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高中导数综合练习题

时间:2013-03-24


华龙版导数练习题 1 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的解析式;
3 2

(III)在(II)的条件下,函数 y ? f (x) 与

y ? 象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图 3

解:函数 f (x) 的导函数为 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b (I)由图可知 函数 f (x) 的图象过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0 得 ?
?d ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?d ? 3 ?? ?c ? 0 f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

(II)依题意

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 (III) f ?( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 9 .可转化为: x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 ? ?x 2 ? 4 x ? 3? ? 5x ? m 有三个不等 实根,即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8 x ? m 与 x 轴有三个交点; g ??x ? ? 3x 2 ? 14 x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4? ,

x
g ??x ?
g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?

2 3

?2 ? 4 ? ,? ?3 ?

4

?4, ? ? ?
+ 增

+ 增

0 极大值



0 极小值

2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间;

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 当且仅当 g ? ? ? ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, ? 3 ? 27 68 故而, ? 16 ? m ? 为所求. 27

3 1 m (II)函数 f (x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在 3 2 2 区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. a(1 ? x) 解: (I) f ' ( x) ? ( x ? 0) x 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为?0,1?, 减区间为?1,??? ? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为1,???, 减区间为?0,1?; 当 a=1 时, f (x) 不是单调函数

(II) f ' (4) ? ?

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 3 2 ? g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且g ' (0) ? ?2
? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.

?m ? ?3, 19 ? (8 分)? ? 19 (10 分) m ? (? ,?3) 3 ?m ? 3 , ? 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围;
(2a ? 3) 2 恰好有两个不同的根,求 f (x) 的解析式; 9 (III)对于(II)中的函数 f (x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81. 解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b, f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3

(II)若方程 f ( x) ? ?

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3), 2a ? 3 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 3 2a ? 3 所以 ? ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ; 3

(II)由下表:

x
f ?(x)

(??,1)

1

(1,?

2a ? 3 ) 3

?

2a ? 3 3

(?

2a ? 3 ,??) 3

+ 递增

f (x)

0 极大 值
?a?2

递减

0 极小值
a?6 (2a ? 3) 2 27

递增

a?6 (2a ? 3) 2 依题意得: ,解得: a ? ?9 (2a ? 3) 2 ? ? 27 9 所以函数 f (x) 的解析式是: f ( x) ? x3 ? 9 x 2 ? 15x

(III)对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有: f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2
f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74

函数 f ( x)在区间[?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, 所以 | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81. 4. 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f (x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数. 解: (I) f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,得 f (x) 的单调递增区间是 (0,??) , ∵ a ? 0 ,∴ f (a) ? f (0) ? 1 ,∴ e a ? a ? 1 ? a ,即 ea ? a .

a (II) g ?( x) ? 2 x ? ? x

2( x ?

x
g ?(x) g (x)

2a 2a )( x ? ) 2 2 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a ,列表 2 x 2a 2a 2a (0, ) ( ,??) 2 2 2

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

当x?

2a a a 2a 时,函数 y ? g (x) 取极小值 g ( ) ? (1 ? ln ) ,无极大值. 2 2 2 2

?e 2 a ? e a a 2a ? 由(I) ea ? a ,∵ ? a ,∴ e2 a ? ,∴ e a ? 2 2 ?a ? 2 ? g (1) ? 1 ? 0 , g (e a ) ? e 2 a ? a 2 ? (e a ? a)(e a ? a) ? 0
2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2a (ii)当 ? 1 ,即 a ? 2 时 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 2 ? a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 存在一个零点 x ? e ; 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 存在两个零点; 2 2 综上所述, y ? g (x) 在 (1, e a ) 上,我们有结论:

(i)当

当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x) 无零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有一个零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有两个零点. 5 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围; 解: (I)当 k ? 1 时, f ?( x) ?
2? x x ?1

,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 , f (x) 定义域为(1,+ ? ) ∵当 x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x)在(1, 2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴当 x ? 2 时, f ( x) 取最大值 f (2) ? 0 (II)①当 k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 图象有公共点, ∴函数 f ( x) 有零点,不合要求;
1 1 ? k ? kx ②当 k ? 0时 , f ?( x) ? ?k ? ?? x ?1 x ?1 k(x ? 1? k ) k x ?1

k ?1 k ?1 1 ,∵ x ? (1, )时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k 1 1 ∴ f ( x)在(1,1 ? ) 内是增函数, 在[1 ? , ??) 上是减函数, k k 1 ∴ f ( x) 的最大值是 f (1 ? ) ? ? ln k , k ∵函数 f ( x) 没有零点,∴ ? ln k ? 0 , k ? 1 ,

令 f ?( x) ? 0, 得x ?

因此,若函数 f ( x) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) . 6 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在 x ?[ ,3] 的最大值和最小值. 解: (I)由 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x 可得 f ?( x) ? (2 x ? a)e x ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x ? [ x 2 ? (2 ? a) x ? a ? 3]e x ∵ x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,∴ f ?(2) ? 0 ∴ (a ? 5)e2 ? 0 ,解得 a ? ?5 (II)由 f ?( x) ? ( x ? 2)( x ? 1)e x ? 0 ,得 f (x) 在 (??,1) 递增,在 (2,??) 递增, 由 f ?( x) ? 0 ,得 f (x) 在在 (1,2) 递减 ∴ f (2) ? e 2 是 f ( x) 在 x ?[ ,3] 的最小值;
3 7 3 3 7 3 1 3 3 f ( ) ? e 2 , f (3) ? e 3 ∵ f (3) ? f ( ) ? e 3 ? e 2 ? e 2 (4e e ? 7) ? 0, f (3) ? f ( ) 2 4 4 2 2 4 3 ∴ f ( x) 在 x ?[ ,3] 的最大值是 f (3) ? e 3 . 2

3 2

3 2

7 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)求函数 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 16 ln x , 16 2( x ? 2)( x ? 4) f ' ( x) ? 2 x ? 4 ? ? x x 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?2 注意到 x ? 0 ,所以函数 f (x) 的单调递增区间是(4,+∞) 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,解得-2< x <4, 注意到 x ? 0 ,所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (0,4] . 综上所述,函数 f (x) 的单调增区间是(4,+∞) ,单调减区间是 (0,4] (Ⅱ)在 x ? [e, e 2 ] 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x
2 ? a 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ? , x x 设 g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a 当 a ? 0 时,有△ =16+4× (2 ? a) ? 8a ? 0 , 2

所以 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?

此时 g ( x) ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 , f (x) 在 [e, e 2 ] 上单调递增, 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

当 a ? 0 时,△ = 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 , 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 x ? 1 ? 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 , ①若 1 ?
2a 2a 或 x ? 1? ; 2 2 2a 2a 解得 1 ? . ? x ? 1? 2 2

2a ≥ e 2 ,即 a ≥ 2(e 2 ? 1) 2 时, 2 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递减,所以 f ( x) min ? f (e 2 ) ? e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a .

2a ? e 2 ,即 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时间, 2 2a 2a 2 ] 上单调递减,在区间 [1 ? , e ] 上单调递增, f (x) 在区间 [e,1 ? 2 2 2a a 2a 所以 f (x) min ? f (1 ? ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ). 2 2 2 2a ③若 1 ? ≤ e ,即 0 ? a ≤2 (e ? 1) 2 时, f (x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递增, 2 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

②若 e ? 1 ?

综上所述,当 a ≥2 (e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? a 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a ;
a 2a ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ); 2 2 当 a ≤ 2(e ? 1) 2 时, f ( x) min ? e 2 ? 4e ? 2 ? a 8.已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x? (2, ??) 上不具有单调性. ...

当 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ?

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ? 数 x1、x2 ,不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?
2 ,试证明:对任意两个不相等正 x2

38 | x1 ? x2 | 恒成立. 27 a 2 x2 ? 6 x ? a 解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ? ? , x x ∵ f ( x) 在 x? (2, ??) 上不具有单调性,∴在 x? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, ...

即二次函数 y ? 2 x 2 ? 6 x ? a 在 x? (2, ??) 上有零点 ∵ y ? 2 x 2 ? 6 x ? a 是对称轴是 x ? 的实数 a 的取值范围 (??,4)
2 , x2 2 a 2 法 1: g ( x) ? f ?( x) ? 2 ? 6 ? 2 x ? ? 2 ( x ? 0) , x x x a 4 4 4 2 x3 ? 4 x ? 4 ∵ a ? 4 ,∴ g ?( x) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? , x x x x x3 4 4 8 12 4(2 x ? 3) 设 h( x) ? 2 ? 2 ? 3 , h?( x) ? 3 ? 4 ? x x x x x4 a x

3 ,开口向上的抛物线,∴ y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 2

(II)由(I) g ( x) ? 2 x ? ?

3 3 3 38 h( x) 在 (0, ) 是减函数,在 ( , ??) 增函数,当 x ? 时, h( x) 取最小值 2 2 2 27 38 38 38 ∴从而 g ?( x) ? ,∴ ( g ( x) ? x)? ? 0 ,函数 y ? g ( x) ? x 是增函数, 27 27 27 38 38 x1、x2 是两个不相等正数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 27 27 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ,∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ ? x1 ? x2 27 27



g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ,即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? | x1 ? x2 | ? x1 ? x2 27 27

法 2: M ( x1 , g ( x1 )) 、 N ( x2 , g ( x2 )) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两相异点,
g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2( x1 ? x2 ) a ? 2? ? ,? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 , a ? 4 2 x1 ? x2 x12 x2 x1 x2
?2 ? 2( x1 ? x2 ) a 4 a 4 4 ? ? 2? ? ? 2? ? 2 2 3 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 )

设t ?

1 x1 x2

, t ? 0 ,令 kMN ? u(t ) ? 2 ? 4t 3 ? 4t 2 , u?(t ) ? 4t (3t ? 2) ,

由 u?(t ) ? 0 ,得 t ? , 由 u?(t ) ? 0 得 0 ? t ? ,
2 2 3 3 2 38 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ,? u (t ) ? ,∴所以 ? u(t ) 在 t ? 处取极小值 ? x1 ? x2 27 27 27 3
?u (t ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数,

2 3

2 3

即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 9.已知函数 f ( x) ?

38 | x1 ? x2 | 27

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f (x) 的单调性;

(II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x 2 ? (0,??), x1 ? x 2 , 有 (1) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? x ? a ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?1. x1 ? x 2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

2分 ( x ? 1) 2 . 故 f (x) 在 (0,??) 单调增加. (i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则 f ' ( x) ? x (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0. 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1) , (1,??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得f ( x)在(1, a ? 1)单调减少, 在(0,1), (a ? 1,??) 单调增加. 1 (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x ? x. 2

a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加 ,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x 2 时,有 ? ? ?1 故 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2 ? x1 10. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1. 2 (I) 若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, 求实数 a 的取 值范围; (II)若 a ? (1, e] (e ? 2.71828 ),设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等 ? 式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. a 解: (I) f ?( x) ? x ? , g ?( x) ? a ? 1 , x ∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,

由 g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

∴当 x ?[1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ?

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x

即 (a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, ? a ? ?1 ? a ? ?1 ∴? 在 x ?[1,3] 时恒成立,或 ? 在 x ?[1,3] 时恒成立, 2 a ? ?x a ? ? x2 ? ? ∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9 (II) F ( x) ? x 2 ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ?
1 2 a x ( x ? a)( x ? 1) x

∵ F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数
1 2 1 2 当 x ? a 时, F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? a ? a , 2 ∵ x1 , x2 ?[1, a] ,∴ | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m

∴当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ? ,

设 G (a) ? M ? m ? ∴ [G?(a)]? ? 1 ?

1 2 1 a ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ? 1 , 2 2

1 ,∵ a ? (1, e] ,∴ [G?(a)]? ? 0 a ∴ G?(a) ? a ? ln a ? 1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴ G?(a) ? G?(1) ? 0 1 1 ∴ G (a) ? a 2 ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 2 2 1 1 (e ? 1)2 ?1 , ∴ G(a) ? G(e) ,即 G (a) ? e2 ? e ? ? 2 2 2 1 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴ G(a) ? M ? m ? 1 而 e2 ? e ? ? 2 2 2 2

∴当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. 11.设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) f ?( x) 表示 f ( x) 导函数. , (I)求函数 f ( x) 的极值; (II) 对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,x1 ? x2 , 求证: 存在唯一的 x0 ? ( x1 , x2 ) , 使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) . 1 1 ? ex 1 解: (I) f ?( x) ? ? e ? ? 0 ,得 x ? x x e 当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 ( , ??) (0, ) x e e e f ?( x) 0 + - f ( x) 单调递增 极大值 单调递减 ∴当 x ? 时, f ( x) 取得极大值 f ( ) ? ?2 ,没有极小值; (II) (法 1)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴
ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ?x x ?e ? ,∴ 2 1 ? ln 2 ? 0 x0 x2 ? x1 x0 x1 x x 即 x0 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 x x / g ( x1 ) ? x1 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, 1 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2 x x / g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x2 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, 2 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln 1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1 x ∴函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , x1 x x x 又∵ 2 ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x ?x x ∴函数 g ( x) ? 2 1 ? ln 2 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立 x x1 ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 (法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴ ? e ? , x0 x2 ? x1 即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一
1 e 1 e

设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴ h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0 ∴ h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 ∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数

∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解,命题成立 12 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) , (I)令函数 f ( x) ? F (3,log 2 (2 x ? x 2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; (II)令函数 g ( x) ? F (1,log 2 ( x3 ? ax 2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (III)当 x, y ?N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y) ? F ( y, x) . 解: (I) log 2 (2 x ? x2 ? 4) ? 0 ,即 2x ? x2 ? 4 ? 1 得函数 f ( x) 的定义域是 (?1,3) , (II) g ( x) ? F (1,log 2 ( x 2 ? ax 2 ? bx ? 1)) ? x3 ? ax 2 ? bx ? 1, 设曲线 C在x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log 2 ( x 3 ? ax 2 ? bx ? 1) ? 0, g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,
2 ?3x0 ? 2ax0 ? b ? ?8 ① ? ∴存在实数 b 使得 ?? 4 ? x0 ? ?1 ② ? 3 2 ? x0 ? ax0 ? bx0 ? 1 ? 1③

有解,

2 2 由①得 b ? ?8 ? 3x0 ? 2ax0 , 代入③得 ? 2 x0 ? ax0 ? 8 ? 0 ,

? 2 x 2 ? ax0 ? 8 ? 0 ? ?由 ? 0 有解, ? ?4 ? x0 ? ?1 ? 8 8 方法 1: a ? 2(? x0 ) ? ,因为 ?4 ? x0 ? ?1 ,所以 2(? x0 ) ? ? [8,10) , (? x0 ) (? x0 )

当 a ? 10 时,存在实数 b ,使得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线 方法 2:得 2 ? (?4) 2 ? a ? (?4) ? 8 ? 0或2 ? (?1) 2 ? a ? (?1) ? 8 ? 0 ,
? a ? 10或a ? 10,? a ? 10.

方法 3:是 ? ?

?2 ? (?4) 2 ? a ? (?4) ? 8 ? 0
2 ?2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 ?

的补集,即 a ? 10

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) (III)令 h( x) ? , x ? 1,由h?( x) ? 1 ? x 2 x x 1 1 ?x x ? ? ? 0, 又令 p( x) ? ? ln(1 ? x), x ? 0, ? p ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) 2 1? x (1 ? x) ? p( x)在[0,??) 单调递减.
?当x ? 0时有p( x) ? p(0) ? 0,?当x ? 1时有h?( x) ? 0,

? h( x)在[1,??) 单调递减, ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ?1 ? x ? y时, 有 ? ,? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y ),? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x , x y ? ?当x, y ? N 且x ? y时F ( x, y) ? F ( y, x).


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