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2014年职高数学第一轮复习直线和圆的复习

时间:2014-11-27


? 圆的方程和直线与圆的位置关系

学习目标 1 熟练掌握圆的标准方程和一般方程 2 掌握直线与圆的位置关系判断方法 3掌握圆的切线方程求法 4 掌握弦长公式、切线长公式

圆的方程复习

1、圆的标准方程 2、圆的一般方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

特例: x2+y2=r2

D E x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?D 2 ? E 2 ? 4F ? 0? 圆心( ? ,- )
1 半径的长为:r= D2 ? E 2 ? 4F 2

2

2

例1 .

求以点C(?2,0)为圆心,r=3为半径的圆的标准方程
解 因为 a ? ?2,

b ? 0, r ? 3 , 故所求圆的标准方程为
2

( x ? 2) ? y ? 9.
例2 写出圆

2

(x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 的圆心的坐标及半径.
( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

2

2



方程

可化为 所以

( x ? 2)2 ? ? y ? (?1)? ? ( 5)2
2

a ? 2, b ? ?1,

r? 5

使用公式求圆 心的坐标时,要 注意公式中两个 括号内都是“- ” 号.

故,圆心的坐标为 C (2, ?1),半径为 r ? 5.

例3:根据下面所给的条件,分别求出圆的方程:
⑴ 以点(?2,5)为圆心,并且过点(3, ?7) ;
(2) 设点A(4,3)、B (6, ?1),以线段AB为直径; (3) 过点P(-2 ,4)、Q (0, 2),并且圆心在x+y=0上;
(4)求过三点A(0,0),B(2,4),C(3,1)的圆的方程 并求出这个圆的半径圆心坐标

解 ⑴ 由于点(?2,5)与点(3,? )间的距离就是半径,
所以半径为 r ? (3 ? 2)2 ? (?7 ? 5)2 ? 13 故所求方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 169.

分析 根据已知条件 求出圆心的坐标和半 径,从而确定字母系 数a、b、r,得到圆的 标准方程.这是求圆 的方程的常用方法.

8. 4



例3 根据下面所给的条件,分别求出圆的方程: ⑴ 以点(?2,5)为圆心,并且过点(3, ?7) ; (2) 设点A(4,3)、B (6, ?1),以线段AB为直径; (3) 过点P(?2 ,4)、Q (0, 2),并且圆心在x+y=0上;

⑵ 设所求圆的圆心为C,则C为线段 AB的中点,


半径为线段AB的长度的一半 ,即 1 1 2 2 r? (4 ? 6) ? (3 ? 1) ? 20 ? 5 2 2
故所求圆的方程为
( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? 5.

? 4 ? 6 3 ?1? C? , ?, 2 ? ? 2

8. 4



例3 根据下面所给的条件,分别求出圆的方程: ⑴ 以点(?2,5)为圆心,并且过点(3, ?7) ; (2) 设点A(4,3)、B (6, ?1),以线段AB为直径; (3) 过点P(?2 ,4)、Q (0, 2),并且圆心在x+y=0上; ⑶ 由于圆心在直线 x ? y ? 0 上,故设圆心为C ( x0 , ? x0 ), 于是有

CP ? CQ ,

( x0 ? 2)2 ? (? x0 ? 4)2 ? ( x0 ? 0)2 ? (? x0 ? 2)2,
解得

x0 ? ?2

因此,圆心为(-2,2).半径为

r ? (?2 ? 0)2 ? (2 ? 2)2 ? 2,
故所求方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4.

(4)求过三点A(0,0),B(2,4),C(3,1)的圆的方程 并求出这个圆的半径圆心坐标
(4)解:设所求圆的方程为x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 因为A, B, C三点都在圆上,所以它们的坐标都 满足圆的方程,将它们依次代入, ?F ? 0 ? 得 ?2 D ? 4 E ? F ? ?20 解得 : D ? ?2, E ? ?4, F ? 0 ?3D ? E ? F ? ?10 ? ? 所求圆的方程是:x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 1 半径r= (?2) 2 ? (?4) 2 = 5,圆心为(1,2) 2

例4:判断方程

x ? y ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 是否为圆的方程,如果是,

2

2

求出圆心的坐标和半径.
解1 将原方程左边配方,有

x2 ? 4x ? 22 ? 22 ? y 2 ? 6 y ? 32 ? 32 ? 3 ? 0
( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 42
所以方程表示圆心为(?2,3),半径为4的一个圆. 解2 与圆的一般方程相比较,知D=4,E=?6,F= ?3,故
D2 ? E 2 ? 4F ? 16 ? 36 ? 4 ? (?3) ? 64 ? 0

所以方程为圆的一般方程,由
D E D2 ? E 2 ? 4F ? 2, ? ?3, ?4 2 2 2

知圆心坐标为(?2,3),半径为4.

练习:1.圆心在点P(-3,4),半径为 5的圆的方程 2.求x ? y ? 6 x ? 8 y ? 7 ? 0的圆心坐标与半径
2 2

3.经过点P(-3,4),圆心在点M (6, ?1)的圆的方程 4.求已知点A(?2,1), B(1, ?4), C (3,4), 求?ABC的外接圆的方程 5.求以AB为直径,其中A(2,3), B(?4,5)的圆的方程

答案
1.(x+3)2 ? ( y ? 4) 2 ? 5 2.圆心坐标为(3, ?4), 半径r ? 4 2 3. (x-6)2 ? ( y ? 1) 2 ? 106 4.x 2 ? y 2 ? 4 x ? 13 ? 0 5. (x+1)2 ? ( y ? 4) 2 ? 10

X

直线与圆的方程的应用
-----------习题课

直线与圆的位置关系
无交点时

图形

圆心到直线距离 d 与圆半径r之间关系

?值情况

1、直线和圆相离
有一个交点时

?

C2

d ?r

??0

2、直线和圆相切
有两个交点时

?

C2

d ?r
d ?r

??0 ??0

3、直线和圆相交

?

C2

几何方法 代数方法

直线与圆的位置关系:
方法一:几何法

直线:Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2,

圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离 d=
方法二:判别式法

直线:Ax+By+C=0;圆:x2 + y2 +Dx+Ey+F=0

一元二次方程

直线与圆位置关系的判定

典型例题1

判断直线x ? 2 y ? 4 ? 0和圆x ? ( y ? 1) ? 7 相离 的位置关系______
2 2

灵活应用:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与 直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A ) A 相交 B相切 C相离 D与k值有关

练习:直线y-2x+5=0与圆x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 之间的位置关系为( ) A.相切 B.相离 C.相交但直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
解:圆x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0的圆心坐标为(2, ?1) 它到直线2x-y-5=0的距离为d ? | 4 ?1? 5 |
2

2 ?1 所以圆心在直线上,即直线与圆相交且过圆心

?0

故答案为C

例6:k为何值时,直线y=kx+4与圆x2 ? y 2 ? 9相交, 相切,相离
? y ? kx ? 4 解:解方程组 ? 2 将y ? kx ? 4代入x 2 ? y 2 ? 9 2 ?x ? y ? 9 得x 2 ? ( kx ? 4) 2 ? 9, 整理得(1+k 2 ) x 2 ? 8kx ? 7 ? 0 ? ? (8k ) 2 ? 4(1+k 2 ) ? 7 ? 4(3k ? 故当k> 当k= ? 当? 7 )(3k ? 7) 7 7 或k<时,?>0,直线与圆相交; 3 3 7 时,? ? 0,直线与圆相切; 3

7 7 <k< 时, ? ? 0, 直线与圆相离 3 3

?

与弦或弦长相关的问题

特例:
1、用几何方法解有关弦长问题: 1个重要的直角三角形

①涉及圆的弦长时:
1 r ? d ? ( | AB |) 2 2
2 2

A

C

·

D B

2.用代数方法求弦长问题: ※直线y=kx+b与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于A、B AB =√(x2-x1)2+(y2-y1)2 =√1+K2 x1-x2
A O

=√1+K2√(x1+x2)2-4x1x2

·

D B

圆的弦长

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点;
? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (1)由? 得 解法1: ?mx ? y ? 1 ? m ? 0

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
B

代 数 方 法

A

(1+m2 ) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0*
4 2 2

则? ? 4m ? 4(m ?1)(m ? 5) ? 16m ? 20
2

l

? m ? R, 总有? ? 0

因此所证命题成立

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值

解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1), 半径为 r = 5 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d? ? ? 1 ? 2 2 2 1 ? m 1 ? m 1? m ?m

B
d r

A

l

几 ?m ? R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 法

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

17 2 2 2 r ? d ? ( ) (2)由平面解析几何的垂径定理可知 2

l

17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2

2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练1
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2 2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

r r d r
r

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2

练习:1.以点(1,1)为圆心且截直线y=x-4所得弦长为2 2的圆的方程

d r

例:求直线x ? y ? 1 ? 0被圆x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 所截得的线段中点坐标
解设直线与圆的两交点分别为A(x1 ,y1 ),B(x 2 , y2 ) 2 y2 ? 2 y ? 7 ? 0

由x ? y ? 1 ? 0得x ? 1 ? y把它代入方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0得

?2 ? y1 ? y2 ? ? ?1 2 ? x1 ? x2 ? (1 ? y1 ) ? (1 ? y2 ) ? 2 ? (y1 ? y2 ) ? 1

1 1 ? 所求中点坐标为( , ) 2 2

?

有关圆的切线问题

圆的切线方程求法: 通过圆x2 +y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r2 (过圆上一点能作一条且只能作一条直线与圆相切) 通过圆外一点(x0,y0)的切线方程若斜率存在可设为 y-y0=k(x-x0)
已知圆的切线方程的斜率K时,切线方程可设为: y=Kx+b 求K或b的途径:△=0或d=r (过圆外一点能作两条直线与圆相切)

特例:
1、1个重要的直角三角形:
M

P

②涉及圆的切线长时:

C

·

求过圆外一点的(x0,y0)的切线方程:

(1)几何法: 设切线的方程为:y-y0=k(x-x0), 由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切 线斜率即可求出。

(2)代数法:设切线的方程为:y-y0=k(x-x0), 代入圆方程得 一个关于x的一元二次方程, ? ? 0 求K 由.
(若斜率不存在或斜率为0,则可以直 接判定过定点的直线是否与圆相切, 进而确定 k的取值.)

直线与圆相切问题

例3、 (1).求经过点(3,4)与圆x ? y ? 25相切的切线方程
2 2

练习:过圆x2 ? y2 ? 4上一点M (1, ? 3)的切线方程为______

例4:已知圆C和直线x-y=0相切,圆心坐标 为(1,3),则圆C的方程为_______
分析 :知道圆心坐标,只要求出半径即 可。据题意,半径为圆心到直线的距离。

例5:如果直线y=x+b与圆x ? y ? 25相切,则b的值为____
2 2

求与直线y ? x ? 2平行且与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 8
2 2

相切的直线的方程

直线与圆的位置关系

例6直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程.
分析:点M在圆外,而过圆外一点求圆的切线方程应该有两条,如果解方程只有一条 则另一条切线的倾斜角为900其斜率不存在应把它找回

y
2

解(1)当直线的斜率存在时,设直线l的方程

(2,2)

y-2=k(x-2),所以kx-y+2-2k=0 由已知得圆心的坐标为(1,0),半径r=1 因为 直线l与圆相切,所以有: k ?1 ? y ? 0 ? 2k ? 2 k ?2 d? ? ?1 2 2 1? k 1? k 解得: 所以直线方程为: 3
y?2? 4 ( x ? 2)
O 2

x

k?

3 4

即:3x-4y+2=0

(2)当k不存在时,过(2,2)的直线x=2也与 圆相切。

综上所求直线方程为3x-4y+2=0或x=2

练习:
(2) .求经过点(1, ?7)与圆x2 ? y 2 ? 25相切的切线方程 并求切线长

M

P

C

·

求经过 A(2, ?1), 和直线 x? y ? 1相切,且圆心 求经过 A( 2, -1)与直线 x+y=1 相切且圆心在直线 在直线 ? ?2 x上的圆的方程。 y=-2xy 上的圆的方程
解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

变式演练

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

+

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

(1)圆上的点到圆外的点的最大或最小的距离 (2)圆上的点到直线的最大或最小距离
1.圆( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4上的点到原点O的最短距离为 _______ 2.圆x 2 ? y 2 ? 4上的点到直线4 x ? 3 y ? 12 ? 0的最大距离 ___


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