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空间中的平行关系(1-2)

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空间中的平行关系

1、平行直线
初中知识回顾: (1)平行直线 ----在同一平面内,不相交的的两条直线 (2)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知 直线平行
(3)性质:平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,

则这两条直线也互相平行.
性质(3)推广到空间,作为空间平行直线的基本性质:

/>
基本性质4 平行于 同一条直线的两条直线平行

基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 若a∥b,b∥c, 则 a∥c。
c
a

b

α

性质4又叫做空间平行线的传递性

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:?BAC和?B' A' C '的边AB // A' B' , AC // A' C ' ,

求证: 并且角的方向相同 ?BAC ? ?B' A' C ' . 证明 : 截取线段A' D ' ? AD, A' E ' ? AE.
因为: AD// A' D' , 所以: AA' D' D是平行四边形 .
D. B ' '

可得: AA //DD . .
' '

同理可得: AA' //EE' . .

A'

β

E. '

C'

于是: DD //EE .
' '

因此 : DD' E ' E是平行四边形 .

.D B
A
α

可得 : DE ? D E . ' ' ' 于是 : ?ADE ? ?A D E .
' '

E

.

C

因此 : ?BAC ? ?B ' A'C ' .

一组边的方向相同,而另一组边的 方向相反,又如何?

γ
α

β

? ?? ? ? ? ?,?互补 ? , ?互补?

如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行,它们成的角有何关系?

γ

α

推论 如果两条相交直线和另两条

相交直线分别平行,那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
γ

α

如图(1)所示:顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成 的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空 间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四 边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表 示.如图(2)中的空间四边形ABCD,线段AC,BD是它的 对角线.
A A

B C

D B C

D

(1)

(2)

例1:已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边的 AB,BC,CD,DA 的 中点.求证:四边形EFGH是平行 四边形

证明: 在?ABD中, 因为: E, H分别是AB, AD的中点 ,
1 所以 : EH // BD , EH ? BD. 2 1 同理 , FG // BD , 且FG ? BD. 2
E A

H D

所以: EH // FG, EH ? FG.

B F C

G

所以: 四边形EFGH是平行四边形 .

2.直线与平面平行 (1).空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面?内 直线a与平面?相交 直线a与平面?平行

?

A

B

a ? A ?

a

a

a??

a∩?=A

a//?

(2).如何判定一条直线和一个平面平行呢? 抽象概括: 直线与平面平行的判定定理 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直 线平行,那么这条直线和这个平面平行. a 即:a? ? a //? b?? ? b ? b//a a//? 简述为:线线平行?线面平行

已知 l ? α,m

?α,l // m,

求证:l //α.
从正面思考这个问题, P 有一定的难度,不妨从 反面想一想。 如果一条直线l和平面α相交,则l和α一 定有公共点,可设l∩α=P。

?

?

再设l与m确定的平面为β,则依据平面 基本性质3,点P一定在平面α与平面β的 交线m上。 于是l和m相交,这和l // m矛盾。 所以可以断定l与α不可能有公共点。 即l // α.

证明直线与平面平行,三个条件必须具 备,才能得到线面平行的结论. 三个条件中注意:“不在平面内,在平 面内、平行” 线线平行 线面平行 运用定理的关键是找平行线; 找平行线又经常会用到三角形中位线定理.

例2.已知空间四边形ABCD中, E,F分别为AB,AD

的中点
求证:EF//平面BCD. 证明:如图,连接BD,在△ABD中, A F D C

因为 E,F分别为AB,AD的中点, E 所以 EF ∥BD, 又因为BD ? 平面BCD, B EF ? 平面BCD,
所以 EF ∥平面BCD。

(3)线面平行的性质
问题1:命题“若直线l平行于平面α,则直 线l平行于平面α内的一切直线.”对吗?
l c

?

b

问题2:在上面的论述中平面?的直线b 满足什么条件时可以与直线l平行?
? l与平面?的任何直线都没有公共点, ? 过直线l的某一个平面,若与平面? 相交, 则直线l就平行于这一条交线。

直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果一条直线和一个平 面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行.
a

(2)图形语言:

?
a//α (3) 符号语言: a ? β α∩β=b

b

? a//b

已知:l //α,l

?β,α∩β=m,
? ?
l m

求证:l //m. 证明:因为l //α,所以
l与α没有公共点,

又因为m在α内,所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内,且没有公共点, 所以l //m. 这条定理,由“线面平行”去判断“线线平 行”

例2. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, 求证:m ? α. 证明:设l与P确定的平面为β, 且α∩β=m’, 则l //m’,又知l //m, m∩m’=P,
l

?

P

m

?

m'

由平行公理可知,m与m’重合. 所以m ? α.
l

?

P

m

?

m'

(1)以下命题 (其中a,b表示直线,?表示平面)

练习:

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b
其中正确命题的个数是(A) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

(2)下列命题中正确的个数是(B )

①若直线 l上有无数个点不在平面α内,则

l // α

②若直线 l 与平面α平行,则 l与平面α内的 任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行,则 l与平面α内的 任意一条直线都没有公共点. (A)0 (C)2 (B) 1 ( D )3

(3)、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1六个表面 中, (Ⅰ)与AB平行的直线有: 1B1、CD、C1D1 A (Ⅱ)与AB平行的平面有:平面A C 、平面D C 1 1 1
D1 A1 B1 C1

D A B

C

(4)、如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,E为DD1的中点。试判断BD1与平 面AEC的位置关系,并说明理由。
D1 A1 E D A
F

C1 B1 C B

(5)、如图,已知在三棱柱ABC—A1B1C1中, D是AC的中点。

求证:AB1//平面DBC1

A1

C1

B1

P
D A C

B

(6)、如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证:EF//平面BDD1B1.
D1 A1 B1 F C1 A1 D1 F C1 B1

M

ND M
A B E

C A

D E B

C

小结
基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且 方向相同,那么这两个角相等.

直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与

此平面平行.
直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。


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