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郑州外国语学校高三数学综合测试卷


综合卷
一.选择题 1.若集合 P ? { y | y ? x ? 2, x ? 2}, Q ? {x | y ? 5x ? x 2 , x ? Z } ,则 P ? Q ? ( ) A. {4} B. {1, 2,3, 4,5} C. {x | 0 ? x ? 5} D. ?

4 ? 3i 的虚部为( ) i A. ?4 B. 4 C. 4i D

. ? 4i ?a n ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 30 ,则 a5 ? a6 的最大值是( 3.在等差数列 ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
2.复数 z ?

)( ? 0)的图象与 y ? ?1 的图象的相邻两交点间的距离为 ? ,要得到 y ? f ( x) ? 3 的图象,只需把 y ? cos 2 x 的图象( )

? 4.已知 f ( x) ? sin( x ?
? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移

?

5.右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,

? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移

则图中空白框内应填入(

)

N 1000 M C. P ? 1000
A. P ?

4N 1000 4M D. P ? 1000
B. P ?

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何的体积为( )

(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 C. 3
A.

B. (4 ? ? ) 3 D.

(8 ? ? ) 3 6

7.新学期开始,学校接受 6 名师大学生生到校实习,学校要把他们分配到三个年级,每个年级 2 人,其中甲必须 在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( ) A.18 B.15 C.12 D.9 8.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A , a

若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( A.

)

1 1 1 C. D. 5 3 25 ??? ? ??? ? ??? ? 9.已知矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 4, 动点 P 在以点 C 为圆心, 1 为半径的圆上,若 AP ? ? AB ? ? AD (? , ? ? R) ,则 ? ? 2? 的取值范围是( )
B.

1 9

3 10 3 10 ,3 ? ] 10 10 ?lg x , x ? 0 ? 2 10.函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) 且 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数 g ( x) ? ? 1 ,则 ?? x , x ? 0 ?
A. [3 ? 2,3 ? 2] B. [3 ? C. [3 ? D. [3 ? 函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 内的零点个数为( A.5 B.7 C.8
1

2 2 ,3 ? ] 2 2

10 10 ,3 ? ] 10 10

) D.10

?x ? y ? 2 ? 0 3 2 ? 11.设 x, y 满足条件 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 若目标函数z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,则 ? 的 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
最小值为( A. ) B.

11 D.4 3 12.函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足:① f ( x ) 在 [ a, b] 内是单调函 数;② f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区
C. 间”的有( ③ f ( x) ? A.① ③ ② ④ 二.填空题 ) ② f ( x) ? ex ( x ?R) ; ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

25 6

8 3

① f ( x) ? x 2 ( x ? 0) ;

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

1 8

B.① ④ ②
2

C.① ④ ③

D.① ③

13.已知随机变量 X ? N (2, ? ), 若 P ( X ? a ) ? 0.26 ,那么 P (a ? X ? 4 ? a ) = 14.设 ( x ? 项为
3

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 16 ,则展开式中的常数 x
.

15.已知函数 y ? f (x) 的图像是折线段 ABC,若中 A(0, 0), B ( ,5), C (1, 0) .函数 y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图 像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .
3 2 16.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的导函数为 f ?( x ) ,

1 2

f ?( x ) 的导函数为 f ??( x) ,则有 f ??( x0 ) ? 0 .若函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ,则可求得: 1 2 4022 4023 f( )? f ( ) ?? ? f ( )? f ( )? . 2012 2012 2012 2012
三.解答题 17.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ? (3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

2

18.某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3

(1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中,若有 2 次连续击中, 而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分 布列.

19.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 底面 ABCD , PA ? AB ? 1, AD ? 3, 点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ; (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45 .
0

20.已知两定点 E (?2,0), F (2,0), 动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ, 垂足为 Q, 点 M 满 足 PM ? MQ ,点 M 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程;

??? ??? ? ?

???? ?

???? ?

???? ??? ??? ? ? (2)过点 D(0, ?2) 作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,点 N 满足 ON ? OA ? OB ( O 为原点),求四边形 OANB
面积的最大值,并求此时的直线 l 的方程.

3

21.已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3.( e 为自然对数的底 数).(1)求实数 a , b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nm

?

m n

? ? ? mn ?

n m

.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 4—1:几何证明选讲 A 如图,⊙ 是等腰三角形 ABC 的外接圆, AB ? AC , O E 延长 BC 到点 D ,使 CD ? AC ,连接 AD 交⊙ 于点 O O E ,连接 BE 与 AC 交于点 F . F (1)判断 BE 是否平分 ?ABC ,并说明理由; (2)若 AE ? 6, BE ? 8, 求 EF 的长. B C 23.选修 4-4:坐标系与参数方程

D

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2 同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 | PA | ? | PB | . 24.选修 4—5:不等式选讲已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1| ? | x ? 2 | ?m) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

4

参考答案 一.选择题 BACBD DDABC 二.填空题 13. 0.48 14. ?4 DC 15.

5 4

16. ?8046

三.解答题 17.(1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man ,即 (1 ? m)an ? man?1

an m ? (n ? 2) an?1 1 ? m m ∴ 数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列 1? m (2)解: b1 ? 2a1 ? 2 .………………………5 分 bn ?1 1 1 1 1 ∵bn ? ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1
又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列 2 ? bn ? 2 1 1 2n ? 1 ∴ ? ? (n ? 1) ?1 ? ,即 bn ? 2n ? 1 bn 2 2
∴?

(n ? N ? )

2 2n?1 (3)解:由(2)知 bn ? ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn

22 23 24 2n 2n?1 所以 Tn ? , ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn?1 bn
即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ?? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) , 则 2Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ?? 2 ? (2n ? 3) ? 2
2 3 4 n n?1

① ②

? (2n ?1) ,

② -① Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n?1 , 得

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 1? 2 ? 2? 18.解: (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, ? . ? 3?
故 Tn ? 2
n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ?

在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率

40 ?2? ? 2? P( X ? 2) ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243 (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ;
2

2

3

“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? 8 = ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? = . ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 81 (3)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6 ,
3 2 3 2 3

1 ?1? , P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27
5

3

2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9 2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? , 3 3 3 27 8 ? 2? 1 1 ? 2? , P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? , P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27 所以 ? 的分布列是 0 1 ? P 1 2 27 9
3 2 2

2

2

2

3

6

4 27

8 27

8 27

19.解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵ 在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴ EF∥ PC. 又 EF ? 平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴ EF∥ 平面 PAC. (2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则 P(0,0,1),B(0,1,0),

1 1 , ),D( 3 ,0,0), 2 2 设 BE=x(0≤x≤ 3 ),则 E(x,1,0), ??? ??? ? ? 1 1 PE ? AF =(x,1,-1)· (0, , )=0,∴ PE⊥ AF. 2 2
F(0, (3)设平面 PDE 的法向量为 m=(p,q,1),

?? ??? ? ?m ? PD ? 0 , 1 x ? 由 ? ?? ??? ,得 m=( ,1 ? ,1). ? 3 3 ?m ? PE ? 0 . ?
→ 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45° , → 2 |m· | AP 1 1 所以 sin45° = = ,∴ = , 2 → 1 x 2 2 +(1- ) +1 |m||AP| 3 3 得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45° . 20.解(1)? 动点 P 满足 PE ?PF ? 0 ,? 点 P 的轨迹是以 E F 为直径的圆,

??? ??? ? ?

? 动点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 4

…………2 分 ???? ???? ? ? 设 M(x,y)是曲线 C 上任一点,因为 PM ? x 轴, PM ? MQ ,? 点 P 的坐标为(x,2y)
2

? 点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,? x2 ? (2 y)2 ? 4 ,
x …………4 分 ? 曲线 C 的方程是 ? y 2 ? 1 4 (2)因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 当直线 l 的斜率不存在时显然不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , l 与椭圆交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,由

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 得 1+4k ) x ?16kx ? 12 ? 0 ( ?x 2 ? ? y ?1 ?4

…………6 分

6

由 ? ? 162 k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,得 k ?
2

3 4
………………8 分

? x1 ? x2 ?
? S?OAB ?

16k 12 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 | OD || x1 ? x2 |?| x1 ? x2 |, 2

16k 2 12 ? S? OANB ? 2S?OAB ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) ?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

162 k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) 4k 2 ? 3 …………10 分 ?2 ?8 (1 ? 4k 2 )2 (1 ? 4k 2 )2 2 2 令 4k ? 3 ? t ,则 4k ? t ? 3 (由上可知 t ? 0 ) , 7 t 1 1 S? OANB ? 8 ?8 ?8 ? 2 当且仅当 t ? 4, 即 k 2 ? 时取等号; 2 16 4 (t ? 4) 16 8?t ? t
7 , 平行四边形 OANB 面积的最大值为 2 2 7 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 …………12 分 2 21.解:(1) f (x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 a(? x) ? (? x) ln | ? x ? b |? ?(ax ? x ln | x ? b |) 所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0

?当 k ? ?

此时 f ( x) ? ax ? x ln | x | , f / ( x) ? a ? 1 ? ln | x | , 依题意 f / (e) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1 (2)当 x ? 1 时,设 g ( x ) ? 则 g ( x) ?
/

x ? 2 ? ln x ( x ? 1) 2

f ( x) x ? x ln x ? , x ?1 x ?1

1 ? 0 , h(x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数 x 因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 ?x0 ? (3 , 4) ,使 h( x0 ) ? 0
设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) ? 1 ?
/

x ? (1 , x0 ) 时, h( x) ? 0 , g / ( x) ? 0 ,即 g (x) 在 (1 , x0 ) 上为减函数; 同理 g (x) 在 ( x0 , ? ?) 上为增函数 x ? x0 ln x0 x0 ? x0 ( x0 ? 2) 从而 g (x) 的最小值为 g ( x0 ) ? 0 ? ? x0 , x0 ? 1 x0 ? 1 所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3
(3)要证 (nm ) ? (mn ) ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n
m n n m

即证 n(1 ? m) ln n ? m(1 ? n) ln m , n ? 1 ? m ? 1

n ln n

m ln m

x ln x ,x ?1 x ?1 x ? 1 ? ln x / 则 ? ( x) ? ( x ? 1) 2
设 ? ( x) ?
7

设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x) ? 1 ? x ? 0 , g (x) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数, ?x ? 1 , g ( x) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 ,
/

1

从而 ? / ( x) ? 0 , ? (x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数 因为 m ? n ? 1 ,所以 ? (n) ? ? (m) ,

n ln n m ln m ? , n ?1 m ?1

所以 (nmm ) n ? (mnn ) m 22.(1)BE 平分∠ ABC.∵ CD=AC,∴ D=∠ ∠ CAD. ∵ AB=AC,∴ ABC=∠ ∠ ACB, ∵ EBC=∠ ∠ CAD,∴ EBC=∠ ∠ D=∠ CAD. ∵ ABC=∠ ∠ ABE+∠ EBC,∠ ACB=∠ D+∠ CAD, ∴ ABE=∠ ∠ EBC,即 BE 平分∠ ABC. (2)由⑴ 知∠ CAD=∠ EBC =∠ ABE. ∵ AEF=∠ ∠ AEB,

A E O F B D C

AE EF ? , BE AE AE 2 36 9 ? ? ; ∵ AE=6, BE=8.∴ EF= BE 8 2 23.解: (1) x2 ? ( y ? 5)2 ? 5
∴ AEF∽ BEA.∴ △ △
2

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t ? 3 2t ? 4 ? 0 由 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两根 所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? ,又直线 l 过点 (3, 5) ,故结合 t 的几何意义得 ?t1 ? t2 ? 4 ?

| PA | ? | PB | = | t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 3 2
24.(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ,或 ? ,或 ? ? ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 解得函数 f (x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ;…………………….5 分
(2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1] ………………………………….10 分

8


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