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求椭圆的离心率两种通法的高考举例应用

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求椭圆的离心率两种通法的高考举例应用

(2014 年高考江西卷理科第 15 题 ) 过点 M (1,1)作斜率为 ?

1 的直线与椭圆 C : 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若 M 是线段 AB 的中点, 则椭圆 C 的离心率为 _ a 2 b2

析:考查了椭圆的方程以及椭圆与直线的位置关系.
1 解法 1:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) , 2

1 ? y ? 1 ? ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 2 由方程组 ? x 消去 x 得 y ? 2 ?1 2 ?a b ?

(4b2 ? a 2 ) y 2 ?12b2 y ? 9b2 ? a 2b2 ? 0 ,
由韦达定理得 y1 ? y2 ?
12b 2 y1 ? y2 6b 2 ? ?1, ,所以 4b 2 ? a 2 2 4b 2 ? a 2

所以 a 2 ? 2b 2 ,由 a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ,解得 e ? 所以椭圆 C 的离心率为

2 , 2

2 .解后反思:给出直线方程,然后利用韦达定理求解. 2

解法 2:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
? x12 y12 ? ? 1(1) ? ? a2 b2 则? 2 , 2 ? x2 ? y2 ? 1(2) ? ? a2 b2

(1)-(2)得

2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 y2 ? y1 b 2 x1 ? x2 b2 ?? ,所以 k AB ? , ?? 2. ?? 2 a2 b2 x2 ? x1 a y1 ? y2 a kOM

所以 ?

1 b2 2 ?? 2, 所以 a 2 ? 2b 2 , 由 a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) , 解得 e ? , 2 a 2 1 b2 2 .解法 3: k AB .kOM ? ? .1 ? ? 2 ,得 a 2 ? 2b 2 ,由 2 a 2

所以椭圆 C 的离心率为

a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ,解得 e ?

2 2 ,所以椭圆 C 的离心率为 . 2 2


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