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12(必修1-根 式


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温故知新 2.正整数指数幂运算性质(m,n∈N*): (1)am· an= am (2) n = a (3)(am)n= (4)(ab)m=
教学过程


表示,这里的 n 为 .

1.在初中学过正整数指数幂:将 a· a· a· ?· a用

; ; ; ; (a≠0); 、

b (5)(a)n=

6)a0=

(a≠0);

(7)a-n=

.

3.如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的 有如下运算性质: (1) a2= (2)( a)2= 3 (3) a3= ; (a≥0); ;

;如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的

,它们

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3 (4)( a)3= 新课引入

.

一个叫杰米的百万富翁, 一天他碰上一件十分奇怪的事, 一个叫韦伯的人对他说: “我 想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你十万元,而你第一天只需给我一分钱,以 后每天给我的钱是前一天的两倍.” 杰米应该同意吗? 提示:不应该.因为如果同意,杰米在一个月内得到 310 万元,而仅第 31 天就要付 给韦伯 1 000 万元. 自主预习 探究:(1)如果 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反 数,如 4 的平方根为± 2;负数没有平方根.若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根,一个数的立 方根只有一个,如-8 的立方根为-2. (2)类比平方根、立方根的定义,一个数的 4 次方等于 a,则这个数叫 a 的 4 次方根, 一个数的 5 次方等于 a,则这个数叫 a 的 5 次方根,一个数的 6 次方等于 a,则这个数叫 a 的 6 次方根. (3)类比(2)得到,一个数的 n 次方等于 a,则这个数叫 a 的 n 次方根. (4)用一句话概括为:若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根. 总结:一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*,当 n 为 n n n 奇数时, 用符合 a表示, 当 n 为偶数时, 用符号± a表示, 其中式子 a叫做根式, 其中 做根指数, 叫做被开方数. 叫

【归纳提升】 (1)在实数范围内,正数的奇次方程是一个正数,负数的奇次方根是一 个负数,0 的奇次方根是 0. (2)在实数范围内,正数的偶次方根有两个,如 16 的 4 次方根是± 2,它们互为相反数, n 0 的偶次方根是 0,负数的偶次方根没有意义,即 n 为正偶数时, a有意义的条件是 a≥0. n为 ?a n (3) an=? ?|a| n为 n ,( a)n= .



通过以上所学,完成下列练习. (1)x5· x8=__________. (2)(-2x2)3=________. (3)(-3x)2· (-x)3=__________.
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?1 ? (4)?3x?-2· (3x-1)2=____________. ? ? 1 (5)______的 3 次方根为2. (6)0.01 的平方根为______. 4 (7) ?-2?2=________. 5 (8) ?-0.1?5=________. (9) 10 ?a+b?10=________.

(10)若 ?1-2x?2=2x-1,则 x 的取值范围是________. [答案] 1 (5)8 (1)x13 (2)-8x6 (7) 2 (3)-9x5 81 (4) x4

(6)± 0.1

(8)-0.1

1 (9)|a+b| (10)x≥2

思路方法技巧

学法指导:n 次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个. n (2)根式 a的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定:①当 n 为偶数 n n 时, a为非负实数;②当 n 为奇数时, a的符号与 a 的符号一致. [例 1] 用根式表示下列各式中的 x:

(1)已知 x6=2013,则 x=________. (2)已知 x5=-2013,则 x=________. [分析] 要求. [解析] 6 (1)由于 6 为偶数,所以 x=± 2013 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求及 n 次方根的个数

5 5 (2)由于 5 为奇数,所以 x= -2013=- 2013
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9 的平方根是________,-125 的立方根是________.

学法指导:1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根 式的性质进行化简或求值. n n 2.对 an与( a)n 的进一步认识 n n n (1)对( a)n 的理解:当 n 为大于 1 的奇数时,( a)n 对任意 a∈R 都有意义,且( a)n n n =a,当 n 为大于 1 的偶数时,( a)n 只有当 a≥0 时才有意义,且( a)n=a(a≥0). n n (2)对 an的理解:对任意 a∈R 都有意义,且当 n 为奇数时, an=a;当 n 为偶数时, n ?a?a≥0? an=|a|=? . ?-a?a<0? [例 2] 计算下列各式的值:

3 (1) ?-4?3; 6 (2) ?3-π?6; 8 (3) ?x-2?8; 4 (4) ?-9?2; 3 4 (5) 3-2 2+ ?1- 2?3+ ?1- 2?4. [解析] 3 3 (1) ?-4?3= -64,

因为(-4)3=-64, 3 3 所以 -64=-4,即 ?-4?3=-4; 6 (2) ?3-π?6=|3-π|=π-3; 8 (3) ?x-2?8=|x-2|
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?x≥2? ?x-2 =? . ?2-x ?x<2? 4 4 4 (4) ?-9?2= 81= 34=3; (5)因为 3-2 2=( 2)2-2 2+1 =(1- 2)2, 3 4 所以原式= ?1- 2?2+ ?1- 2?3+ ?1- 2?4=|1- 2|+(1- 2)+|1- 2| = 2-1+1- 2+ 2-1 = 2-1. 规律总结:(1)利用根式的性质解题的关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性 n 质,特别要注意在 an中,n 是偶数且 a<0 的情况. (2)对于根式的运算还要注意变式,整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全 立方公式的运用,做到化繁为简,必要时进行讨论.

化简下列各式: 5 (1) ?-2?5; 6 (2)(2012~2013 河北孟村回民中学月考试题) ?π-4?6; 4 (3) ?x+2?4; 7 (4) ?x-7?7. [分析] 由题目可获得以下主要信息:

n ①所给形式均为 an的形式; n ② an形式中 n 分为奇数和偶数两种. 解答本题可依据根式的性质 n ?|a| an=? ?a n为大于1的偶数 n为大于1的奇数 ,完成化简.

[解析]

5 (1) ?-2?5=-2.
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6 6 (2) ?π-4?6= ?4-π?6=4-π. 4 (3) ?x+2?4=|x+2| ?x≥-2? ?x+2 名师辩误做答 =? . ?-x-2 ?x<-2? 7 (4) ?x-7?7=x-7.

学法指导:对形如 a± 2 b的复合根式,在有些情况下是可能得到化简的,但并非 所有的这种类型都能化简,只要掌握其中较简单的基本类型即可. 将复合根式先化为 a± 2 b(a>0,b>0)的形式.若有 x1+x2=a,x1· x2=b,其中 x1>0, x2>0,x1>x2,则复合根式可写为 ? x1?2± 2 x1· x2+? x2?2 = ? x1± x2?2 = x1± x2, 也即若方程 x2-ax+b=0 有两个正的有理根, 则复合根式 a± 2 b可化简. [例 3] [分析] [解析] 计算 5-2 6+ 5+2 6 注意 a+2 b的配方或整体考虑运用方程思想. 解法一:原式= ? 2- 3?2+

? 2+ 3?2= 3- 2+ 3+ 2=2 3. 解法二:设 x= 5-2 6+ 5+2 6,则 x>0. 平方得 x2=(5-2 6)+(5+2 6)+2 ?5+2 6??5-2 6? 即 x2=12,∵x>0,∴x=2 3.∴原式=2 3.

n 1.没有正确理解 an=a 成立的条件 [例 4] 已知 a,b∈R,下列各式总能成立的有________.
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n 10 6 6 4 4 ①( a- b)6=a-b;② ?a2+b2?n=a2+b2;③ a4- b4=a-b;④ ?a+b?10=a +b. [错解] ②③④

由题意,得①显然不成立,②③④都成立. [错因分析] n 该解法中忽略了 an=a 成立的条件是只有当 n 为奇数, 或者当 n 为偶数

且 a>0 时才成立. [思路分析] [正解] ② n 要解决此类化简、求值题,关键是正确理解 an=a 成立的条件.

由题意,得①显然不对,②中∵a2+b2≥0,②一定成立,因此②对;③和④中,∵a, 10 4 4 b∈R,∴ a4=|a|, b4=|b|, ?a+b?10=|a+b|.

1.以下说法正确的是(其中 n∈N*)( A.正数的 n 次方根是一个正数
基础巩固训练 B.负数的 n 次方根是一个负数

)

C.0 的 n 次方根为 0 n D.a 的 n 次方根是 a 2. (2012~2013 山东淄博一中期中考试试题)下列运算正确中计算结果正确的是( A.a4· a3=a12 C.(a3)2=a5 3.以下运算正确的是( A. ?-a?2=a C. a2=|a| ) B. a2=-a D. a2=a ) B.a6÷ a3=a2 D.a3· b3=(a· b)3 )

4 4.(2012~2013 山东鱼台中学期中试题) ?-3?4的值是( A.3 C.± 3
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B.-3 D.1

5.以下正确的是( A. ?a-b?2=a-b B. ?a-b?2=|a-b|

)

C. a2-b2= a-b· a+b D. a a b= b )

6.已知 a、b∈R,则等式(a-b)· ?a-b?2=-(b-a)2 成立的条件是( A.a>b C.a=b 7.化简下列各式. (1) ?x-y?2; (2) x2-2x+1- x2+6x+9(-3<x<3). [分析] n 原式 → 含有 an的式子 → B.a<b D.a≤b

含有|a|形式的式子 → 求得结果 . 8.如果 m<-5,化简: |6-m|-|2m+1|+ m2+10m+25.

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本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

课后记

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

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12(必修1-根 式

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