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宁强一中高三数学试卷--三角函数专题训练 答案

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三角函数专题训练
1.(2011 年江苏理 15) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

2.(2011 年湖北理 16) 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 ? ABC (Ⅰ)求 的周长 (Ⅱ)求

3.(2011 年全国 I 理 17) △ ABC 的内角 A、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求 C.

) ? 2 cos A, 6 求 A 的值; 1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.
(1)若

sin( A ?

?

cos ? A ? C ?

的值

1 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 解:(1)由题设知 4 解:(Ⅰ) ? ? sin A cos ? cos A sin ? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0 ? c ? 2. 6 6 ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.


解:由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得 sin A ? sin C ? 2 sin B. …………3 分 又由于 A ? C ? 90?, B ? 180? ? ( A ? C ), 故
cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C)

tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?

?
3

.

(Ⅱ)

(2)由

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 ? 1 B ? , 所以 sin C ? cos A ? 2 3. 故△ABC 是直角三角形,且

1 1 15 ? cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4 15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8 ? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,
? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? ( 15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? 2 sin(90? ? 2C)

? 2 cos 2C. 2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2 cos(45? ? C ) ? cos 2C. 因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C ,
C ? 15?

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

4.(2011 年山东理 17) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

5.(2011 年浙江理 18) 在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. 1 2 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? , ac ? 4 b 已知 且 . 5 p ? ,b ? 1 4 (Ⅰ)当 时,求 a , c 的值; (Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

6.(2011 年湖南理 17) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . sin C (I)求 sin A 的值; 1 (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。

? (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角
A、B 的大小。

解:
a b c ? ? ? k, (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以 即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B ,
化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ).

解:
5 ? a?c ? , ? ? 4 ? ?ac ? 1 , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

解:(I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以
sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?
4

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 4 ? 1 或? c? , ? ? 4 ?c ? 1. 解得 ?
2 2 2 (II)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B

3? B? ? A. 4 (II)由(I)知 于是

sin C ? 2. 又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2sin A , 因此 sin A sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2 a.
由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2 3 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) 2 因为 ,
p ? 0, 所以
由题设知

? 3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ? 0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? ,即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3 ? 2 sin( A ? ) 6 取最大值 2. ? 3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值为 2,此时 综上所述, ? 5? A? ,B ? . 3 12

6 ? p ? 2. 2

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为

sin B ?
所以

15 . 4

1 1 15 15 S ? ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4 因此


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