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高等数学下册期末考试试题及答案 3

时间:2014-07-23


高数

高等数学 A(下册)期末考试试题
大题 小题 得分 一 1 2 二 3 三 4 5 四 五 六 七

一、填空题: (本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分,把答案直接填在题中横线上)
1、已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , a ? 2 , b ? 2 ,则 a ? b ? .

>
?3 z 2、设 z ? x ln( xy) ,则 ? ?x?y 2



3、曲面 x 2 ? y 2 ? z ? 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为



4、设 f ( x ) 是周期为 2? 的周期函数,它在 [? ? , ? ) 上的表达式为 f ( x) ? x ,则 f ( x ) 的傅里叶级数 在 x ? 3 处收敛于 ,在 x ? ? 处收敛于
L

. .

5、设 L 为连接 (1, 0) 与 ( 0,1) 两点的直线段,则

? ( x ? y)ds ?

※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题: (本题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分)
2 2 2 ? ?2 x ? 3 y ? z ? 9 1、求曲线 ? 2 在点 M 0 (1, ?1, 2) 处的切线及法平面方程. 2 2 ? ? z ? 3x ? y

2、求由曲面 z ? 2 x2 ? 2 y 2 及 z ? 6 ? x 2 ? y 2 所围成的立体体积. 3、判定级数

? (?1)
n ?1

?

n

ln

n ?1 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? n

4、设 z ? f ( xy, ) ? sin y ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求

x y

?z ? 2 z . , ?x ?x?y

5、计算曲面积分

??
?

dS , 其中 ? 是球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 被平面 z ? h (0 ? h ? a) 截出的顶部. z

三、(本题满分 9 分) 抛物面 z ? x 2 ? y 2 被平面 x ? y ? z ? 1 截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离
的最大值与最小值.
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高数
(本题满分 10 分)
计算曲线积分

?

L

(e x sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ,

其中 m 为常数, L 为由点 A( a, 0) 至原点 O (0, 0) 的上半圆周 x2 ? y 2 ? ax (a ? 0) .

四、(本题满分 10 分)
求幂级数

xn 的收敛域及和函数. ? n n ?1 3 ? n

?

五、(本题满分 10 分)
计算曲面积分 I ?

?? 2x dydz ? 2 y dzdx ? 3( z
3 3 ?

2

?1)dxdy ,

其中 ? 为曲面 z ? 1 ? x2 ? y 2 ( z ? 0) 的上侧.

六、(本题满分 6 分)
设 f ( x ) 为连续函数, f (0) ? a , F (t ) ?

??? [ z ? f ( x
?t t ?0

2

? y 2 ? z 2 )]dv ,其中 ?t 是由曲面 z ? x 2 ? y 2

2 2 2 与 z ? t ? x ? y 所围成的闭区域,求 lim ?

F (t ) . t3

------------------------------------备注:①考试时间为 2 小时; ②考试结束时,请每位考生按卷面 ? 答题纸 ?草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。

高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准
第 2 页 共 2 页

2009 年 6 月

高数
一、填空题【每小题 4 分,共 20 分】 1、 ? 4 ; 2、 ? 二、试解下列各题【每小题 7 分,共 35 分】

1 ;3、 2 x ? 4 y ? z ? 14 ; 4、3,0; 5、 2 . y2

dz ? dy 3y ? z ? ?2 x ? dy 5x dz 7 x ? dx dx 1、解:方程两边对 x 求导,得 ? , 从而 , …………..【4】 ? ?? dx 4 z dy dz dx 4 y ? y ?z ? ?3x ? dx ? dx
该曲线在

?1, ?1,2? 处的切向量为 T ? (1,

5 7 1 , ) ? (8,10,7). …………..【5】 4 8 8

故所求的切线方程为

x ?1 y ?1 z ? 2 ………………..【6】 ? ? 8 10 7

法平面方程为

8? x ?1? ? 10 ? y ? 1? ? 7 ? z ? 2? ? 0



8 x ? 10 y ? 7 z ? 12 ……..【7】

? z ? 2x2 ? 2 y 2 ? x2 ? y 2 ? 2 ,该立体 ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy : x 2 ? y 2 ? 2 .…..【2】 2、解:? 2 2 ?z ? 6 ? x ? y
故所求的体积为 V

? ??? dv ? ? d? ?
?
0

2?

2 0

?d ? ?

6? ? 2 2?
2

dz ? 2? ?

2 0

? (6 ? 3? 2 )d ? ? 6? ……..【7】

3、解:由 lim n un
n??

? 1 1 ? lim n ln(1 ? ) ? lim ln(1 ? ) n ? 1 ? 0 ,知级数 ? un 发散…………………【3】 n?? n n?? n n ?1

又 | un

1 1 1 【7】 |? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ?| un?1 | , lim | un |? lim ln(1 ? ) ? 0 .故所给级数收敛且条件收敛. n?? n?? n n ?1 n

4、解:

?z 1 1 ? ( f1?? y ? f 2? ? ) ? 0 ? yf1? ? f 2? , ?x y y

…………………………………【3】

1 x ?2 z x 1 1 x ?? ? 2 f 2? ? 3 f 22 ?? .【7】 ?? ? x ? f12 ?? ? (? 2 )] ? 2 f 2? ? [ f 21 ?? ? x ? f 22 ?? ? (? 2 )] ? f1? ? xyf11 ? f1?? y[ f11 y y ?x?y y y y y
5、解: ? 的方程为 z 又
2 2 1 ? zx ? zy ?a

? a 2 ? x 2 ? y 2 , ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy ? {( x, y) | x2 ? y2 ? a2 ? h2} .

a 2 ? x 2 ? y 2 ,…..………【3】
a 2 ? h2

2? a 2 ? h2 ? d ? dS adxdy ? 1 ? ? ?? 2 ? a ? d? ? ? 2? a ? ? ln(a 2 ? ? 2 ) ? 故 ?? 2 2 2 2 0 0 z Dxy a ? x ? y a ?? ? 2 ?0 ?

a ? 2? a ln ..【7】 h

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高数
三、 【9 分】解:设 M ( x, y, z ) 为该椭圆上的任一点,则点 M 到原点的距离为 d ?
令 L( x, y, z) ? x
2

x 2 ? y 2 ? z 2 ……【1】

? y 2 ? z 2 ? ?( z ? x2 ? y 2 ) ? ?( x ? y ? z ?1) ,

? Lx ? 2 x ? 2? x ? ? ? 0 ? L ? 2 y ? 2? y ? ? ? 0 y ? ?1 ? 3 ? Lz ? 2 z ? ? ? ? ? 0 ,解得 x ? y ? 则由 ? ,z ?2 2 ? z ? x2 ? y 2 ? x ? y ? z ?1 ? ?

3 .于是得到两个可能极值点

M1 (

?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 , ,2 ? 3), M 2 ( , ,2 ? 3). …………………【7】 2 2 2 2

又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得. 故 d max

?| OM 2 |? 9 ? 5 3, d min ?| OM1 |? 9 ? 5 3. ……【9】

四、 【10 分】 解:记 L 与直线段 OA 所围成的闭区域为 D ,则由格林公式,得

I2 ?
而 I1

(e x sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? ?m ?? d? ? ? ma 2 .………………【5】 8 D L ?OA

?

?

? ? (ex sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? ?m? dx ? ?ma …………【8】
OA 0

a

? ?L (e x sin y ? m)dx ? (e x cos y ? mx)dy ? I 2 ? I1 ? ma ?
五、 【10 分】解: ? ? lim
n ??

?
8

ma 2 .

………………………【10】

an?1 n3n 1 ? lim ? ? R ? 3 ,收敛区间为 (?3,3) …………【2】 n ? 1 n?? ? n ? 1? 3 an 3
n

? ? ?1? ,收敛.……【4】 1 又当 x ? 3 时,级数成为 ? ,发散;当 x ? ?3 时,级数成为 ? n n ?1 n ?1 n

?

故该幂级数的收敛域为 令s

??3,3? ………【5】

? x? ? ?

xn ( ?3 ? x ? 3 ) ,则 n n ?1 n3
?

?

xn?1 1 ? x n?1 1 1 1 , ( | x |? 3 ) ……【8】 s?( x) ? ? n ? ? ( ) ? ? 3 n?1 3 3 1? x / 3 3 ? x n?1 3
于是 s( x) ?

?

x 0

s?( x)dx ? ?

x dx ( ?3 ? x ? 3 ) …………………. 【10】 ? ? ln ? 3 ? x ? 0 ? ln 3 ? ln ? 3 ? x ? , 0 3? x x

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高数

2 2 六、 【10 分】解:取 ?1 为 z ? 0( x ? y ? 1) 的下侧,记 ? 与 ?1 所围成的空间闭区域为 ? ,则由高斯公式,

有 I2

?

???1

?? 2 x dydz ? 2 y dzdx ? 3? z
3 3

2

? 1? dxdy ? ??? 6 ? x 2 ? y 2 ? z ? dv ………….… 【5】
?
2? 0 1 ? 1? 2 0

? 6 ? d? ? d ? ?
0

??

2

? z ?? dz ? 2? …………………….…【7】

而 I1

? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? ?? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? 3
?1 ?1

x 2 ? y 2 ?1

??

dxdy ? 3? ….… 【9】

? I ? I 2 ? I1 ? 2? ? 3? ? ?? . …………………….… 【10】
七、 【6 分】解: F ? t ? ?

?

2? 0

2 d? ? 4 sin ? d? ? ? r cos ? ? f ? r 2 ? ? ? r dr ….… 【2】 0 0? t

?

? t t ? ? ? ? 2? ? ? 4 sin ? cos ? d? ? r 3dr ? ? 4 sin ? d? ? f ? r 2 ? r 2 dr ? 0 0 0 0 ? ?

?t4 ?? ? ? 2? 2 ?8

?

??

t 0

? r 2 f ? r 2 ? dr ? ….… 【4】 ?

? t3 ? ? ? ? 2 ? 2 t 2 f (t 2 ) ? F ?t ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? lim f (t 2 ) ? 2 ? 2 ? a. 【6】 故 lim 3 ? lim 2 t ?0 ? t t ?0 ? t ?0 ? 3t 3 3

?

?

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