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2013-2014学年高中数学(人教A版)选修4-5课时提升卷:第4讲 2 用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析]

时间:2015-04-17


课时提升卷
用数学归纳法证明不等式举例 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an+1= 得的项为 ( A.1 C.1+a ) B.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 (n∈N+,a≠1),在验证 n=1 时,左边所 100 分)

2.用数学归纳法证明 2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( A.假设 n=k 时命题成立 B.假设 n=k(k∈N+)时命题成立 C.假设 n=k(k≥5)时命题成立 D.假设 n=k(k>5)时命题成立 3.(2013· 日照高二检测)用数学归纳法证明 “Sn= 时,S1 等于( A. C. + ) B. D. + + + + +?+ >1(n∈N+)” )

4.(2013·合肥高二检测)利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ 2,n∈N+)的过程,由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了 ( )

<f(n)(n≥

A.1 项

B.k 项

C.2k-1 项

D.2k 项

5.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,有 f(k)满足:当 “f(k)≥k2 成立时,总可推 出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么下列命题总成立的是 ( A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 6.对于正整数 n,下列说法不正确的是 ( A.3n≥1+2n C.0.9n<1-0.1n B.0.9n≥1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n ) )

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7.设 a,b 均为正实数,n∈N+,已知 M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则 M,N 的大小关系为 (提示:利用贝努利不等式,令 x= ). 8.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),用数学归纳法证明 f(2n)> 时,f(2k+1)-f(2k) =____________. 9.(2013·台州高二检测)若数列{an}的通项公式 an= (1-an),试通过计算 c1,c2,c3 的值,推测 cn=____________. 三、解答题(10~11 题各 14 分,12 题 18 分) 10.用数学归纳法证明:( )n>n!(n>1,n∈N+). ,记 cn=2(1-a1)(1-a2)?

11.设函数 f(x)=x-xlnx,数列{an}满足 0<a1<1,an+1=f(an). (1)证明:函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数.

(2)证明:an<an+1<1. 12.(能力挑战题)已知等比数列{an}的首项 a1=2,公比 q=3,Sn 是它的前 n 项和. 求证: ≤ .

答案解析
1.【解析】选 B.n=1 时,等号左边求和的式子最后一项为 a2,所以左侧为 1+a+a2. 2.【解析】选 C.由题意知 n≥5,n∈N+, 所以应假设 n=k(k≥5)时命题成立. 3. 【解析】 选 D.因为 S1 的首项为 D. 4.【解析】选 D.根据题意可知:1+ + +…+ = + + +…+ .所以共增加 2k 项. = ,末项为 = ,所以 S1= + + ,故选

5.【解析】选 D.由题意设 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立时,总可推出 f(k+1)≥ (k+1)2 成立”.因此,对于 A,k=1,2 时不一定成立.对于 B,C 显然错误.对于 D,因 为 f(4)=25>42,因此对于任意的 k≥4,均有 f(k)≥k2 成立. 6.【解析】选 C.结合贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且 x≠0,n>1,n∈N+)判断. 当 x=2 时,(1+2)n≥1+2n,A 正确. 当 x=-0.1 时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B 正确,C 不正确. 当 x=-0.9 时,(1-0.9)n≥1-0.9n,因此 D 正确.

7.【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且 x≠0,n>1,n∈N+), 当 n>1 时,令 x= ,所以 所以 >1+n· ,

>1+n· ,即(a+b)n>an+nan-1b,

当 n=1 时,M=N,故 M≥N. 答案:M≥N 8.【解题指南】先列出 f(2k)与 f(2k+1),再比较即可. 【解析】f(2k)=1+ + +…+ ,f(2k+1)=1+ +…+ + 故 f(2k+1)-f(2k)= 答案: + +…+ = , × × = , × = ,故 cn= . + +…+ . + +…+ ,

9.【解析】c1=2(1-a1)=2× c2=2(1-a1)(1-a2)=2× c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2× 答案: 10.【证明】(1)当 n=2 时,

=

= >2!=2,不等式成立. >k!,

(2)假设 n=k(k≥2 且 k∈N+)时不等式成立,即 当 n=k+1 时, = =(k+1)· + = · +…+ >

+ (k+1)·

>(k+1)·k!=(k+1)!,

所以当 n=k+1 时不等式成立. 由(1)(2)可知对 n>1 的一切自然数,不等式成立. 11.【证明】(1)f′(x)=1-(1+lnx)=-lnx. 因为 x∈(0,1),所以 lnx<0.所以 f′(x)>0,

所以 f(x)在(0,1)上为增函数. (2)运用数学归纳法证明 0<an<1. 当 n=1 时,由于 0<a1<1,所以不等式成立. 假设当 n=k(k≥1)时,0<ak<1, 则当 n=k+1 时, ak+1=f(ak)=ak-aklnak=ak(1-lnak). 因为 lnak<0,所以 ak+1>0, 令 g(x)=f(x)-1=x-xlnx-1. 当 0<x<1 时,由于 g(x)与 f(x)有相同的单调性,因此 g(x)<g(1)=0 即 f(x)<1, 所以当 0<ak<1 时,ak+1<1. 综上:0<ak+1<1. 假设归纳成立,即对于任意的正整数 n 均有 0<an<1, 而 an+1-an=-an·lnan, 当 0<an<1 时,-an·lnan>0. 因此 an<an+1<1. 12.【证明】由已知,得 Sn=3n-1, ≤ 等价于 ≤ ,

即 3n≥2n+1.(*) 用数学归纳法证明上面不等式成立. ①当 n=1 时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立. ②假设当 n=k(k≥1)时,(*)式成立,即 3k≥2k+1, 那么当 n=k+1 时,3k+1=3·3k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1,

所以当 n=k+1 时,(*)式成立. 综合①②,得 3n≥2n+1 成立. 所以 ≤ .

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