 2 2 3 2
∴ f (1000 ? ) ?
1

2 1 2 1 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) | x| ? 中, sin 2 x ? 0,?( ) | x| ? ?1 ,∴ f ( x) ? , 3 2 3 2
等号当且仅当 x=0 时成立,可知结论④正确. 【题后反思】 直接法是解答选择题最常用的基本方法, 低档选择题可用此法迅速求解, 直接法运用的 范围很广,只要运算正确必能得到正确的答案,提高直接法解选择题的能力,准确地把握中 档题的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味 求快则会快中出错. (二)排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法, 使用排除法的前提条件是答案唯一, 具体的做法是采用简 捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选” ,将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除,从而 获得正确结论. 例 2、直线 ax ? y ? b ? 0 与圆 x ? y ? 2ax ? 2by ? 0 的图象可能是: y y y y
2 2

O O x O x x O x

A. B. C. D. 【解析】由圆的方程知圆必过原点,∴排除 A、C 选项,圆心(a,-b), 由 B、D 两图知 a ? 0,?b ? 0 .直线方程可化为 y ? ax ? b ,可知应选 B. 【题后反思】 用排除法解选择题的一般规律是: (1)对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用筛选法,能剔除几个就先剔除几个; (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选择支; (3) 如果选择支中存在等效命题, 那么根据规定---答案唯一, 等效命题应该同时排除; (4)如果选择支存在两个相反的,或互不相容的判断,那么其中至少有一个是假的; (5)如果选择支之间存在包含关系,必须根据题意才能判定. (三)特例法 特例法也称特值法、特形法. 就是运用满足题设条件的某些特殊值、 特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理, 从 而得到正确选项的方法, 常用的特例有特殊数值、 特殊数列、 特殊函数、 特殊图形、 特殊角、 特殊位置等.
2

?2 ? x ? 1, x ? 0 ? 1 例 3、设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围为: ? x2,x ? 0 ?
A. (-1,1) B. ? 1,?? ) C.(??,?2) ? (0,??) ( D.(??,?1) ? (1,??)

【解析】∵ f ( ) ?

1 2

2 1 ? 1 ,∴ 不符合题意,∴排除选项 A、B、C,故应选 D. 2 2
3 2

例 4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则 b 的取值范围是: y A. (??,0) C. (1,2) B. (0,1) D. (2,??) O 【解析】设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ? x ? 3x ? 2 x ,
3 2

1 2 x

此时 a ? 1, b ? ?3, c ? 2, d ? 0 . 【题后反思】 这类题目若是脚踏实地地求解,不仅运算量大,而且极易出错,而通过选择特殊点进行 运算,既快又准,但要特别注意,所选的特殊值必须满足已知条件. (四)验证法 又叫代入法,就是将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断,即将各 个选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例 5、在下列四个函数中,满足性质: “对于区间(1,2)上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 恒成立”的只有:
A. f ( x) ? 【解析】 f ( x) ? 当 恒成立,故选 A. 例 6、若圆 x ? y ? r (r ? 0) 上恰有相异两点到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离等于 1,
2 2 2

1 x

B. f ( x) ?| x |

C. f ( x) ? 2

x

D. f ( x) ? x

2

| f ( x 2 ) ? f ( x1 ) | 1 1 ? ? 1 , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 时, 所以 | x1 ? x 2 | | x1 x 2 | x

则 r 的取值范围是: A.[4,6] B. [ 4,6) C. (4,6] D. (4,6)

【解析】圆心到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离为 5,则当 r ? 4 时,圆上只有一个点到直 线的距离为 1,当 r ? 6 时,圆上有三个点到直线的距离等于 1,故应选 D.

3

【题后反思】 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题,这里选择把选项代入验证,若第一个 恰好满足题意就没有必要继续验证了,大大提高了解题速度. (五)数形结合法 “数缺形时少直观,形少数时难入微” ,对于一些具体几何背景的数学题,如能构造出与 之相应的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法. 例 7、若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ?| x | ,则 函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像与函数 y ? log 3 | x | 的图像的交点个数为: A.2 B.3 C.4 D.无数个 Y=f(x) -3 -2 -1

y

y ? log 3 | x |
1 2 3 x

【解析】由已知条件可做出函数 f (x) 及 y ? log 3 | x | 的图像,如下图,由图像可得其交点的个数为 4 个, 故应选 C.

?2 x ? x ? 1, x ? 0 ? 1 例 8、设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围为: ? x2,x ? 0 ?
A. (-1,1) C. ? 1,?? ) ( B. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??) y 1 x -1 O 1

【解析】在同一直角坐标系中,做出函数 f (x) 和直线 x=1 的图像,它们相交于(-1,1)和

(1,1)两点,则 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1或x0 ? 1 ,故选 D. 【题后反思】 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略,但它在 解有关选择题时非常简便有效,不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几 何图形较熟悉,否则错误的图像反会导致错误的选择. (六)逻辑分析法 分析法就是根据结论的要求, 通过对题干和选择支的关系进行观察分析、 寻求充分条件, 发现规律,从而做出正确判断的一种方法,分析法可分为定性分析法和定量分析法. 例 9、若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值 范围是: A. (0, )

1 2

B. (0, ]

1 2

C. ( ,?? )

1 2

D. (0,??)

4

【解析】要使 f ( x) ? 0 成立,只要 2a 和 x+1 同时大于 1 或同时小于 1 成立,当 x ? (?1,0) 时, x ? 1? (0,1) ,则 2a ? (0,1) ,故选 A. 例 10、用 n 个不同的实数 a1 , a 2 , a3 ?, a n 可得 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一 个 n! 行的矩阵,对第 i 行 ai1 , ai 2 , ai 3 ?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? (?1) ain ,
n

123 132 213 数之和都是 12,所以 b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 ,那么用 1, 231 321 2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ? 312 ( i ? 1,2,3,?, n )例如用 1、2、3 排数阵如图所示,由于此数阵中每一列各 A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-720 【解析】 ? 3 时, !? 6 , 每一列之和为 3!?2!? 12 , 1 ? b2 ? ? ? b6 ? 12 ? (?1 ? 2 ? 3) ? ?24 , n 3 b 每一列之和为 5!?4!? 360 , 1 ? b2 ? ? ? b120 ? 360 ? (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ?1080 , n ? 5 时,5!? 6 , b 故选 C. 【题后反思】 分析法实际是一种综合法,它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的 去分析、学习、掌握、验证学习的结果,再运用所学的知识解题,对考察学生的学习能力要 求较高. (七)极端值法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极端值法解决某些问题,可以避开 抽象、复杂的运算,隆低难度,优化解题过程. 例 11、对任意 ? ? (0,

?
2

) 都有:
B. sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos? ) D. sin(cos? ) ? cos? ? cos(sin? )

A. sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos? ) C. sin(cos? ) ? cos(sin? ) ? cos?

【解析】当 ? ? 0 时, sin(sin? ) ? 0 , cos? ? 1, cos(cos ) ? cos1 ,故排除 A、B, ? 当? ?

?
2

时, cos(sin? ) ? cos1 , cos? ? 0 ,故排除 C,因此选 D.

例 12、设 a ? sin ? ? cos? , b ? sin ? ? cos ? ,且 0 ? ? ? ? ? A. a ?

?
4

,则

a2 ? b2 a2 ? b2 ?b? 2 2
5

B. a ? b ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? 2 2

C. a ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? ?b 2 2

a2 ? b2 a2 ? b2 ?a?b? D. 2 2

【解析】∵ 0 ? ? ? ? ? 易知: 1 ? 1.5 ? 【题后反思】

?
4

,∵令 ? ? 0, ? ?

?
4

,则 a ? 1, b ?

2,

a2 ? b2 3 ? , 2 2

2 ? 1.5 ,故应选 A.

有一类比较大小的问题,使用常规方法难以奏效(或过于繁杂) ,又无特殊值可取,在 这种情况下,取极限往往会收到意想不到的效果. (八)估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可通过猜测、合情推理、估 算而获得答案,这样往往可以减少运算量,避免“小题大做” . 例 13、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB,

EF ?

3 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为: 2 9 15 A. B.5 C.6 D. 2 2
A

E D B

F C

【解析】由已知条件可知,EF//面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2,∴ VF ? ABCD

1 ? ? 32 ? 2 ? 6 ,而该多面体的体积必大于 6,故选 D. 3

例 14、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是: A.

16? 9

B.

8? 3

C. 4?

D.

64? 9
2 3 , 则 3

【 解 析 】 设 球 的 半 径 为 R ,

?ABC 的 外 接 圆 半 径 r ?

S 球 ? 4?R 2 ? 4?r 2 ?
【题后反思】

16 ? ? 5? ,故选 D. 3

有些问题,由于受条件限制,无法(有时也没有必要)进行精确的运算和判断,而又能依 赖于估算,估算实质上是一种数字意义,它以正确的算理为基础,通过合理的观察、比较、 判断、推理,从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了 时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的 运算方法. (九)割补法 “级割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化

6

为规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题时间. 例 15、一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一 球面上,则此球的表面积为: A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6? B

A D C

【解析】如图,将正四面体 ABCD 补成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球 的球心共一面,因为正四面体棱长为 2 ,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R ? 故 S 球 ? 3? ,选 A. 【题后反思】 “割”即化整为零,各个击破,将不易求解的问题,转化为易于求解的问题; “补”即代分 散不集中,着眼整体,补成一个“规则图形”来解决问题,当我们遇到不规则的几何图形或 几何体时,自然要想到“割补法” .

3 , 2

【模拟演练】 (1)已知 ? , ? 是锐角,且 ? ? ? ? A. [ , ] (2)若 A ? {x | 2 ? 2 的个数为: A.0
2? x

1 3 2 2

2? 2 2 ,则 cos ? ? cos ? 的取值范围是: 3 1 3 1 3 1 3 B. [ , ) C. [ , ] D. [ , ) 2 2 2 4 2 4

? 8, x ? Z } , B ? {x || log 2 x |? 1, x ? R} ,则 A 交 B 补中元素
C.2 D.3

B.1

(3)已知集合 M ? {?1,1} , N ? {x | A. {?1,1}
2

1 ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } ,则 M ? N ? 2
C. {0} D. {?1,0}

B. {?1}
2

(4)过原点的直线与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程 是: A. y ?

3x

B. y ? ? 3x
0 2 n

C. y ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

(5)如果 n 是正偶数,则 C n ? C n ? ? ? C n ? A. 2
n

B. 2

n ?1

C. 2

n ?1

D. (n ? 1) ? 2

n ?1

( 6 ) 函 数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0) , 则 区 间 [a , b] 上 是 增 函 数 , 且
7

? f (a) ? ?M , f (b) ? M ,则函数 g ( x) ? M cos( x ? ? ) 在[a,b]上是:
A.增函数 (7)函数 f ( x) ? sin( A. B.减函数 C.有最大值 M D.有最小值—M

?
3

? 2 x) ? sin 2 x 的最小正周期是:
B. ? C.2 ? D.4 ?

? 2

(8)过点 A(1,-1) ,B(-1,1)且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是: A. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

B. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(9) 定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数 f (x) , (0,??) 上为增函数, x ? 0 时,f (x) 在 当 y 的图像如下图所示,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是: A. (?3,0) ? (0,3) C. (??,?3] ? (3,??)
2

B. (??,?3) ? (3,??) D. (?3,0) ? (3,??)

O O

3

x

(10)函数 y ?| x ? 1 | ?1 的图像与函数 y ? 2 x 的图像交点的个数为: A.1 B.2 C.3 D.4

(11) 如下图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, ?ADE , ?BCF 且 均为正三角形,EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为: E D A A1 B1 P B C1 Q C F

2 A. 3

3 B. 3

4 C. 3

3 D. 2

(12)如下图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、 Q 分别为侧棱 AA1、和 CC1 上的点,且 AP=C1Q,则四棱 锥 B—A1PQC 的体积为: A.

2V 3

B.

V 3

C.

3V 7

D.

2V 7
D1 A1 B1 F O E A
8

A C1 B

C

(13)如右图所示,在正方体 AC1 中, E 为 AD 的中点,O 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 CC1 上任意一点,则 异面直线 OF 与 BE 所成的角是:

D

H G

C B

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

(14)要得到函数 y ? 2 sin 2 x 的图像,只需把函数 y ? 4 sin(x ? A.向右平移

?
6

) cos(x ?

?
6

) 的图像:

? ? 个单位 B.向左平移 个单位 3 3 ? ? C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 6 (15)函数 y ?| log 1 x | 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小
2

值是:

A.2

B.

3 2

C.3

D.

3 4

(16)已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x ,正实数 a,b,c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若
x

1 3

实数 d 是函数 f (x) 的一个零点,那么下列四个判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c,其中 可能成立的个数为: A.1 (17) 设函数 f ( x) ? ? A.10

B.2

C.3

D.4

? ( x ? 1) 2 , x ? 1 ?4 ? x ? 1, x ? 1
B.0,-1

, 则使得 f (?1) ? f (m ? 1) ? 1 成立的 m 的取值为: C.0,-2,10 D.1,-1,11

(18)已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 分别为椭圆的左右焦点,O 为坐标 8 4

原点,则

|| PF1 | ? | PF2 || 的取值范围是: | OP | 2 ] 2
B. [0,2] C. ( ,

A. [0,

1 2

2 ] 2

D. [0, 2 ]

9

参考答案
(1)D (2)C (3)B (4)C (5)B (6)C (7)B (8)C (9)A

(10)C (11)A (12)B (13)D (14)C (15)D (16)B (17)D (18)D

10


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