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2.3离散型随机变量的均值与方差学案


2.3.1 离散型随机变量的均值
【学习目标】 1、了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列 求出均值或期望. 2、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布 列求出方差或标准差。 【学习重点】 1、离散型随机变量的均值(期望) 2、离散型随机变量的方差、标准差 【学习难点】 1、根据离散型随机变量的分布列求出均值(期望

) 、方差

5.分布列: 6.分布列的两个性质: 7.离散型随机变量的二项分布: 二、合作探究 问题情境: 某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2: 1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?

计算加权平均价格:
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【思考】如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,其中权数的实际含义怎样解
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2、比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 【学习过程】 一、复习回顾 1.随机变量: 2.离散型随机变量:

释?
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根据古典概型,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一颗糖果的概率 为 ,为第二颗糖果的概率为 ,为第三颗糖果的概率为 ,即取出的 , ,

这颗糖果的价格为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的概率分别为 和

。用 X 表示这颗糖果的价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为 因此权数恰好是随机变量 X X 18 24 36 的 。于是,每千克混合糖

3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这 样的变量就做连续型随机变量
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4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: ◆离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结 果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续 性随机变量的结果不可以一一列出 三、知识梳理
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果的合理价格可以表示为: P



◆若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则 ? 也是随机变量 并且不改变
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一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为

其属性(离散型、连续型)

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X
1

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… …

P

则称 EX =

为 X 的均值或数学期望,简称期望.

五、课堂小结 ①如果随机变量 X 服从两点分布, 则 EX ?

~均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量 取值的平均水平 【探究】设 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量. (1)Y 的分布列是什么? (2)EY=? X Y P
EY ?

②如果随机变量 X 服从二项分布,即 X~B(n,p) ,则
EX ?

③随机变量的均值与样本的平均数的联系与区别:

x1
ax1 ? b

x2
ax2 ? b

… … …

xi
axi ? b

… … …

xn axn ? b
【拓展提升】 1.一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中仅有一个选 项是正确。每题选对得 5 分,不选或选错不得分,满分 100 分 学生甲选对任一
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? ?

题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,分别 求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值(期望)
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数学期望的性质: 四、达标训练 1.已知随机变量 X 的分布列是 X P 则 EX ? 2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得 1 分,反面向上得-1 分,则得分 X 的均值为 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1 5 0.1

3.篮球运动员在比赛中,每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概 率为 0.7,求他罚球一次得分 X 的均值(期望) 。
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X P

1 p

0 【课后感悟】 1-p
2

2.3.2 离散型随机变量的方差
【学习目标】 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布 列求出方差或标准差。 【学习重难点】 离散型随机变量的方差、标准差 【学习过程】 一、 复习回顾 离散型随机变量的期望:

三、知识梳理 离散型随机变量的方差、标准差: 设离散型随机变量 X 的分布列为

则 ( xi ? EX ) 2 描述了 x i ( i ? 1, 2,…, n )相对于均值 EX 的偏离程度, 而 DX = ( x1 ? EX ) 2 ? p1 + ( x2 ? EX ) 2 ? p2 +…+ ( xn ? EX ) 2 ? pn = ? ( xi ? EX ) 2 pi
i ?1 n

为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。 我们称 DX 为随机变量 X 的方差,其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差, 记作 ?X ◆随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程 度。方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小。

二、合作探究 问题情境:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛。根据以往的成 绩记录,第一名同学与第二名同学击中目标靶的环数 X 1 与 X 2 的分布列为:

思考:随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?

X1
P

5 0.03

6 0.09

7 0.20

8 0.31

9 0.27

10 0.10

四、达标训练 1、已知随机变量 X 的分布列

X
X2
P

0 0.1

1 0.2

2 0.4

3 0.2 ,

4 0.1

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28

9 0.29

P
则 DX =

请问应该派哪名同学参赛?怎样定量刻画随机变量的稳定性?
3

?X =

.

2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

P

1 7

1 7

1 7
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1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

五、课堂小结 ① 若 X 服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p) ② 若 X~B(n,p),则 DX ? np(1 ? p) ③ D(aX ? b) ? a 2 DX 【拓展提升】 1、已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( A. 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; ) D. 10和0.8 5、甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9, 10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2; 射手乙击中环数 8 , 9 , 10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
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2、一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球,从中同时取出 2 个,则其中 含红球个数的数学期望是 (用数字作答) 6、现要发行 10000 张彩票,其中中奖金额为 2 元的彩票 1000 张,10 元的彩票 300 张,50 元的彩票 100 张,100 元的彩票 50 张。1000 元的彩票 5 张。问 1 张 彩票可能中奖金额的均值是多少元? 4
1 7

3、同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币,出现正面向上得硬币数 X 的均值为 4、已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1

1
1 7

2
1 7

3
1 7

5
1 7

6
1 7

7
1 7

P

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3 【课后感悟】
4


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