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二面角大小的求法[1]


雨 峰 工 作 室

?
l
? ?

?
l

?
l
?

竖立式

横卧式

[0,π]
二 面 角 大 小 的 求 法

A

?
l

/>o

?
l
? o
B A A

?
C o

B

l

A1 C1

?

?

?

B

B1

定义法

垂面法

三垂线法

射影面积法

cos? ?
二 面 角 大 小 的 求 法

S 射影多边形 S 多边形

?

m?
?

n
?

? ? l ? ? 的大小为 ? ,向量 m、 n 的夹角为? ,
结论① ? 结论②

设 m 和 n 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角

?? ? ?



? ??
n?m n?m

l

?

?

n
?

平面 ? 与平面 ? 所成的二面 角? 的计算公式是:

?
l

? ? arccos

n?m n?m

? ? ? ? arccos

(当二面角为锐角、直角时)

(当二面角钝角时)

m
二 面 角 大 小 的 求 法

例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中, AD∥BC, 1 ∠ABC=90°,SA⊥平面AC,SA=AB=BC=1,AD= . 2 S 求面SCD与面SAB所成的角的大小。
法1:可用射影面积法来求,这里只要求 出S△SCD与S△SAB即可, 故所求的二面角θ应满足
B C

cos ?

S ?SAB ? S ?SCD
=
1 ? 1? 1 2 1 2 ? 3? 2 2

A

D

6 = 3
二 面 角 大 小 的 求 法

例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中, AD∥BC, 1 ∠ABC=90°,SA⊥平面AC,SA=AB=BC=1,AD= . 2 求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法2:(三垂线定理法) 延长CD、BA交于点E,连结SE,
S B F C

SE即平面CSD与平面BSA的交线. 又∵DA⊥平面SAB,∴过A点作SE的垂线交于F.如图.

1 ∵AD= BC 且AD∥BC 2
∴△ADE∽△BCE

A

D

∴EA=AB=SA
E

又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形,F为中点,
1 2 2 AF ? SE ? SA ? 2 2 2

又∵DA⊥平面SAE,AF⊥SE

评注:常规法求解步骤:一作:作出或找出相应空间角; ∴由三垂线定理得 DF⊥SE

二证:通过简单的判断或推理得到相应角;三求:通过计 ∴∠DFA 为二面角的平面角, DA 2 算求出相应的角。 ? ∴tan DFA= 即所求二面角的正切值. FA 2 二 面 角 大 小 的 求 法

例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中, AD∥BC, 1 ∠ABC=90°,SA⊥平面AC,SA=AB=BC=1, AD= . 2 求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法3:(向量法) 如图,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0), 1 D(0, ,0),S(0,0,1), 易知平面SAB的法向量为
2

z

S B C

1 m =(0, ,0); 2
A D

设平面SDC的法向量为 n =(x,y,z),

= = 3 m n 1? 6 平面角,往往很不简单。利用建立空间直角坐标系,避开了“作、证” 令 得: 1 x? 1 。即 y ? 2, z ? 2 两个基本步骤,通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的, 6 θ=arccos ∴ 解题过程实现了程序化,是一种有效方法。 3 =(1 ,2,1)

x 1 ? n ? DC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? 2 评注:通过此例可以看出:求二面角大小(空间面面角等于二面角 得 ? ∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ ? 1 ?? y ? z ? 0 DS ? 0 ? n ?或其补角)的常规方法是构造三角形求解,其关键又是作出二面角的 m?n 1
? ? 2

y

?cos ? n,m ??

6

n

故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos 角 大 小 的 求 法

6 3





例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上 的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面 所成二面角的大小. A A
解: (几何法)在平面A1B1B内延长DE和A1B1交于F,则 F是面DEC1与面A1B1C1的公共点,C1也是这两个面的公共 点,连结C1F,C1F为这两个面的交线,所求的二面角就是 D-C1F-A1.
.

B D

.1 ∵ A1D∥B1E,且A1D=2B1E,∴E、B1分别为DF和A1F的中点A ∵A1B1=B1F=B1C1, ∴FC1⊥A1C1. 又面AA1C1C⊥面A1B1C1,FC1在面A1B1C1内, ∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内, ∴FC1⊥DC1.

E B1 F

C1

∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角. ? 由已知A1D=B1C=A1C1,∴∠DC1A1= 故所求二面角的大小为 4 面 角 大 小 的 求 法

? 4



例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上 的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面 z 所成二面角的大小. A A
解:(向量法)建立如图的空间直角坐标系
则,B1 ( 3,1,0) E( 3,1,1)
C1 (0,2,0) D(0,0,2)
A1

A ? xyz,

B D

C1 易知平面A1B1C1的法向量为 =(0,0,1), n E 设平面DEC1的法向量为 m=(x,y,z), B1 x 而 ? m ? DE ? 0 ? ? 3x ? y ? z ? 0 ? ? ? ? ? 2 y ? 2z ? 0 ? ?m ? DC1 ? 0 ? 面A1B1C1与面DEC 1所成角的 不妨设x ? 0, 得y ? z ? 1 二面角为锐角?

y

? m ? (0,1,1) ? cos(n, m) ?
二 面 角 大 小 的 求 法

2 2

?? ?

?

4

向量法









小 的





课堂练习:如图, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形, AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=DA=AB=1,P、Q 分别 是CC1、C1D1的中点,求二面角B-PQ-D的大小。
解:建立如图所示的坐标系D---xyz,,则
1 B?1,1,0?, P(0,2, ), Q(0,1,1) A(1,0,0), 2 1 DA ? (1,0,0), BP ? (?1,1, ), BQ ? (?1,0,1). 2
D1

z

Q

C1

A1 D

B1

P

y
C

因DA⊥面PQD,所以

x
A B

DA是面PDQ的法向量。设

n ? ( x, y, z) 为面BPQ的法向量,则
n ? BP, n ? BQ
1 ? ?? x ? y ? z ? 0 ?? , 2 ? ? ?x?z ?0

? x?z ? ?z ? 2 y
n ? DA n ? DA


从图中可知,二面角B-PQ-D为锐角,
?


cos
二 面 角

n, DA ?
大 小 的

2 3

因此二面角B-PQ-D的大小为 arccos

2 3

如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为3,侧棱
AA1 ? 3 3 ,D是CB延长线上一点,且BD 2

? BC 。求二面角
A C A1 C1 B1

B1 ? AD ? B 的大小。

B D









小 的





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