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重庆市南开中学高2013届高三12月月考数学(文)试题


重庆南开中学高 2013 级高三 12 月月考 数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.已知直线 2 x ? ay ? 1 ? 0

与直线 x ? 4 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 值为( ) A. ?

1 2

B.

1 2

C.1

D.8

2.公差不为零的等差数列 {an } 中,前 7 项和 S7 ? 35 ,则 a2 ? a6 的值为( ) A.4 B.5 C.10 D.14 3.采用随机抽样法抽到一个容量为 20 的样本数据,分组后,各组的频数如下表 分组 频数 (10,20] 2 (20,30] 3 (30,40] x (40,50] 5 (50,60] y (60,70] 2

已知样本数据在(20,40]的频率为 0.35,则样本数据在区间(50,60]上的频率为( ) A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20 4 . 全 集 U ?R , 集 合

M ?{ x | ? x

? 0 } N ? {x | x ? 2 ? 1} , 若 a ,

M ?( U C
A. a ? ?1

? ) N

,则( { x或 x 1? x 3)} ?| B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

5.以下条件中能成为平面 ? //平面 ? 的充分条件的是( ) A.存在一直线 l , l // ? , l // ? C.存在一直线 l , l ? ? , l // ? 6.曲线 f ( x) ? cos x ? cos( x ? B.存在一平面 ? , ? // ? , ? // ? D.存在一平面 ? , ? ? ? , ? ? ?

?
2

)( x ? (?

? 7?
4 , 4

)) 在 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的倾斜角为

? ,则 4

x0 的值为( )
A.

5? 7? 或 4 4

B.0

C.

3? 或? 4

D.0 或

3? 2

7.偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 方程

f ( x) ? log6 (| x | ? 1) ? 0在 x ? (?3, ??) 上解的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10

x2 y 2 8.双曲线 2 ? 2 ? 1 右焦点为 F ,左顶点为 A ,过 F 作与 x 轴垂直的直线与双曲线交于 a b

M , N ,若三角形 AMN 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )
A.

3 2

B.

2 3

C.2

D.3

O 9. 倾斜角为 ? 的直线过点 C (0, 4) , 且与抛物线 x2 ? 4 y 交于 A, B 两点, 为原点, OA ? OB 则
的值为( ) A.0 B.4 C. tan ? D. tan 2 ?

??? ??? ? ?

10.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C1 的离心率为 e ,直线 l 与双曲线 C1 交于 A, B 两点, 线段 AB 中点 M 在一象限且在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p , 则 l 的斜率为( ) A.

e2 ? 1 2

B. e 2 ? 1

C.

e2 ? 1 2

2 D. e ? 1

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡 II 上相 应位置(只填结果,不写过程) 11.直线 ax ? by ? a ? b ? 0 与圆 M : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 A, B ,且 | AB | ?2 ,则

b 的值是_________ ? ? ? ? 2? 12.已知向量 a, b 均为单位向量,且夹角为 ,则 | 2a ? b | =________ 3
13.焦点在 x 轴上、长轴长为 6 的椭圆的右焦点为 F2,以 F2 为圆心的圆 与椭圆的一个交点为 P, 过椭圆左焦点 F1 且斜率为

1 的直线恰与圆切于 2

点 P,则椭圆的焦点为_________ 14.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体的外接球表面积是 ________

a 15. 已知, ? b ? c , 3 是 3a 与 若

恒成立,则 ? 的最大值是____________

1 1 1 ? 的等比中项, ? ? 且 c 3 a ?b b?c

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡 II 上(必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程)

16. (13 分)已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, cos A ? (1)求 sin(2 A ?

); 6 sin B 1 ? ,求 b, c 及 ?ABC 的面积 S (2)若 a ? 4 , sin C 3
17. (13 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,侧面 PAD 为等边三角形,平 面 PAD⊥平面 ABCD,AD=DB=

?

1 3

2 AB 2
3 ,求 AD 长。 2

(1)若 M 为 PC 上任一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)若四棱锥 P-ABCD 的体积为

18. (13 分)某企业对所属 A,B,C 三个部门的员工进行业务能力调查,按部分采用分层抽样 方法抽取 11 人,见右表。 A B C 部门 (1)求 x,y,z 的值; 72 24 z 总人数 (2)在 B,C 两部门抽到的人中随机抽取两人进行某种特殊技 6 x y 抽取人数 能测试,求 B 部门至少抽到一人的概率; (3)在(2)中抽到的甲乙两人被通知于某日下午 14 点至 16 点间独立选择时间到达指定地 点,并立即参加 30 分钟技能测试,求存在在某一时刻,甲乙两人均在指定地点参加测试的概 率。

19. (12 分)数列 {an } ,前 n 项和 Sn ,满足 a1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nSn } 前 n 项和 Tn 。

1 , Sn ? 2an?1 ? 1(n ? N * ) 2

20. (12 分)离心率为

y2 2 2 ? 1的两焦点。 的椭圆 C1 的长轴两端点分别是双曲线 C2: x ? 4 2

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)直线 y ? x ? m 与椭圆 C1 交于 A,B 两点,与双曲线 C2 两条渐近线交于 P,Q 两点,且 P, Q 在 A,B 之间,使 | AP |,| PQ |,| QB | 成等差数列,求 m 的值

21. (12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a a ? (a ? R) x x2

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在 [1, ??) 内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)对于 n ? N * ,求证:

1 1 1 n ? 2 ? 2 ? ??? ? ? ln(n ? 1) 2 2 3 4 (n ? 1) 2


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