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2014全国高中数学联赛试题 (1)


2014 全国高中数学联赛试题
一、填空题
1、若正数 a , b 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log(a ? b) ,则

1 1 ? 的值为__________ a b

2、设集合 { ? b | 1 ? a ? b ? 2} 中的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m =___

______ 3、若函数 f ( x) ? x 2 ? a | x ?1 | 在 [0,??) 上单调递增,则 a 的取值范围为_______ 4、数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

3 a

2(n ? 2) a2014 an (n ? N ? ) ,则 =_________ n ?1 a1 ? a2 ? ... ? a2013

5、已知正四棱锥 P ? ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角形, M , N 分别是边 AB, BC 的 中点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是_____________ 6、设椭圆 ? 的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 ? 交于点 P, Q ,若 | PF2 |?| F1F2 | ,且

3 | PF 1 |? 4 | QF 1 | ,则椭圆 ? 的短轴与长轴的比值为__________
7、设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2 ,圆心为 I 。若点 P 满足 PI ? 1 ,则 ?ABC 与 ?APC 的面积之比的最大值为__________ 8、设 A, B, C , D 是空间四个不共面的点,以

1 的概率在每对点之间连一条边,任意两点之 2

间是否连边是相互独立的,则 A, B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概 率是__________

二、解答题
P 是不在 x 轴上一个动点, 9、平面直角坐标系 xOy 中, 满足条件: 过 P 可作抛物线 y ? 4 x
2

的两条切线,两切点连线 l P 与 PO 垂直。设直线 l P 与 PO , x 轴的交点分别为 Q, R , (1)证明: R 是一个顶点 (2)求

| PQ | 的最小值 | QR |

10、数 列 {an } 满 足 a1 ?

?
6

, an ?1 ? arctan(sec an )( n ? N ?) 求 正 整 数 m , 使 得

sin a1 sin a2 ......s i a nm ?

1 100

11、确 定 所 有 的 复 数 ? , 使 得 对 任 意 的 复 数 z1 , z 2 ( | z1 |, | z2 |? 1, z1 ? z2 ) , 均 有

( z1 ? ? )2 ? ? z1 ? ( z1 ? ? )2 ? ? z2

2014 全国高中数学联赛二试
一、(本题满分 40 分)设 a, b, c ? R ,满足 a ? b ? c ? 1 , abc ? 0 ,

求证: bc ? ca ? ab ?

abc 1 ? 2 4


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