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2015选修4-4极坐标新学案


极坐标导学案 一、概念导数 1.如图,在平面内取一个 再选定一个 , 一个 ,叫做 (通常取 ) 及其 ;自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做 (通常取 ; 。
●, ? ) ?M ( ?

方向) , 这样就建立了一个

O

?

x

2、 设 M 是平面内一点,

极点 O 与 M 的距离 | OM 为终边的角

| 叫做点 M



, 记为 叫做点 M 的

; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM ,记作 。

x O M 叫做点 M



,记为

。有序数对

3、思考:直角坐标系与极坐标系有何异同? 二、例题 1.写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标 ( 2.思考下列问题,给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? ⑤本题点 G 的极坐标统一表达式。 3.在下面的极坐标系里描出下列各点

? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

A(3,0) B(6,2π ) C(3,

? 4? )D(5, 3 2

)E(3,

5? 6

)F(4,π ) G(6,

5? ) 3

小结:在平面直角坐标系中,一个点对应 种表示,但每个极坐标只能对应 三、练习 个点。

个坐标表示,一个直角坐标对应

个点。极坐标系里的点的极坐标有

1.已知 M

? ?? ? 5, ? ,下列所给出的能表示该点的坐标的是 ? 3?
B. ? 5,

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、在极坐标系中,与(ρ ,θ )关于极轴对称的点是(

)

A、 (

? ,? )

B、 (

? ,?? )

C、 (

? ,? ? ? )

D、 (

?,? ? ? )

3、已知 Q(?,?) ,分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 (1)P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; (2)P 是点 Q 关于直线

??

?
2

的对称点;

(3)P 是点 Q 关于极轴的对称点。 四、直角坐标与极坐标 1.若以直角坐标系的原点 O 为极点, 与极坐标分别为 ( x,

x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点 P 的指教坐标

y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:
{

{

x ? ? cos? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
t an? ? y x

说明 (1) 、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 (2) 、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ? ≥0, 0 ≤ (3) 、互化公式的三个前提条件 ①. 极点与直角坐标系的原点重合; ②. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; ③. 两种坐标系的单位长度相同.

? ≤ 2?



2.把下列点的极坐标化成直角坐标: (1)A(2,

3? 4

)

(2)B(4,

? ) 2

(3)M(5,

? 6

)

(4)N(3,

? ).

(5)E(6,0)

3.在极坐标系中,已知

? 5? 5? A(2, ), B(2, ), C (4, ), 求它的直角坐标, 6 6 3

(二)将下列直角坐标化为极坐标

1.A(1,

3

) B(-1,0) C(-

2 ,- 2 )

D(-1,

3)

E(0,2)

F(3,--

3)

(三)将下列极坐标方程化为 x,y 坐标方程的形式。

1. ? sin ? ? a
2.

? cos? ? a
? ? 2a sin ?

3.

4.

? ? 2a cos?
? ?1

5.

6.

? sin ? ? ? cos? ? 1
? ,? 的形式。


(四)将下列 x,y 坐标方程化为极坐标方程

1.①x=a

②y=2

③ x2 ? y2 ? 4

x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0

⑤x+y-a=0

五、极坐标系下的直线的研究 1. 过极坐标系下点 A(a,0), 作直线 L⊥极轴 0x,求 L 及坐标方程。

2.过极坐标系下点 A(0,

? )作直线 L//极轴 0x,求 L 及坐标方程。 2

3.直线 L 过极点 O,倾角

??

?
4

,求 L 的极坐标方程及 L 的直角方程

4. L 的极坐标方程

??

?
6

对应的直角方程


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