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2011高考数学一轮复习(例题解析):11.2 概率的应用

时间:2010-10-05


2011 高考数学一轮复习(例题解析): 数学一轮复习(例题解析): ):11.2 概率的应用
A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相 同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________. 解析:当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法;当取出

的小球标注的 数字之和为 6 时,有{1,5},{2,4}两种取法,所以符合条件的取法种数为 3 种,而所有的取 3 3 法有 10 种,故所求的概率为 .答案: 10 10 → → → 2. 已知 k∈Z, =(k,1), =(2,4), AB AC 若|A B |≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率为________. 解析:|A B |≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3. B C =(2-k,3).若 A B B C =-k2+2k+3=0,则 k=-1,k=3;若 B C A C =0,则 k 3 3 → → =8(舍);若 A B A C =0,则 k=-2.故 P= .答案: 7 7 3.(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别 标有数字 1,4 的 2 张卡片.若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数字 之和为奇数的概率是________. 解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共 4 种情形,而从两个盒子中各 1 1 抽取一张卡片共有 8 种情况,所以所求概率为 .答案: 2 2 4.(2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若 从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9), (2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共 10 种情况.满足长度恰好 相差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 种情况,所以它们的长度恰好相差 0.3 m 2 1 1 的概率为 P= = .答案: 5 10 5 5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中,A B 与 a 同向,C B 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是________. 解析:要使∠ABC 是钝角,必须满足 A B C B <0,即 ab=n-m>0.连掷两次骰子所得 5 点数 m,n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是 . 12 6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝 1 色球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取 出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率. x 1 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得 = ,解得 x=4,∴红色球有 4 个. 24 6 (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A,所有的基本事件有(红 1,白 1),(红 1,蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,





→ →

→ →





→ →

白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 个.事件 A 包含 的基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 5 个,所以 P(A)= . 12 B组 1.(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k,k+1,其 中 k=0,1,2,…,19.从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和 (例如:若取到标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不小于 14”为 A,则 P(A)=________. 解析:对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况: 1 (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19),而基本事件有 20 种,因此 P(A)= . 4 1 答案: 4 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形,则按此规律第 100 个图形 中有白色地砖________块;现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中,则豆子落在白色地砖 上的概率是________.

解析:白色地砖构成等差数列:8,13,18,…,5n+3,… 503 ∴an=5n+3,a100=503,第 100 个图形中有地砖 503+100=603,故所求概率 P= . 603 503 答案:503 603 3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上 的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为________. 解析:分别从 A 和 B 中各取 1 个数,一共有 6 种等可能的取法,点 P(a,b)恰好落在 直线 x+y=2 上的取法只有 1 种: (1,1); 恰好落在直线 x+y=3 上的取法有 2 种: (1,2), (2,1); 恰好落在直线 x+y=4 上的取法也有 2 种:(1,3),(2,2);恰好落在直线 x+y=5 上的取法只 1 1 1 1 有 1 种:(2,3),故事件 Cn 的概率分别为 , , , (n=2,3,4,5),故当 n=3 或 4 时概率最 6 3 3 6 大.答案:3 和 4 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 种,所以所求概 10 5 5 率为 = .答案: 16 8 8 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________.

解析:显然 mn=a-2b=0,所有可能的结果为(a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件 1 1 总数为 36,则概率为 .答案: 12 12 6.(2010 年南京高三调研)如图, 将一个体积为 27 cm3 的正 方体木 块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 小正方体,从中 任取一 块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 . 解析: 据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是 大正方 体的各条棱的中点时满足条件.正方体共 12 条棱,所以 两面涂 色的小正方体有 12 个,而所有小正方体有 27 个,所以, 所求的 4 12 4 概率为 P= = .答案: 9 27 9 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 所取两数 m>n 的概率是________. 解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,n=1,3,5; 15 m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P= =0.6.答案:0.6 25 8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集合 B={(x,y)|y≤- x+5}.先后 掷两颗骰子,设掷第一颗骰子得点数记作 a,掷第二 颗骰子得点 数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概率等于 . 解析:如图:满足(a,b)∈(A∩B)的(a,b)值共有 8 个,(1,1), 2 2 8 = .答案: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2). ∴P= 9 9 6×6 9.(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为 2 2 的概率为 (x,y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2) +(y-2) ≤4 ________. 解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、y∈Z,则基本事件 总数为 n 2 2 =25,P 满足(x-2) +(y-2) ≤4,∴满足条件的整 点 有 6 6 (0,2),(1,2),(2,2),(1,1),(2,1),(2,0)6 个,故 P= . 答案: 25 25 10.(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰 子(均匀 的正方体,六个面上分别为 1,2,3,4,5,6 点),所得点数分别为 x,y. (1)求 x<y 的概率;(2)求 5<x+y<10 的概率. 解:记基本事件为(x,y),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共 36 个基本事件. 其中满足 x<y 的基本事件有(1,2), (1,3), (1,4)(1,5)(1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个. 满足 5<x+y<10 的基本事件有(1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共 20 个. 15 5 (1)x<y 的概率 P(x<y)= = ; 36 12 20 5 (2)5<x+y<10 的概率 P(5<x+y<10)= = . 36 9 11.晚会上,主持人面前放着 A、B 两个箱子,每箱均装有 3 个完全相同的球,各箱的 3

个球分别标有号码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (1)若用(x,y)分别表示从 A、B 两箱中摸出的球的号码,请写出数对(x,y)的所有情形, 并回答一共有多少种; (2)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (3)请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大?说明理由. 解:(1)数对(x,y)的所有情形为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2), (3,3),共 9 种. (2)记“所摸出的两球号码之和为 5”为事件 A, 则事件 A 包含的基本情形有(2,3), (3,2), 2 共 2 种,所以 P(A)= . 9 (3)记“所摸出的两球号码之和为 i”为事件 Ai(i=2,3,4,5,6), 由(1)可知事件 A2 的基本结果为 1 种,事件 A3 的基本结果为 2 种,事件 A4 的基本结果 1 2 为 3 种,事件 A5 的基本结果为 2 种, 事件 A6 的基本结果为 1 种,所以 P(A2)= ,P(A3)= , 9 9 3 2 1 P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= . 9 9 9 故所摸出的两球号码之和为 4 的概率最大,即猜 4 获奖的可能性最大. 12.从某学校高三年级共 800 名男生中随 机 抽 取 50 人测量身高.据测量,被测学生身高全 部 介 于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结果按如 下方式分 成 八 组 : 第 一 组 [155,160) ; 第 二 组 [160,165);…;第八组[190,195].如图是 按上述分 组方法得到的频率分布直方图的一部 分.已知 第一组与第八组人数相同,第六组、第七 组、第八 组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生 身 高 在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、 第七组的频率并补充完 整频率分 布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人, 记他们的身高分别为 x、 y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率. 解:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2,设第 六组人 数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m, 又 m+ 2=2(7-m),解得 m=4,所以第六组人数 为 4, 第七组人数为 3,频率分别等于 0.08,0.06. 频率 分别等于 0.016,0.012.其完整的频 率分布 组距 直方图如图. (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4, 设为 a、b、c、d,身高在[190,195]内的人数为 2, 设 为

A、B,若 x,y∈[180,185)时,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 7 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7,∴P(|x-y|≤5)= . 15


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