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2015年全国高中数学联合竞赛解答(B卷)

时间:2016-08-05


2015 年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次

, 第 10、 11 小题 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分.

?a ? x , ? 1. 已知函数 f ( x) ? ? ? ? ? ?a log 2 x,

x ? [0,3], 其中 a 为实数. 如果 f (2) ? f (4) ,则 a 的 x ? (3, ??),

取值范围是 . 答案: (?2, ??) . 解: f (2) ? a ? 2 , f (4) ? 2a ,所以 a ? 2 ? 2a ,解得: a ? ?2 . 2. 已知 y ? f ( x) ? x 3 为偶函数, f (10) ? 15 .则 f (?10) 的值为 答案: 2015 . 解:由已知得 f (?10) ? (?10)3 ? f (10) ? 103 ,即 f (?10) ? f (10) ? 2000 ? 2015 . 3. 某 房 间 的 室 温 T ( 单 位 : 摄 氏 度 ) 与 时 间 t ( 单 位 : 小 时 ) 的 函 数 关 系是 : 其中 a, b 是正实数. 如果该房间的最大温差为 10 摄氏度, t ? (0, ??) , T ? a sin t ? b cos t , 则 a ? b 的最大值是 答案: 5 2 . 解:由辅助角公式: T ? a sin t ? b cos t ? a 2 ? b 2 sin(t ? ? ) ,其中 ? 满足条件 . .

= sin ?

b = , cos ? 2 a + b2

. 则函数 T 的值域是 ??? a 2 ? b 2 , a 2 ? b 2 ?? ,室内最大温 ? ? a +b

a

2

2

差为 2 a 2 ? b 2 ? 10 ,得 a 2 ? b 2 ? 5 . 故 a ? b ? 2?a 2 ? b 2 ? ? 5 2 ,等号成立当且仅当 a ? b ?

5 2. 2

如果二面角 A1 ? BD ? C1 4. 设正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形, 的大小是

? ,则 AA1 ? 3

.

答案:

6 . 2

解:取 BD 的中点 O ,连接 OA, OA1 , OC1 .

则 ?A1OC1 是 二 面 角 A1 ? BD ? C1 的 平 面 角 , 因 此
A1

D1 B1

C1

?A1OC1 ?

? . 又 OA1 ? OC1 , 所 以 ? OA1C1 是 等 边 三 角 形 . 故 3
D C O B

A1O ? A1C1 ? 2 ,所以

AA1 ? A1O 2 ? AO 2 ?

? ?

? 2? 2 6 ? ? . 2 ?? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?

2

A

5. 已知数列 {an } 是一个等差数列,首项与公差均为正数,且 a2 , a5 , a9 依次成等比数列, 则使得 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 100a1 的最小正整数 k 的值是 答案:34. 解:设数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , a9 ? a1 ? 8d .
2 ,即 因为 a2 , a5 , a9 依次成等比数列,所以 a2 a9 ? a5

.

(a1 ? d )(a1 ? 8d ) ? (a1 ? 4d ) 2 .
化简上式得到: a1d ? 8d 2 .又 d ? 0 ,所以 a1 ? 8d . 由

a1 ? a2 ? ? ? ak ? a1
解得 kmin ? 34 .

a1k ?

k (k ?1) d k (k ?1) 2 ?k? ? 100 . a1 16

6. 设 k 为实数, 在平面直角坐标系 xOy 中有两个点集 A ? ?( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 2( x ? y )? 和

B ? ?( x, y ) | kx ? y ? k ? 3 ? 0? . 若 A ? B 是单元集,则 k 的值是
答案: ?2 ? 3 . 解: 点集 A 是圆周 ? : ( x ?1) 2 ? ( y ?1) 2 ? 2 , 点集 B 是恒过 点 P (?1,3) 的直线 l : y ? 3 ? k ( x ? 1) 及下方(包括边界). 直线 l 是过点 P 作出这两个点集知, 当 A ? B 是单元集时, 的圆 ? 的一条切线.故圆 ? 的圆心 M (1,1) 到直线 l 的距离等于圆 k ?1 ? k ? 3 ? 2. 的半径 2 ,故 k 2 ?1 结合图像,应取较小根 k ? ?2 ? 3 .
O P(-1,3) y

.

M(1,1)

Γ x

y 2 x2 ? ? 1 上的一个动点,点 A, B 的坐标分 4 3 . 别为 (1, 1), (0, ?1) ,则 PA ? PB 最大值为
7. 在平面直角坐标系 xOy 中, P 是椭圆 答案:5. 解:取 F (0, 1) ,则 F , B 分别是椭圆的上、下焦点,由椭圆定义知, PF ? PB ? 4 .

因此, PA ? PB ? 4 ? PF ? PA ? 4 ? FA ? 4 ? 1 ? 5 .

? , 1? 当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 ? ? 时, PA ? PB 最大值为 5. ? ? ? 2 ? ?
8. 正 2015 边形 A1 A2 ? A2015 内接于单位圆 O ,任取它的两个不同的顶点 Ai , Aj ,

? 3

?

???? ???? ? OAi ? OAj ? 1 的概率是
答案:

.

671 . 1007 ???? ???? ? 解:因为 OAi ? OAj ? 1 ,所以

???? ???? ? 2 ???? 2 ???? ?2 ???? ???? ? ???? ???? ? OAi ? OAj = OAi ? OAj ? 2OAi ? OAj ? 2 1 ? cos OAi , OAj .

?

?

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 1 故 OAi ? OAj ? 1 的充分必要条件是 cos OAi , OAj ? ? ,即向量 OAi , OAj 的夹角不超 2


2? . 3

???? ? ???? ???? ???? ? 对任意给定的向量 OAi ,满足条件 OAi ? OAj ? 1 的向量 OAj 的取法共有:
? 2? 2? ? ? ? ? ? 2 ? 1342 ?? 3 2015 ??

???? ???? ? 2015?1342 671 . 种,故 OAi ? OAj ? 1 的概率是: p ? ? 2015? 2014 1007 二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
9. ( 本 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 3 , 且 对 任 意 正 整 数 m, n , 均 有

am?n ? am ? an ? 2mn .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)如果实数 c 使得 ?
i?1 k

1 ? c 对所有正整数 k 都成立,求 c 的取值范围. ai

解: (1)在 am?n ? am ? an ? 2mn 中令 m ? 1 可以得到 {an } 的递推公式:

an?1 ? a1 ? an ? 2n ? an ? (3 ? 2n) .
因此 ?an ? 的通项公式为:

an ? a1 ? ? (3 ? 2k ) ? 3 ?
k ?1

n?1

?5 ? (2n ? 1)?(n ?1)
2

. ? n(n + 2) …………………8 分

(事实上,对这个数列 {an } , a1 ? 1?3 ? 3 ,并且

am?n ? (m ? n)(m ? n ? 2) ? (m ? n) 2 ? 2(m ? n) ? (m 2 ? 2m) ? (n 2 ? 2n) ? 2mn

? am ? an ? 2mn ,
所以 an ? n(n ? 2) 是数列 {an } 的通项公式.) (2)注意到:

1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? n n ? 2? an n(n ? 2) 2 ?

k ? 1? 1 ? 3 1? 1 1 1? 1 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 1 2 4 2 1 2 a n n k k k k ? ? ? ? ? n?1 n n?1 k

…………………12 分 故?
n?1 k k ?3 ? 1 3 1 3 ,因此 c 的取值范围是 c ? ? ? ?? . ? ,并且 ? ? ( k ? ? ) ? ? ? 4 an 4 ?? 4 n?1 an

…………………16 分 10.(本题满分 20 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是 4 个有理数,使得

? ? 3 1 ? ? 1 ? i ? j ? 4? ? ??24, ? 2, ? , ? , 1, 3 ? . ? ? 2 8 ? ? ? ? 求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值.

?ai a j

解: 由条件可知, ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 是 6 个互不相同的数,且其中没有两个为相反 数 , 由 此 知 , a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 , 不 妨 设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , 则

ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ,最大与次大的两个
数分别是 a3 a4 及 a2 a4 ,从而必须有

? 1 ? ? a1a2 ? ? , ? ? 8 ? ? ? a a ? 1, ? 1 3 ? ? a2 a4 ? 3, ? ? ? ? ? ?a3 a4 ? ?24,
…………………10 分 于是 a2 ? ?

1 1 3 , a3 ? , a4 ? ? ?24a1 . 故 8a1 a1 a2

? 1 ? ? ? ? ? 3? 2? {a2 a3 , a1a4 } ? ? ?? 2 , ?24a1 ? ? ? ??2, ? ? , ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 8a1 ? ? ?

…………15 分

1 结合 a1 ? ? ,只可能 a1 ? ? . 4 1 1 1 1 由此易知 a1 ? , a2 ? ? , a3 ? 4, a4 ? ?6 或者 a1 ? ? , a2 ? , a3 ?? 4, a4 ? 6 .经 4 2 4 2 检验知这两组解均满足问题的条件. 9 故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? . 4
11. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 …………………20 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦 a 2 b2

点为 F ?c, 0? ,若存在经过点焦 F 的一条直线 l 交椭圆于 A、B 两点,使得 OA ⊥ OB . 求该 椭圆的离心率 e ?
c 的取值范围. a 解:设椭圆的右焦点 F 的坐标为 (c,0) .显然 l 不是水平直线,设直线 l 的方程为

x ? ky ? c ,点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) . 将直线 l 的方程与椭圆方程联立,消去
x得

?b2 k 2 ? a 2 ? y 2 ? 2kb2cy ? b2 ?c 2 ? a 2 ? ? 0 .
由韦达定理

? ? 2kb 2 c ? y1 ? y2 ? ? 2 2 , ? ? b k ? a2 ? ? ? b 2 ?c 2 ? a 2 ? b4 ? ? ?? 2 2 y1 y2 ? 2 2 . ? 2 ? b k ?a b k ? a2 ? ?
所以

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ky1 ? c)(ky2 ? c) ? y1 y2 ? ?k 2 ? 1? y1 y2 ? kc( y1 ? y2 ) ? c 2
2 ? ? ? ? b4 ? ? ?? ?? 2kb c ? ? kc ? ?k 2 ? 1?? ? ? c2 ? ? 2 2 2? 2 2 2 ? ? ? b k ?a ? ? ? b k ?a ? ?

?

?k 2b 2 ?1 ? c 2 ? ? a 2 c 2 ? b 4 b2 k 2 ? a 2

.
…………………5 分

因为 OA ⊥ OB 等价于 OA ? OB ? 0 ,故由上式可知,存在满足条件的直线 l ,等价于存在 实数 k ,使得

??? ? ??? ?

?k 2b 2 ?1 ? c 2 ? ? a 2c 2 ? b 4 b2k 2 ? a 2


?0,

k2 ?

a 2c 2 ? b 4 . b 2 ?1 ? c 2 ?



显然存在 k 满足①等价于

a 2c 2 ? b 4 ? 0 .

② …………………15 分

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ,所以②等价于 a 2c 2 ? ?a 2 ? c 2 ? ? 0 ,两边除以 a 4 得到
2

c2 ? c2 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2? ? ?0 , a2 ? ? a ?


2

e 2 ? ?1? e 2 ? ? 0 .
2

? 5 ?1 由于 e ? 1 ,解得: e ? ?? , ?? 2

? ? 1? ?. ? ?

…………………20 分

2015 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、 (本题满分 40 分)证明:对任意三个不全相等的非负实数 a, b, c ,有

(a ? bc) 2 + (b ? ca ) 2 + (c ? ab) 2 1 ≥ , (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 2
并确定等号成立的充分必要条件. 解:当 a, b, c 不全相等时,原不等式等价于
2(a ? bc) 2 + 2(b ? ca ) 2 + 2(c ? ab) 2 ≥ (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 .

上式可化简为
2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 ? 12abc ≥ ?2ab ? 2bc ? 2ca ,


a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + ab + bc + ca ≥ 6abc .



考虑到 a 2b 2 , b 2c 2 , c 2 a 2 , ab, bc, ca ≥ 0 ,故由平均不等式得,

a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + ab + bc + ca ≥ 6 6 a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2 a 2 ? ab ? bc ? ca = 6abc ,
因此原不等式成立. 下面考虑等号成立的充分必要条件.



…………………20 分

2 2 2 注意到②中等号成立的充分必要条件是 a 2b= b 2c= c 2 a= ab = bc = ca .

= bc = ca ,显然 a= b= c ,与条件矛盾! 若 abc ≠ 0 ,则 ab = bc = ca = 0 , 但 a, b, c 不 全 为 0 , 不 妨 设 a ≠ 0 , 则 若 abc = 0 , 则 ab b= c= 0 .类似可得其余两种情况,即 a, b, c 中恰有一个非零.这时原不等式中
等式确实成立. 因此,原不等式等号成立当且仅当 a, b, c 中有两个是 0,另一个为正数. …………………40 分

1

AB = AC , 二、 (本题满分 40 分) 如图, 在等腰 ?ABC 中,
I 为其内心, D 为 ?ABC 内一点,使得 I , B, C , D 四点共

A

圆.过点 C 作 BD 的平行线,与 AD 的延长线交于点 E . 2 求证: CD = BD ? CE . 证明:连接 BI , CI .设 I , B, C , D 四点在圆 O 上,延长 DE 交圆 O 于 F ,连接 FB, FC . 180° ? ∠BDC = ∠BFC . 因为 BD∥CE , 所以 ∠DCE = 又 由于 ∠CDE = ∠CDF = ∠CBF , 所以 ?BFC ∽ ?DCE ,从而 DC BF . = CE FC

I

D C

B

E



…………………10 分 再证明 AB, AC 与圆 O 相切. 1 1 事实上,因为 ∠ABI =∠ABC =∠ACB = ∠ICB ,所以 2 2 AB 与圆 O 相切.同理 AC 与圆 O 相切. …………………20 分 因 此 有 ?ABD ∽ ?AFB , ?ACD ∽ ?AFC , 故 BD AB AC DC ,即 = = = BF AF AF CF BF BD . ② = B FC DC …………………30 分 DC BD 2 ,即 CD 结合①、②,得 = BD ? CE . = CE DC …………………40 分 使得
a | bc ? 1, b | ac + 1, c | ab + 1 .

A

I

D C

O

E

F

三、 (本题满分 50 分) 证明: 存在无穷多个正整数组 (a, b, c) (a, b, c > 2015) ,

c ab + 1 的特殊情况,此时 c | ab + 1 成立. 证明:考虑=
由 a | bc ? 1 知, a | b(ab + 1) ? 1 ,故
a | b ?1 .

……………10 分 ① ②

由 b | ac + 1 知, b | a (ab + 1) + 1 ,故
b | a +1.

为满足①、②,取 a = k, b = k + 1(k ∈ N* ) ,此时 c = ab + 1 = k 2 + k + 1 . …………………40 分 当正整数 k > 2015 时, (a, b, c ) (k , k + 1, k 2 + k + 1) 均符合条件,因此满足条 = 件的正整数组 (a, b, c) 有无穷多个.
2

…………………50 分

四、 (本题满分 50 分)给定正整数 m, n (2 ? m ? n) .设 a1 , a2 , ?, am 是 1, 2, ?, n 中任取 m 个互不相同的数构成的一个排列.如果存在 k ? {1, 2, ?, m} 使得 ak ? k 为 奇数,或者存在整数 k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ,则称 a1 , a2 , ?, am 是一个“好 排列” .试确定所有好排列的个数. 解: 首先注意, “存在 k ? {1, 2, ?, m} 使得 ak ? k 为奇数”是指存在一个数与它 所在的位置序号的奇偶性不同; “存在整数 k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ”意味 着排列中存在逆序,换言之,此排列不具有单调递增性. 将不是好排列的排列称为“坏排列” ,下面先求坏排列的个数,再用所有排 列数减去坏排列数.注意坏排列同时满足: (1)奇数位必填奇数,偶数位必填偶 数; (2)单调递增. ………………10 分
?n ? m? ? 中任取 m ?? 2 ??

下面来求坏排列的个数. 设 P 是坏排列全体,Q 是在 1, 2, ?, ? 项组成的单调递增数列的全体. 对于 P 中的任意一个排列 a1 , a2 , ?, am ,定义
? a1 ? 1 a2 ? 2 a ? m? ? f (a1 , a2 , ? , am ) ? ? , , ?, m ? ? ?. ? ? 2 2 2 ?

因 为 ak ≤ n, k ≤ m , 故 由 条 件 ( 1 ) 可 知 , 所 有 的

ak + k 均属于集合 2

? ? n + m ?? ? ak + k ? ?1, 2, ? , ? ? .再由条件(2)可知, ? ? (k = 1, 2,? , m) 单调递增.故如 ? ? 2 ?? ? 2 ? ?
上定义的 f 给出了 P → Q 的一个映射.显然 f 是一个单射. ……………30 分

下面证明 f 是一个满射.事实上,对于 Q 中任一个数列 b1 , b2 , ?, bm ,令
ak = 2bk ? k (k =1, 2,? , m) .因为整数 bk +1 > bk ,故 bk +1 ≥ bk + 1 ,从而

ak +1 ?= ak 2(bk +1 ? bk ) ? 1 ≥ 1(1 ≤ k ≤ m ? 1) ,

故 a1 , a2 , ?, am 单调递增.
?n + m? 又 a1 ≥ 1 ,而 am ≤ 2 ? ? m ≤ n ,及 ak + k = 2bk 为偶数,故 a1 , a2 , ?, am 为 ? 2 ? ?

P 中的一个排列.显然 f (a1 , a2 , ?, am ) ? ?b1 , b2 , ?, bm ? ,故 f 是一个满射.

3

综上可见, f 是 P → Q 的一个一一映射,故 P = Q . 又 Q 中的所有数列与集合 ? ?1, 2, ? , ?
m Q ? C ?? m n ? m ? ,从而 P ? C ? n ? m ? . ? ? ?
?? 2 ?? ?? 2 ??

…………40 分

? ? ? ? ?

? ?n ? m?? ?? ? 的所有 m 元子集一一对应,故 ?? 2 ?? ? ? ?

最后,我们用总的排列数 P m n ?
n! ? C ?? m n?m ? . ? (n ? m)! ?? 2 ??

n! 扣除坏排列的数目,得所有的排列的 (n ? m)!

个数为

…………………50 分

4


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