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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷


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2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不

要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f ( x) = A.0

5 ? 4x + x2 在 ( ?∞, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3

( C )

[解] 当 x < 2 时, 2 ? x > 0 ,因此 f ( x) =

1 + (4 ? 4 x + x 2 ) 1 1 = + (2 ? x) ≥ 2 ? ? (2 ? x ) 2? x 2? x 2? x

1 = 2, 当且仅当 而此方程有解 x = 1 ∈ (?∞, 2) , 因此 f ( x) 在 ( ?∞, 2) = 2 ? x 时上式取等号. 2? x
上的最小值为 2. 2. A = [?2, 4) ,B = {x x 2 ? ax ? 4 ≤ 0} , B ? A , 设 若 则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) ( D )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 = 0 有两个实根

x1 =

a a2 a a2 ? 4+ , x2 = + 4 + , 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ≥ ?2 且 x2 < 4 ,即

a a2 a a2 ? 4+ ≥ ?2 且 + 4 + <4, 2 4 2 4
解之得 0 ≤ a < 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 ,乙在每局中获胜的概率为 3
( B )

1 , 且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为 3 241 670 266 274 A. B. C. D. 81 81 81 243 [解法一] 依题意知, ξ 的所有可能值为 2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

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2 1 5 ( ) 2 + ( )2 = . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有

5 P (ξ = 2) = , 9

4 5 20 , P (ξ = 4) = ( )( ) = 9 9 81 4 16 P (ξ = 6) = ( ) 2 = , 9 81
5 20 16 266 故 Eξ = 2 × + 4 × + 6 × = . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ξ 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P (ξ = 2) = P ( A1 A2 ) + P( A1 A2 ) =

5 , 9

P (ξ = 4) = P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , = 2[( )3 ( ) + ( )3 ( )] = 3 3 3 3 81 P (ξ = 6) = P ( A1 A2 A3 A4 ) + P ( A1 A2 A3 A4 ) + P ( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 16 = 4( ) 2 ( )2 = , 3 3 81 5 20 16 266 故 Eξ = 2 × + 4 × + 6 × = . 9 81 81 81
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 B. 764 cm3 D. 586 cm3 ( A )

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 a 2 + b 2 + c 2 = 564 , a 2 + b 2 + c 2 = 94 ,不 妨设 1 ≤ a ≤ b ≤ c < 10 ,从而 3c ≥ a + b + c = 94 , c > 31 .故 6 ≤ c < 10 . c 只能取 9,
2 2 2 2 2

(

)

8,7,6. 若 c = 9 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 92 = 13 ,易知 a = 2 , b = 3 ,得一组解 ( a, b, c ) = (2, 3, 9) . 若 c = 8 , a 2 + b 2 = 94 ? 64 = 30 ,b ≤ 5 . 2b ≥ 30 ,b ≥ 4 , 则 但 从而 b = 4 或 5. b = 5 , 若
2

则 a = 5 无解,若 b = 4 ,则 a = 14 无解.此时无解.
2 2

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若 c = 7 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 49 = 45 ,有唯一解 a = 3 , b = 6 . 若 c = 6 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 36 = 58 ,此时 2b ≥ a + b = 58 , b ≥ 29 .故 b ≥ 6 ,但
2 2 2 2

b ≤ c = 6 ,故 b = 6 ,此时 a 2 = 58 ? 36 = 22 无解.

?a = 2, ?a = 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b = 3, 或 ?b = 6, ?c = 9 ?c = 7. ? ?
体积为 V1 = 2 + 3 + 9 = 764 cm3 或 V2 = 3 + 6 + 7 = 586 cm3.
3 3 3

3

3

3

? x + y + z = 0, 5. 方程组 ? xyz + z = 0, 的有理数解 ( x, y , z ) 的个数为 ? ? xy + yz + xz + y = 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

( B )

? x + y = 0, ? x = 0, ? x = ?1, [解] 若 z = 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy + y = 0. ? y = 0 ? y = 1.
若 z ≠ 0 ,则由 xyz + z = 0 得 xy = ?1 . 由 x + y + z = 0 得 z = ?x ? y . ① ② ③

将②代入 xy + yz + xz + y = 0 得 x 2 + y 2 + xy ? y = 0 . 由①得 x = ?

1 ,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) = 0 . y

易知 y 3 ? y ? 1 = 0 无有理数根,故 y = 1 ,由①得 x = ?1 ,由②得 z = 0 ,与 z ≠ 0 矛盾,

? x = 0, ? x = ?1, 故该方程组共有两组有理数解 ? y = 0, 或 ? y = 1, ? ? ? z = 0 ? z = 0. ? ?
6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C + cos A 的取值范围是 sin B cot C + cos B
( C )

5 +1 ) 2 5 ?1 5 + 1 5 ?1 C. ( D. ( , ) , +∞) 2 2 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b = aq, c = aq 2 ,而
A. (0, +∞) B. (0,

sin A cot C + cos A sin A cos C + cos A sin C = sin B cot C + cos B sin B cos C + cos B sin C = sin( A + C ) sin(π ? B ) sin B b = = = =q. sin( B + C ) sin(π ? A) sin A a

因此,只需求 q 的取值范围.

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因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且 只需 a + b > c 且 b + c > a .即有不等式组

?a + aq > aq 2 , ?q 2 ? q ? 1 < 0, ? ? 即? 2 ? 2 ?aq + aq > a ?q + q ? 1 > 0. ? ?

?1 ? 5 5 +1 <q< , ? ? 2 2 解得 ? ? q > 5 ? 1 或q < ? 5 + 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 +1 5 ?1 5 + 1 <q< ,因此所求的取值范围是 ( , ). 2 2 2 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x) = ax + b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x ) = f ( x) , f n +1 ( x) = f ( f n ( x)) , n = 1, 2,3,L ,若

f 7 ( x) = 128 x + 381 ,则 a + b =

5

.

[解] 由题意知 f n ( x) = a n x + (a n ?1 + a n ? 2 + L + a + 1)b

= an x +

an ?1 ?b , a ?1 a7 ? 1 ? b = 381 ,因此 a = 2 , b = 3 , a + b = 5 . a ?1

由 f 7 ( x) = 128 x + 381 得 a 7 = 128 ,

1 8.设 f ( x ) = cos 2 x ? 2a (1 + cos x ) 的最小值为 ? ,则 a = 2
[解] f ( x) = 2 cos 2 x ? 1 ? 2a ? 2a cos x

?2 + 3



a 1 = 2(cos x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2
(1) a > 2 时, f ( x) 当 cos x = 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a < ?2 时, f ( x) 当 cos x = ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 当 cos x =

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2

1 又 a > 2 或 a < ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ? , 2

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 = ? ,解得 a = ?2 + 3 , a = ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 222 种.

[解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ?L ? | ?? |
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表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方 法相当于 24 + 2 = 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “|”,故有 C2 = 253 种. 23 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为 不定方程

x1 + x2 + x3 = 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 + x2 + x3 = 21 的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 21 2 H3 = C23 = C23 = 253 .

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10. 设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足:Sn + an = [解] an +1 = S n +1 ? Sn = 即 2 a n+1 = =

n ?1 ,n = 1, 2,L , 则通项 a n = 1 ? 1 . n( n + 1) 2n n(n + 1)

n n ?1 ? an +1 ? + an , ( n + 1)(n + 2) n( n + 1)

1 1 n+2?2 ? + + an (n + 1)(n + 2) n + 1 n(n + 1) ?2 1 , + an + (n + 1)(n + 2) n( n + 1) 1 1 . ) = an + ( n + 1)( n + 2) n(n + 1)

由此得 2 ( a n +1 + 令 bn = an +

1 1 1 , ( a1 = 0 ), b1 = a1 + = 2 2 n( n + 1)

1 1 1 1 有 bn +1 = bn ,故 bn = n ,所以 a n = n ? . 2 2 n( n + 1) 2
11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) = 2008 ,且对任意 x ∈ R ,满足

f ( x + 2) ? f ( x) ≤ 3 ? 2 x , f ( x + 6) ? f ( x) ≥ 63 ? 2 x ,则 f ( 2008) =
[解法一] 由题设条件知
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22008 + 2007



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f ( x + 2) ? f ( x) = ?( f ( x + 4) ? f ( x + 2)) ? ( f ( x + 6) ? f ( x + 4)) + ( f ( x + 6) ? f ( x)) ≥ ?3 ? 2 x + 2 ? 3 ? 2 x + 4 + 63 ? 2 x = 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x + 2) ? f ( x) = 3 ? 2 x ,故

f (2008) = f (2008) ? f (2006) + f (2006) ? f (2004) + L + f (2) ? f (0) + f (0) = 3 ? (22006 + 22004 + L + 22 + 1) + f (0)

= 3?

41003+1 ? 1 + f (0) 4 ?1

= 2 2008 + 2007 .
[解法二] 令 g ( x ) = f ( x) ? 2 x ,则

g ( x + 2) ? g ( x) = f ( x + 2) ? f ( x) ? 2 x + 2 + 2 x ≤ 3 ? 2 x ? 3 ? 2 x = 0 , g ( x + 6) ? g ( x) = f ( x + 6) ? f ( x) ? 2 x + 6 + 2 x ≥ 63 ? 2 x ? 63 ? 2 x = 0 ,
即 g ( x + 2) ≤ g ( x ), g ( x + 6) ≥ g ( x) , 故 g ( x) ≤ g ( x + 6) ≤ g ( x + 4) ≤ g ( x + 2) ≤ g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) = g (2008) + 22008 = g (0) + 22008 = 22008 + 2007 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

72 3



[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C1 //平面

ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的中心, PO ⊥ 面A1 B1C1 ,
垂足 D 为 A 1 B1C1 的中心.

1 因 VP ? A B C = S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

= 4 ? VO ? A1B1C1

1 = 4 ? ? S ?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD = 4OD = 4r ,从而 PO = PD ? OD = 4r ? r = 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P ,连接 OP ,则 1 1

PP = PO 2 ? OP 2 = (3r ) 2 ? r 2 = 2 2r . 1 1
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相 切时的情况, 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨 迹仍为正三角形,记为 P EF ,如答 12 图 2.记正四面体 1 答 12 图 1

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的棱长为 a ,过 P 作 PM ⊥ PA 于 M . 1 1 因 ∠MPP = 1

3 π ,有 PM = PP ? cos MPP = 2 2r ? = 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 1
6

2

P E = PA ? 2 PM = a ? 2 6r . 1
小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S ?P1EF =

3 2 2 ( a ? (a ? 2 6r ) 2 ) = 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r = 1 , a = 4 6 ,所以

S ?PAB ? S ?P1EF = 24 3 ? 6 3 = 18 3 .

答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) =| sin x | 的图像与直线 y = kx ( k > 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 α ,求证:

cos α 1+ α 2 . = sin α + sin 3α 4α
[证]

f ( x) 的图象与直线 y = kx

( k > 0) 的三个交点如答 13 图所
示,且在 (π , 3π ) 内相切,其切点 2 为 A(α , ? sin α ) , α ∈ (π , 3π ) . 2 …5 分

答 13 图

3 由于 f ′( x) = ? cos x , x ∈ (π , π ) ,所以 ? cos α = ? sin α ,即 α = tan α . 2 α
因此

…10 分

cos α cos α = sin α + sin 3α 2sin 2α cos α = = = 1 4sin α cos α cos 2 α + sin 2 α 4sin α cos α 1 + tan 2 α 4 tan α
…15 分

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=
14.解不等式

1+ α 2 . 4α

…20 分

log 2 ( x12 + 3x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1) < 1 + log 2 ( x 4 + 1) .
[解法一] 由 1 + log 2 ( x 4 + 1) = log 2 (2 x 4 + 2) ,且 log 2 y 在 (0, +∞) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 + 3x10 + 5 x8 + 3x 6 + 1 > 2 x 4 + 2 .
即 分组分解

x12 + 3x10 + 5 x8 + 3 x 6 ? 2 x 4 ? 1 > 0 . x12 + x10 ? x8 +2 x10 + 2 x8 ? 2 x 6 +4 x8 + 4 x 6 ? 4 x 4 + x6 + x 4 ? x 2 + x4 + x2 ? 1 > 0 ,

…5 分

( x8 + 2 x 6 + 4 x 4 + x 2 + 1)( x 4 + x 2 ? 1) > 0 ,
所以

…10 分

x4 + x2 ? 1 > 0 ,

( x2 ?
所以 x 2 >

?1 ? 5 2 ?1 + 5 )( x ? )>0. 2 2

…15 分

?1 + 5 ?1 + 5 ?1 + 5 ,即 x < ? 或x> . 2 2 2

故原不等式解集为 ( ?∞, ?

5 ?1 )U( 2

5 ?1 , +∞) . 2

…20 分

[解法二] 由 1 + log 2 ( x 4 + 1) = log 2 (2 x 4 + 2) ,且 log 2 y 在 (0, +∞) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 + 3 x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1 > 2 x 4 + 2 .


…5 分

2 1 + 6 < x 6 + 3x 4 + 3 x 2 + 1 + 2 x 2 + 2 = ( x 2 + 1)3 + 2( x 2 + 1) , 2 x x ( 1 3 1 ) + 2( 2 ) < ( x 2 + 1) 3 + 2( x 2 + 1) , 2 x x
…10 分

令 g (t ) = t 3 + 2t ,则不等式为

g(

1 ) < g ( x 2 + 1) , x2

显然 g (t ) = t 3 + 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

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1 < x2 + 1, x2
即 ( x 2 )2 + x 2 ? 1 > 0 ,解得 x 2 > 故原不等式解集为 ( ?∞, ?

…15 分 ( x2 < ?

5 ?1 2

5 +1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 )U( 2

5 ?1 , +∞) . 2

15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 = 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1)2 + y 2 = 1 内切于

?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.
[解] 设 P ( x0 , y0 ), B (0, b), C (0, c) ,不妨设 b > c . 直线 PB 的方程: y ? b =

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y + x0b = 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b + x0b
2 ( y0 ? b) 2 + x0

=1 ,

…5 分

2 2 故 ( y0 ? b) 2 + x0 = ( y0 ? b) 2 + 2 x0b( y0 ? b) + x0 b 2 ,

易知 x0 > 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b 2 + 2 y0b ? x0 = 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 + 2 y0 c ? x0 = 0 . 所以 b + c =

题 15 图 …10 分

? x0 ?2 y0 , bc = ,则 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 + 4 y0 ? 8 x0 . ( x0 ? 2) 2

(b ? c ) 2 =

2 因 P ( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 = 2 x0 ,则 2 2 x0 4 x0 , . b?c = ( x0 ? 2) 2 x0 ? 2

(b ? c ) 2 =

…15 分

x0 4 所以 S ?PBC = 1 (b ? c) ? x0 = ? x0 = ( x0 ? 2) + +4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

≥ 2 4 + 4 = 8.
当 ( x0 ? 2) 2 = 4 时,上式取等号,此时 x0 = 4, y0 = ±2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. …20 分

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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷

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2008年全国高中数学联合竞赛试卷A(有答案)

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理...