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特征方程法求数列的通项公式


特征方程法求数列的通项公式
1.已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 ?
ax ? b cx ? d
a ? an ? b c ? an ? d

......① 其中 c ? 0, a d ? b c , n ? N .
*

定义 1:方程 x ?

为①的特征方程,

该方程的根称为数列 ? a n ? 的特征根,记为 ? , ? .
a n ?1 ? ? a n ?1 ? ? ? a ? c? a ? c? ? an ? ? an ? ?

定理 1:若 ? , ? ? a1 且 ? ? ? ,则
a ? c? a ? c?

.即 {

an ? ? an ? ?

} 为等比数列,公比



.
ax ? b cx ? d a?d c
?? ) c , b ? ? ? c ?

证明: x ?

? cx ? ( d ? a ) x ? b ? 0 ? ? ? ? ?
2

,? ? ? ?

b c

? d ? a ?? (

?

a n ?1 ? ? a n ?1 ? ?

?

a an ? b ?? c an ? d a an ? b ?? c an ? d

( a na? ) b? ( c a ) d ( ?a )c n ? ( ?? )d ? ? ? a b n ? ? ( a an ? b ? ? ( c na ? ) ) d ( a ? c ) n a ( ? ? d) ? ? b

?

( a ? c? )a n ? ? ? ? c ? a( ? c? ? c ? ? ) [ ( a ? c ? )a n ? ? ? ? c ? a( ? c? ? c ? ? ) [ ? an ? ? an ? ?

?

] a ? c? a n ? a ? c? ? ( ) ( ] a ? c? an ? a ? c? ? ( ) (

) )

?

a ? c? a ? c?

证毕

定理 2: 若 ? ? ? ? a1 且 a ? d ? 0 ,则
2c a?d

1 a n ?1 ? ?

?

2c a?d

?

1 an ? ?

. 即{

1 an ? ?

} 为等差数列,

公差为

.
2

证明: ? d ? a ? 2? c , b ? ? ? c
? 1 a n ?1 ? ? ? 1 aan ? b ca n ? d
?

? ??

ca n ? d ( a a n ? b ) ? ? ( ca n ? d )

?

ca n ? d (a ? ? c)an ? b ? ? d

ca n ? a ? 2 ? c ( a ? ? c ) a n ? (? c ? a ? ? 2 ? c )
2 2

?

ca n ? a ? 2 ? c ( a ? ? c )( a n ? ? )

?

ca n ? a ? 2 ? c a?d 2 (an ? ? )

?

2 ca n ? 2 a ? 4 ? c ( a ? d )( a n ? ? )

?

2 ca n ? ( a ? 2 ? c ) ? d ( a ? d )( a n ? ? )

?

2c(an ? ? ) ? (a ? d ) ( a ? d )( a n ? ? )

1

?

2c a?d

?

1 an ? ?

证毕

例 1. 09· ( 江西· 理· 22) 各项均为正数的数列 ? a n ? , a1 ? a , a 2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正数 m , n , p , q 都有
1 2 4 5
am ? an (1 ? a m )(1 ? a n ) ? a p ? aq (1 ? a p )(1 ? a q )

.

(1)当 a ?

,b ?

时,求通项 a n ;(2)略.
? a p ? aq (1 ? a p )(1 ? a q )

解:由

am ? an (1 ? a m )(1 ? a n )



a1 ? a n (1 ? a 1 )(1 ? a n )

?

a 2 ? a n ?1 (1 ? a 2 )(1 ? a n ? 1 )

将a ?

1 2

,b ?

4 5

代入上式化简得 a n ?
2x ?1 x?2

2 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2

,

考虑特征方程 x ?

得特征根 x ? ? 1

2 a n ?1 ? 1

所以

an ? 1 an ? 1

?

a n ?1 ? 2 2 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2

?1 ? ?1

? a ?1? a1 ? 1 1 1 a n ?1 ? 1 ? ? 为首项, ,所以数列 ? n ? ? 是以 a1 ? 1 3 3 a n ?1 ? 1 ? an ? 1 ?

公比为

1 3

的等比数列, 故

an ? 1 an ? 1

? ?

1

1 n ?1 1 n ?( ) ? ?( ) 3 3 3 1 a n ?1

即 an ?

3 ?1
n

3 ?1
n

.

例 2.已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2, a n ? 2 ?
1 x
1 an ? 1 ? (2 ? 1 1 a n ?1 ) ?1 ? 1? 1 1 a n ?1 ?

, n ? N ,求通项 a n .
*

解: 考虑特征方程 x ? 2 ?

得特征根 x ? 1
a n ?1 a n ?1 ? 1 ? 1? 1 a n ?1 ? 1

数列 ?

?

? 1 1 ? 1 为首项,公差为 1 的等差数列,故 ? n ? 是以 a1 ? 1 an ? 1 ? an ? 1 ? 1
a n ?1 ? 2 2 a n ?1 ? 1
2

即 an ?

n ?1 n

.

例 3. 已知数列 { a n } 满足 a1 ? 2, a n ?
x?2 2x ?1

( n ? 2 ) ,求数列 { a n } 的通项 a n

解:其特征方程为 x ?

,化简得 2 x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? ? 1 ,

2



a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1

? c?

an ? 1 an ? 1

,

由 a1 ? 2, 得 a 2 ?

4 5

,可得 c ? ?

1 3


n ?1

? an ? 1 ? a ?1 1 ? 1 ? 1 a1 ? 1 1 ? n ? ?? ? ? ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列, ? 数列 ? ? 是以 an ? 1 3 ? 3 ? 3 a1 ? 1 3 ? an ? 1 ?
? an ? 3 ? ( ? 1)
n n n



3 ? ( ? 1)
n

例 4. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 2, a n ? 1 ?
2x ?1 4x ? 6

2an ? 1 4an ? 6

( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项 a n
*

解:其特征方程为 x ? 令
1 a n ?1 ? 1 2 ? 1 an ? 1 2

,即 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? x 2 ? ?
2

1 2



?c

由 a1 ? 2, 得 a 2 ?

3 14

,求得 c ? 1 ,

? ? ? 1 ? 1 2 ? 为首项,以 1 为公差的等差数列, ? 数列 ? ? 是以 1 1 5 ? an ? ? a1 ? 2 ? 2?
? 1 an ? 1 2 ? 2 5 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 3 5

,? a n ?

13 ? 5n 10n ? 6

.

2.已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 2 ? c1 a n ? 1 ? c 2 a n ② 其中 c1 , c 2 为常数,且 c 2 ? 0, n ? N .
*

定义 2:方程 x ? c1 x ? c 2 为②的特征方程,该方程的根称为数列 ? a n ? 的特征根,记为 ? 1 , ? 2 .
2

定理 3:若 ?1 ? ? 2 ,则 a n ? b1 ?1 ? b 2 ? 2 ,其中 b1 , b 2 常数,且满足 ?
n n

? a 1 ? b1 ? 1 ? b 2 ? 2 ? a 2 ? b1 ? 1 ? b 2 ? 2
2 2

.

定理 4: 若 ?1 ? ? 2 ? ? ,则 a n ? ( b1 ? b 2 n ) ? ,其中 b1 , b 2 常数,且满足 ?
n

? a 1 ? ( b1 ? b 2 ) ? ? a 2 ? ( b1 ? 2 b 2 ) ?
?s ? t ? p ? st ? ? q
2

.

设 a n ? 1 ? ta n ? s ( a n ? ta n ?1 ) ,则 a n ? 1 ? ( s ? t ) a n ? sta (1) 若方程组(*)有两组不同的解 ( s 1 , t 1 ), ( s 2 , t 2 ) ,

n ?1

, 令?

(*)

则 a n ? 1 ? t 1 a n ? s 1 ( a n ? t 1 a n ?1 ) , a n ? 1 ? t 2 a n ? s 2 ( a n ? t 2 a n ?1 ) , 由等比数列性质可得 a n ? 1 ? t 1 a n ? ( a 2 ? t 1 a 1 ) s 1
n ?1

,

3

a n ?1 ? t 2 a n ? ( a 2 ? t 21 a 1 ) s 2

n ?1

,

? t 1 ? t 2 , 由上两式消去 a n ? 1 可得 a n ?

?a 2 ? t1 a 1 ? n .s 1 s 1 ?t 2 ? t 1 ?
? s1 ? s 2 ? t1 ? t 2

?

a 2 ? t 2 a1 s 2 ?t 2 ? t 1 ?

.s 2 .

n

(2) 若方程组(*)有两组相等的解 ?
2

,易证此时 s 1 ? t 1 ,则
n ?1

a n ? 1 ? t 1 a n ? s 1 ? a n ? t 1 a n ?1 ? ? s 1 ( a n ?1 ? t 1 a n ? 2 ) ? ? ? s 1
? a n ?1 s1 an s1
n n ?1

?a 2

? t1 a 1 ? ,

?

an s1
n

?

a 2 ? t1 a 1 s1
2

,即 ?

? an ? 是等差数列,由等差数列性质可知 n ? ? s1 ?

?

a1 s1

? ? n ? 1 ?.

a 2 ? t1 a 1 s1
2



?? 所以 a n ? ? ? a 1 ? a 2 ? t 1 a 1 2 ? s1 ?? s1 ?

? a ? t1 a 1 ? n ?? 2 .n ? s 1 2 ? s1 ? ? ?



例 5. 已知数列 { a n } 满足 a1 ? 2, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项 a n
*

解:其特征方程为 x ? 3 x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? 2 ,令 a n ? c1 ? 1 ? c 2 ? 2 ,
2

n

n

? c1 ? 1 ? a 1 ? c1 ? 2 c 2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1 , ? a 2 ? c1 ? 4 c 2 ? 3 ? c2 ? ? 2

? an ? 1 ? 2

n ?1

例 6.已知数列 { a n } 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, 4 a n ? 2 ? 4 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项 a n
*

?1? 解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x 2 ? ,令 a n ? ? c1 ? n c 2 ? ? ? , 2 ?2?
2

1

n

1 ? a ? ( c1 ? c 2 ) ? ? 1 ? 1 ? c1 ? ? 4 ? 2 由? ,得 ? , ? c2 ? 6 ? a ? (c ? 2c ) ? 1 ? 2 1 2 ? 2 ? 4

? an ?

3n ? 2 2
n ?1

例 7.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2, a 2 ? 8, a n ? 2 ? 4 a n ?1 ? 4 a n ,求通项 a n . 解: 考虑特征方程 x ? 4 x ? 4 得特征根 ? ? 2 ,
2

则 a n ? ( b1 ? b 2 n )2

n

其中 ?

? 2 ( b1 ? b 2 ) ? 2

? b1 ? 0 n ? ? ? an ? n 2 . 4 ( b1 ? 2 b 2 ) ? 8 b2 ? 1 ? ?

4


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