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2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线理(精校版)

时间:2017-12-01


2017 年高考试题分类汇编之解析几何(理)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2017 课标 I 理)已知 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,直线 l1 与 C 交 于 A, B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D, E 两点,则 AB ? DE 的最小值为( )

A.16

B.14

C .12

D.10

x2 y 2 2 2 2.(2017 课标 II 理)若双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线被圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 所截 a b
得的弦长为 2 ,则 C 的离心率为( )

A.2

B. 3

C. 2
13 3 5 3

D.
2 3

2 3 3
D.

x2 y 2 3.(2017 浙江)椭圆 ? ? 1 的离心率是( 9 4
4.(2017 课标 III 理)已知椭圆 C :

) A.

B.

C.

5 9

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,的左、右顶点分别为 A1 , A2 且以线段 A1 A2 为 a 2 b2


直径的圆与直线 bx ? ay ? 2ab ? 0 相切,则 C 的离心率为(

A.

6 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

5. (2017 天津理) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F , 离心率为 2 .若经过 F 和 P(0, 4) 两 a 2 b2


点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 4 4

B.

x2 y 2 ? ?1 8 8

C.

x2 y 2 ? ?1 4 8

D.

x2 y 2 ? ?1 8 4

6.(2017 课标 III 理)已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,且与椭圆 2 a b 2


x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,则 C 的方程为( 12 3
A.

x2 y 2 ? ?1 8 10

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 5 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

-1-

二、填空题(将正确的答案填在题中横线上) 7.(2017 北京理)若双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的离心率为 3 ,则实数 m ? _________. m

x2 y 2 8. (2017 课标 I 理) 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A , 以 A 为圆心,b 为半径作圆 A , a b
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M , N 两点.若 ?MAN ? 60 ,则 C 的离心率为________.
0

9.(2017 课标 II 理)已知 F 是抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于点 N 。 若 M 为 FN 的中点,则 FN ? .

10.(2017 山东理)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右支与焦点为 F 的抛物线 a2 b2
.

x2 ? 2 px ? p ? 0? 交于 A, B 两点,若 AF ? BF ? 4 OF ,则该双曲线的渐近线方程为
11.(2017 江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 其焦点是 F1 , F2 ,则四边形 F1 PF2Q 的面积是

x2 ? y 2 ? 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P , Q , 3

.

??? ? ??? ? 12.(2017 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, A(?12, 0), B(0, 6), 点 P 在圆 O:x2 ? y 2 ? 50 上,若 PA ? PB ≤ 20, 则
点 P 的横坐标的取值范围是 .

三、解答题(应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13.(2017 课标 III 理) 已知抛物线 C : y ? 2x ,过点 ( 2,0) 的直线 l 交 C 与 A, B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
2

(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P ? 4, ?2? ,求直线 l 与圆 M 的方程.

-2-

x2 y2 3 3 14.(2017 课标 I 理)已知椭圆 C : 2 ? 2 =1 (a ? b ? 0) ,四点 P ), P4 (1, ) 中 1 (1,1), P 2 (0,1), P 3 ( ?1, a b 2 2
恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A, B 两点.若直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率和为 ? 1 ,证明:l 过定点.

15. (2017 课标 II 理) 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N , 2

点 P 满足 NP ? 2 NM . (1) 求点 P 的轨迹方程; (2) 设点 Q 在直线 x ? ?3 上,且 OP ? PQ ? 1 .证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .

16.(2017 山东理)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

2 x2 y 2 ,焦距为 2 . ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

-3-

(1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,动直线 l : y ? k1 x ?
k1 k 2 ? 3 交椭圆 E 于 A, B 两点, C 是椭圆 E 上一点,直线 OC 的斜率为 k 2 ,且 2

2 , M 是线段 OC 延长线上一点,且 MC : AB ? 2 : 3 , ? M 的半径为 MC , OS , OT 是 ? M 的两条 4

切线,切点分别为 S , T .求 ?SOT 的最大值,并求取得最大值时直线 l 的斜率.

17.( 2017 北京理)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 过点 P(1,1) .过点 (0, ) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点

1 2

M , N 过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP, ON 交于点 A, B ,其中 O 为原点.
(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证: A 为线段 BM 的中点.

18.(2017 天津理)设椭圆
2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率为 .已知 A 是抛物 2 2 a b
1 . 2

线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, F 到抛物线的准线 l 的距离为 (1)求椭圆的方程和抛物线的方程;

(2)设 l 上两点 P , Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ) ,直线 BQ 与 x 轴相交

-4-

于点 D .若 △APD 的面积为

6 ,求直线 AP 的方程. 2

B( , ) , 19. (2017 浙江) 如图, 已知抛物线 x 2 ? y , 点 A (? , ), 抛物线上的点 P ( x, y )( ?
点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q . (1)求直线 AP 斜率的取值范围;

1 1 2 4

3 9 2 4

1 3 ?x? ). 过 2 2

(2)求 | PA | ? | PQ | 的最大值.

20.(2017 江苏) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
F2 ,离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , a 2 b2

1 ,两准线之间的距离为 8 . 点 P 在椭圆 E 上, 且位于第一象限, 过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1 , 2

过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 E 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.

-5-

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