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高中数学3-1


高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

第三章 导数及应用

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第1课时 变化率与导数

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2016 考纲下载

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1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光 滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义,理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式(c,xm(m为有理数),sinx,cosx, ex,ax,lnx,logax的导数),掌握两个函数和、差、积、商的求 导法则,会求某些简单函数的导数.

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请注意 本章中导数的概念,求导运算、函数的单调性、极值和最 值是重点知识,其基础是求导运算,而熟练记忆基本导数公式 和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础,复习中要引 起重视.

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课前自助餐

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导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的瞬时变化率,记 作:y′|x=x0或f′(x0), f(x0+Δx)-f(x0) 即f′(x0)= . Δx (2)当把上式中的x0看做变量x时,f′(x)即为f(x)的导函数, f(x+Δx)-f(x) 简称导数,即y′=f′(x)= . Δx

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导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k =f′(x0),切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

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基本初等函数的导数公式 (1)C′=0(C为常数); (3)(sinx)′=cosx; (5)(ax)′=axlna; 1 (7)(logax)′=xlna; (2)(xn)′=nxn-1(n∈Q*); (4)(cosx)′=-sinx; (6)(ex)′=ex; 1 (8)(lnx)′=x.

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两个函数的四则运算的导数 若 u(x),v(x)的导数都存在,则 (1)(u± v)′=u′±v′; (2)(u· v)′=u′v+uv′; u′v-uv′ u (3)( )′= (v≠0); v v2 (4)(cu)′=cu′(c 为常数).

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1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同. (2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切 线意义是相同的. (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (5)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x.

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答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

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2.(课本习题改编)若函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1) Δy 及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δx等于( A.4 C.4+2Δx B.4x D.4+2(Δx)2 )

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答案 C 解析 Δy=(1+Δy)-1=f(1+Δx)-f(1) =2(1+Δx)2-1-1=2(Δx)2+4Δx, Δy ∴Δx=2Δx+4,故选C.

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3.曲线 y=lgx 在 x=1 处的切线的斜率是( 1 A. ln10 C.lne
答案 解析 1 . ln10 A

)

B.ln10 1 D.lne

1 1 因为y′= x· ,所以 y ′ | = x=1 ln10 ln10 ,即切线的斜率为

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4.下列函数求导运算正确的是________. ①(3 )′=3 log3e; π π ③(sin )′=cos ; 3 3
答案 ②
x x

1 ②(log2x)′=x· ln2; 1 ④( )′=x. lnx

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3 5.有一机器人的运动方程为s=t + t (t是时间,s是位移),
2

则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为________. 13 答案 4
解析 3 3 ∵s(t)=t + ,∴s′(t)=2t- 2. t t
2

3 13 ∴机器人在时刻t=2时的瞬时速度为s′(2)=4- = . 4 4

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6.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在 点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
答案 解析 1 因为 f(x)=ax3+x+1,所以 f′(x)=3ax2+1,所以 f(x)

在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=3a+1,又 f(1)=a+2,所以切线方 程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线上,所以 7-(a +2)=3a+1,解得 a=1.

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授人以渔

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? 题型一 导数的概念 例1 利用导数定义求函数f(x)= x在x=1处的导数.

f(1+Δx)-f(1) 【解析】 f′(1)= Δx = 1+Δx-1 Δx

( 1+Δx-1)( 1+Δx+1) = Δx( 1+Δx+1) = 1 1 =2. 1+Δx+1

1 【答案】 2
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探究1 (1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的 Δy 平均变化率Δx当Δx→0时极限是否存在. (2)利用导数定义求函数的导数时,先算函数的增量Δy,再 Δy f(x+Δx)-f(x) Δy 算比值Δx= ,再求极限y′= Δx. Δx

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(3)导数定义中,x在x0处增量是相对的,可以是Δx,也可以 是2Δx,-Δx等,做题要将分子分母中增量统一为一种. (4)导数定义lim f(x0+Δx)-f(x0) =f′(x0),也即lim Δx

f(x)-f(x0) =f′(x0). x-x0

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思考题1 设f(x)=x3-8x,则 f(2+Δx)-f(2) =________; Δx f(2-Δx)-f(2) =________; Δx f(x)-f(2) =________. x-2
【答案】 4,-4,4

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? 题型二 导数运算 例2 求下列函数的导数:

(1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=x2sinx; (3)y=3xex-2x+e; lnx (4)y= 2 . x +1

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【解析】 (1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1) =6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=24x3+9x2-16x-4. 方法二:y′=(3x3-4x)′·(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. (2)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.

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(3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3·ex+3xex-2xln2 =(ln3+1)· (3e)x-2xln2. (lnx)′(x2+1)-lnx·(x2+1)′ (4)y′= (x2+1)2 1 · (x2+1)-lnx·2x x2+1-2x2·lnx x = = 2 2 2 2 . (x +1) x(x +1)

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【答案】 (1)y′=24x3+9x2-16x-4 (2)y′=2xsinx+x2cosx (3)y′=(ln3+1)· (3e)x-2xln2 x2+1-2x2·lnx (4)y′= x(x2+1)2

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探究2 (1)熟记基本初等函数的导数公式及法则是导数运算 的前提. (2)公式不仅要会正用,而且要求会逆用!

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思考题 2

求下列各函数的导数:

x+x5+sinx (1)y= ; x2 (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x 2x (3)y=-sin2(1-2cos 4).

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3 5 【解析】 (1)y′=-2x-2+3x2-2x-3sinx+x-2cosx. (2)y′=3x2+12x+11. 1 1 1 (3)y′=(2sinx)′=2(sinx)′=2cosx.

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? 题型三 导数的几何意义 例3 1 3 4 已知曲线y= x + . 3 3

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.

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【解析】

(1)∵y′=x2,

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y -4=0. 1 3 4 1 (2)设曲线y= 3 x + 3 与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0, 3 4 x0 +3),则切线的斜率k=y′|x=x0=x02.
3

1 3 4 ∴切线方程为y-( x0 + )=x02(x-x0), 3 3

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2 3 4 即y=x0 ·x- x0 + . 3 3
2

2 3 4 ∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x0 -3x0 +3,
2

即x03-3x02+4=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0).故切线的斜率为k=x02=1, 5 解得x0=± 1,故切点为(1, ),(-1,1). 3 5 故所求切线方程为y-3=x-1或y-1=x+1. 即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
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【答案】 (1)4x-y-4=0 (2)4x-y-4=0或x-y+2=0 (3)3x-3y+2=0或x-y+2=0

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探究3 (1)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求 曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程,在点P处的 切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不论点P在不在曲线 上,点P不一定是切点.

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(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为: 第一步,设出切点坐标P′(x1,f(x1)); 第二步,写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f′ (x1)(x-x1); 第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1; 第四步,将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过 点P(x0,y0)的切线方程.

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思考题 3

(1)(2015· 新课标全国Ⅱ)已知曲线 y=x +lnx

在点 (1 , 1) 处的切线与曲线 y= ax2 + (a+ 2)x + 1 相切,则 a = ________.
1 【解析】 由 y′=1+ 可得曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切 x 线斜率为 2,故切线方程为 y=2x-1,与 y=ax2+(a+2)x+1 联立 得 ax2+ax+2=0,显然 a≠0,所以由 Δ=a2-8a=0?a=8. 【答案】 8

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(2)过点(1,-1)的曲线 y=x3-2x 的切线方程为________.

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【解析】 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 f′(x0)=3x02-2. 故切线方程为 y-y0=(3x02-2)(x-x0). 即 y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0). 又知切线过点(1,-1),代入上述方程, 得-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0). 1 解得 x0=1 或 x0=-2. 5 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=-4(x-1). 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. 【答案】 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0
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1.求f(x)在x=x0处的导数f′(x0),有两种方法: f(x0+Δx)-f(x0) (1)定义法:f′(x0)=lim . Δx (2)利用导函数求值,即先求f(x)在(a,b)内的导函数f′(x), 再求f′(x0).

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2.求复合函数的导数时,应选好中间变量,将复合函数分 解为几个基本函数,然后从外层到内层依次求导. 3.若f(x)在x=x0处存在导数,则f′(x0)即为曲线f(x)在点x0 处的切线斜率. 4.求曲线的切线方程时,若不知切点,则应先设切点,列 等式求切点.

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自 助 餐

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1.计算: (1)(x4-3x3+1)′=________; 1 (2)(lnx)′=________; (3)(xex)′=______; (4)(sinx·cosx)′=______. 1 3 2 答案 (1)4x -9x (2)- (3)ex+xex (4)cos2x x

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2.(2016· 陕西检测)已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3lnx 的一条切线,则m的值为( A.0 C.1
答案 B 解析 因为直线y=-x+m是曲线y=x2-3lnx的切线,所以令 3 3 y′=2x- x =-1,得x=1或x=- 2 (舍去),即切点为(1,1),又切 点(1,1)在直线y=-x+m上,所以m=2,故选B.

) B.2 D.3

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3.(2016· 福建八县联考)函数f(x)=excosx的图像在点(0,f(0)) 处的切线的倾斜角为( π A. 4 3π C. 4 答案 A ) B.0 D.1

解析 f′(x)=excosx-exsinx,所以 f′(0)=e0cos0-e0sin0=1, π 所以倾斜角 α= 4 .故选 A.

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4.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则函 数f′(x)的图像是( )

答案

A ? b ?-2>0, 由题意知? 2 4c - b ? <0, ? 4
? ?b<0, 即? 2 ? ?b >4c.

解析

又 f′(x)=2x+b,∴f′(x)的图像为 A.
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1 5.(2015· 陕西)设曲线y=e 在点(0,1)处的切线与曲线y= x
x

(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.

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答案 (1,1) 解析 因为y=ex,所以y′=ex,所以曲线y=ex在点(0,1) 处的切线的斜率k1=y′|x=0=e0=1,设P的坐标为(x0, 1 1 1 1 y0)(x0>0),则y0= x ,因为y= x,所以y′=- x2 ,所以曲线y= x 0 -1 在点P处的切线的斜率k2=y′|x=x0= x 2 ,因为k1·k2=-1, 0 1 所以- x 2 =-1,即x02=1,解得x0=± 1,因为x0>0,所以x0= 0 1,所以y0=1,即P的坐标是(1,1),所以答案应填(1,1).

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6.如图,函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-x +8,则 f(5)+f′(5)=________.

答案 解析

2 ∵x=5,∴f(5)=-5+8=3.又∵f′(5)=-1,

∴f(5)+f′(5)=3-1=2.

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π sinx 1 7.曲线y= - 在点M( ,0)处的切线的斜率为 4 sinx+cosx 2 ( ) 1 A.- 2 2 C.- 2 1 B. 2 2 D. 2

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答案 B 1 解析 ∵y′= ·[cosx(sinx+cosx)-sinx·(cosx (sinx+cosx)2 π 1 π 1 1 -sinx)]= =2,∴k=y′|x= 4 =2. 2,∴y′|x= 4 (sinx+cosx)

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8.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a,b 为常数.已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有 相同的切线 l,求 a,b 的值,并写出切线 l 的方程.
答案 解析 -2 5 x-y-2=0 f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线 y=f(x)

与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2) =g′(2)=1,由此解得 a=-2,b=5.从而切线 l 的方程为 x-y-2 =0.

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请做:题组层级快练(十四)

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